混沌理論淺說第1頁，課件共57頁，創作于2023年2月一、混沌理論的提出

--由線性科學到非線性科學第2頁，課件共57頁，創作于2023年2月線性科學：線性是指量與量之間的正比關系；在直角坐標系里，這是用一根直線表征的關系。例如：0ss=v0+atv0t第3頁，課件共57頁，創作于2023年2月1、線性科學的成就

由于人的認識的發展總是從簡單事物開始的，所以在科學發展的早期，首先從線性關系來認識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的。例如：經典物理學中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數學家們首先研究的是線性函數、線性方程等。理論家們在對大自然中的許多現象進行探索時，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動來討論非線性效應。經過長期的發展，在經典科學中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數、回歸技術等；就是設計物理實驗，也主要是做那些可以做線性分析的實驗。從這個特點看來，經典科學實質上是線性科學。線性科學在理論研究和實際應用上都有十分光輝的進展，在自然科學和工程技術領域，對線性系統的研究都取得了很大的成績。

第4頁，課件共57頁，創作于2023年2月2、線性科學的局限線性科學的長期發展，也形成了一種扭曲的認識或“科學思想”，認為線性系統才是客觀世界中的常規現象和本質特征，才有普遍規律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統只是例外的病態現象和非本質特征，沒有普遍的規律，只能作為對線性系統的擾動或采取特殊的方法做個別處理。由此得出結論說，線性系統才是科學探索的基本對象，線性問題才存在理論體系；所以經典科學的長期發展，都是封閉在線性現象的圈子里進行的。第5頁，課件共57頁，創作于2023年2月3、線性科學和非線性科學的差異線性與非線性物理現象有著質的差異和不同的特征。1、從結構上看，線性系統的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統聯合作用的總效應，等于各個因素單獨作用效應的加和；因而描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數學操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動形式上看，線性現象一般表現為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函數表示，是連續的，可微的。而非線性現象則表現為從規則運動向不規則運動的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。2、從系統對擾動和參量變化的響應來看，線性系統的響應是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統在一些關節點上，參量的微小變化往往導致運動形式質的變化，出現與外界激勵有本質區別的行為，發生空間規整性有序結構的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。第6頁，課件共57頁，創作于2023年2月二、混沌理論淺說--無序中的有序第7頁，課件共57頁，創作于2023年2月1、蝴蝶效應第8頁，課件共57頁，創作于2023年2月內容：

1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應”之說就不脛而走，名聲遠揚了。

“蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在于其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力。

從科學的角度來看，“蝴蝶效應”反映了混沌運動的一個重要特征：系統的長期行為對初始條件的敏感依賴性。

第9頁，課件共57頁，創作于2023年2月橫過深谷的吊橋，常從一根細線拴個小石頭開始！

經典動力學的傳統觀點認為：系統的長期行為對初始條件是不敏感的，即初始條件的微小變化對未來狀態所造成的差別也是很微小的。可混沌理論向傳統觀點提出了挑戰。混沌理論認為在混沌系統中，初始條件的十分微小的變化經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。

第10頁，課件共57頁，創作于2023年2月一則西方寓言：丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰馬；

馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。折了一匹戰馬，傷了一位騎士；輸了一場戰斗，亡了一個帝國。

傷了一位騎士，輸了一場戰斗；

第11頁，課件共57頁，創作于2023年2月2、蝴蝶效應與混沌學

1960年，美國麻省理工學院教授洛倫茲研究“長期天氣預報”問題時，在計算機上用一組簡化模型模擬天氣的演變。他原本的意圖是利用計算機的高速運算來提高技期天氣預報的準確性。但是，事與愿違，多次計算表明，初始條件的極微小差異，均會導致計算結果的很大不同。

由于氣候變化是十分復雜的，所以在預測天氣時，輸入的初始條件不可能包含所有的影響因素（通常的簡化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素卻可能對預報結果產生重大影響，導致錯誤的結論。由此，洛倫茲認定，盡管擁有高速計算機和精確的測量數據（溫度、風速、氣壓等），也難以獲得準確的長期天氣預報。第12頁，課件共57頁，創作于2023年2月3、什么是混沌呢？

它的原意是指無序和混亂的狀態（混沌譯自英文Chaos）。這些表面上看起來無規律、不可預測的現象，實際上有它自己的規律。混沌學的任務：就是尋求混沌現象的規律，加以處理和應用。60年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、化學、生物學、生態學、力學、氣象學、經濟學、社會學等諸多領域，成為一門新興學科。科學家給混沌下的定義是：混沌是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動，一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性一不可重復、不可預測，這就是混沌現象。進一步研究表明，混沌是非線性動力系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。牛頓確定性理論能夠充美處理的多為線性系統，而線性系統大多是由非線性系統簡化來的。因此，在現實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的！第13頁，課件共57頁，創作于2023年2月4、混沌的特征1、對初始條件的敏感依賴性。

3、混沌的內部存在著超載的有序。2、極為有限的可預測性。第14頁，課件共57頁，創作于2023年2月1）、對初始條件的敏感依賴性這是混沌系統的典型特征。意思是說，初始條件的微小差別在最后的現象中產生極大的差別，或者說，起初小的誤差引起災難性后果。洛倫茲在他的玩具天氣模型中發現了這一特性。在生活中，人們知道一串事件往往具有一個臨界點，那里小小的變化會放大，例如，人行道上擺滿自行車，導致行人走上車行道，又導致一次車禍，又導致交通中斷幾小時，又導致一連串的誤事……。然而混沌意味著這種臨界點比比皆是。它們無孔不入，無時不在。在天氣這樣的系統中，對初始條件的敏感依賴性乃是各種大小尺度的運動互相糾纏所不能逃避的后果，因此，洛倫茲斷言：長期預報注定要失敗。信息從小尺度傳向大尺度，把初始的隨機性放大。在社會經濟活動中，某些因素可促使成千上萬個業主一夜之間改變策略，從而導致經濟形勢的巨變，我們至少從1997年東南亞金融危機中感到了這一點。第15頁，課件共57頁，創作于2023年2月2）、極為有限的可預測性當系統進入混沌過程后，系統或表現為整體的不可預言，或表現為局部的不可預言。混沌研究者們在自然界和社會中發現了大量混沌現象，如湍流中的旋渦，閃電的分支路徑，流行病的消脹、股市的升降、心臟的纖顫、精神病行為、城鎮空間分布及規模與數量等級等等。信息論認為，信息是對事物不確定性的一種量度。信息量大，消除不確定性的程度就大。我們擁有的關于某物的信息越多，對該事物的預測就會更準確。但是，當系統變得混沌以后，它成了一架產生信息的機器，成了連續的信息源，收集更多的信息變得毫無意義。那么信息是從哪里來的呢？以湍流為例，物理學家認為，來自微觀尺度的熱庫，來自幾十億在隨機熱力學舞動中的分子。再以城市經濟運動為例，信息來自成千上萬個有決策權的業主的生產行為，來自千百萬個消費者的消費行為，來自系統之外的環境的變化。第16頁，課件共57頁，創作于2023年2月3）、混沌的內部存在著超載的有序

混沌內部的有序是指混沌內部有結構，而且在不同層次上其結構具有相似性，即所謂的自相似性。混沌內部的有序還表現為不同系統之間跨尺度的相似性，即所謂普適性。費根鮑姆通過兩種完全不同的反饋函數Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代計算，即取一個數作輸入，產生另一個數作輸出，再將前次的輸出作輸入，如此反復迭代計算。當r值較小時，結果趨向一個定數，當r超過某值時，其軌跡出現分岔。值得注意的是前一個函數是生物種群變化的邏輯斯蒂方程，r值加大表示非線性程度加大，當非線性加大到一定程度后，來年的種群數變得無法預測。第17頁，課件共57頁，創作于2023年2月5、混沌學的意義混沌的發現和混沌學的建立，同相對論和量子論一樣，是對牛頓確定性經典理論的重大突破，為人類觀察物質世界打開了一個新的窗口。所以，許多科學家認為，20世紀物理學永放光芒的三件事是：相對論、量子論和混沌學的創立。

第18頁，課件共57頁，創作于2023年2月6、身邊的混沌現象（1）

1.當您的媽媽對這您大叫：“你的房間簡直一片混沌（混亂）！”她的話可能正確，但是她一定不會知道：混沌里蘊含著秩序。那些亂七八糟的書籍、五顏六色的果皮糖紙、臭氣熏天的襪子里都隱藏著一種秩序，只是等待您的發現。2.美國有句言語“一根稻草能壓死一頭駱駝”，這是蝴蝶效應的最好體現。小的事情往往能產生讓人難以預料的結果。但是，永遠是這樣的嗎？不是！如果放

在駱駝脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不會壓死駱駝的脊背，可能還會為駱駝送上一份美餐。同樣的道理，并不是只要北京蝴蝶拍動一下翅膀，就真的

能夠引起紐約的一場風暴。第19頁，課件共57頁，創作于2023年2月身邊的混沌現象（2）3.當您去海邊游玩的時候，您可曾想到過您是否能測出海岸線的長度？其實，您永遠也測不出它的長度，因為它是分形的。您使用的度量尺寸卻精確，那么得出的結果就越長。4.一個正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的話，您的心臟越健康。5.混沌理論已經被用來決定為孩子種植麻疹疫苗的最佳時間。

第20頁，課件共57頁，創作于2023年2月身邊的混沌現象（3）6.人口動力學中指出：在動物種群，如果數量上不存在混沌或者變異，那么，這個種群必將滅亡。7.冥王星的運行軌道不規則，因為太陽系中存在著的混沌。8.一大群人的行為是可以預測的，因為最前面的領路人影響極為重要。這就象群

飛的大雁。

第21頁，課件共57頁，創作于2023年2月身邊的混沌現象（4）9.學習音樂演奏是一件非常艱辛的事情，需要反復地練習。開始演奏一首曲子時可能一塌糊涂，但是，不斷練習就能產生美好的結果，這是一個較好的反饋循環，最終，有序從混沌中產生，優美的音樂從您的手指間流出。10.流行是觀察自相似特性的一個很好的例子，身邊的朋友們穿著相同的衣服，留著相同的發型，甚至使用相同顏色的指甲油。如果流行是一種分形的話，那么，是什么樣的混沌過程產生了這樣的分形呢？

第22頁，課件共57頁，創作于2023年2月圖1耗散系統（能量不守恒的有摩擦的系統）中的混沌

1963年美國氣象學家洛侖茲在《大氣科學雜志》上發表"確定性非周期流“一文，給出第一個耗散混沌的實例。左為洛侖茲方程組數值解在XOZ平面上的投影，右為數值解在YOZ平面上的投影。在計算機屏幕上演示數值解，只要不人為干預，軌道會永遠運動下去。第23頁，課件共57頁，創作于2023年2月

圖2保守系統（能量守恒的無摩擦系統）中的混沌相空間中有多級橢圓點和雙曲點，在橢圓點附近有周期小島，小島中又有復雜結構，層層嵌套。左上圖為參數取0.8時,右上圖為參數取1.5時,下圖為參數取1.0時的情況。隨著參數的增加（相當對非線性增強），混沌區越來越大。在這里，混沌區與規則區交織在一起，相互滲透，本圖為PC機繪制。第24頁，課件共57頁，創作于2023年2月幾種混沌圖片（1）第25頁，課件共57頁，創作于2023年2月幾種混沌圖片（2）第26頁，課件共57頁，創作于2023年2月幾種混沌圖片（3）第27頁，課件共57頁，創作于2023年2月幾種混沌圖片（4）第28頁，課件共57頁，創作于2023年2月混沌的應用1、混沌與經濟學2、混沌與藝術3、混沌與學習第29頁，課件共57頁，創作于2023年2月1、混沌與經濟學

--溫州炒樓風

溫州炒樓風的肆意蔓延，少不掉一個炒樓故事的推波助瀾：“1999年，溫州人余先生以每平方米2700元的價格在杭州城西買下28套商品房，當該樓盤全部售完時，房價已升到每平方米近5000元，余先生將手上的房子賣出，平均每套房子凈賺了20多萬元……”。此故事曾經無數次出現在報紙、網絡、電視、書籍上，甚至是導游小姐的口中，最終演變成了一個炒樓神話。第30頁，課件共57頁，創作于2023年2月【溫州炒樓風的扇動條件】第一，該區域的人均GDP已經接近或突破了四千美元，已經悄悄進入了城市房地產市場發展的高速增長期。第二，該區域的房價在當時多數仍徘徊在每平方米兩千元左右（上海、杭州稍高），有較大的上浮空間。其中杭州市中心房價從四五千元，炒至上萬元，而上海市中心從七八千元炒至一萬五六以上，平均房價升幅每年達25%以上。第三，溫州是中國最著名的民營經濟區，造就了成千上萬的百萬富翁乃至億萬富翁，據專業人士估計，按人均三萬元閑錢，就達2000億以上；而勞動密集型的產業經濟存在發展瓶頸，因此大量民間游資急需尋找出路。第四，蘇杭兩市為歷史聞名的人間天堂，而上海蓬勃發展的經濟正在成為亞洲新的龍頭，因此，都具有極大的區域競爭優勢，有條件吸引大量國內和海外的購房者，可以說是中國最廣泛的一個消費者來源區。外來購房者巨大的購買力，在一定程度上成為了“炒樓風”的幫兇。第五，制度上的漏洞。炒樓花在深圳早已被限制，但在滬、蘇、杭一帶，早期交幾千元定金就可以訂個房號（后期最多就是二、三成首期），然后價格上漲時拋出套利。后期上海、杭州、南京等地雖然出臺各種“禁炒令”，但已經屬亡羊補牢。然而，在不具備潛在力量的“風暴區域”，溫州人的翅膀就無法“興風作浪”，比如深圳：供求基本平衡、十年來房價基本維持在每平方米五千多元，相鄰年份的漲跌幅度從未超過每平方米300元、市民的房價收入比基本控制在六比一左右、超過九成的自住需求等。一年來，轉戰其他不具備“潛在風暴力量”的城市，溫州購房團總是雷聲大雨點小，從未掀起大的風暴。第31頁，課件共57頁，創作于2023年2月【溫州炒樓風的警示】第一、炒樓風是一種蝴蝶效應（混沌現象），是一種改變房地產市場初始條件的行為，而房地產市場秩序和價格的穩定性對這種行為極為敏感，所以，嚴密控制房地產炒家的投機行為，把炒家的投機行為消滅在萌芽狀態，是防止出現價格泡沫最重要的手段。第二、要分清“投機”和“投資”的不同，能夠引發蝴蝶效應的，一般只是投機行為，但廣泛地說，投機只是投資中的一種“短、平、快”方式（多數時間只有幾個月至兩年），各地政府要嚴格控制的，也正是這種“短、平、快”的投機行為，而對中長期的投資方式，應該是非常歡迎的，因此，不能對溫州購房團一概而論，關鍵是要完善“游戲規則”。第三、房地產市場和股票市場一樣容易產生價格操縱行為（極易產生蝴蝶效應），“炒房團”所帶來的虛假繁榮對地產業相當危險，因此，那種期望“炒房者”刺激本地經濟增長，無異于飲鴆止渴。第32頁，課件共57頁，創作于2023年2月2、混沌與藝術一位畫家帕洛克的創作

是藝術，還是混沌？第33頁，課件共57頁，創作于2023年2月混沌與碎形

曼德布洛在1960~70年代研究復雜性時，發展出碎形幾何學。他稱之為「碎形」乃源自拉丁字“fractus”，意在彰顯這些形狀的破碎與不規則。碎形會展現自相似性。這也就是說，無論如何放大它們，都長得很相似；一個結構的一小部份，看起來就像整體一樣。

自相似性有兩種形式：精確的與統計的。假樹顯示的圖案，在不同放大尺度下都精確重復（下圖左欄）。真樹的圖案則不會精確重復，只有統計上的重復（下圖右欄）。幾乎所有自然界的圖案都遵守統計上的自相似性，帕洛克的繪畫亦然。第34頁，課件共57頁，創作于2023年2月第35頁，課件共57頁，創作于2023年2月暴風夜的啟示

在一個3月份的暴風夜里，處于醉醺醺、有自殺傾向狀態下的帕洛克（JacksonPollock），為他的藝術杰作「藍桿：1952年11號作品」（下圖）打下了重要的基礎。暴風中的谷倉里，他把一塊大畫布橫展在地板上，然后用舊罐子中的油漆沿著一根木棍滴灑在畫布（210CM*486.8CM）上。第36頁，課件共57頁，創作于2023年2月「我關注的是大自然的韻律」

--正是帕洛克說過的名言

這種原始畫風，究竟是藝術天賦的表現，還是只不過是一位醉漢在嘲弄藝術傳統？第37頁，課件共57頁，創作于2023年2月疑問：碎形圖案的一個重要特征是碎形維度（以下簡稱D），它可用來量化圖案在不同放大尺度之下，所顯示出來的比例關系。對于歐氏空間中的形體，維度是簡單的概念，由我們熟悉的整數所描述。對于一條平滑的線條（不含碎形結構），其D值是1，而一個填滿的區域，其D值則是2。不過對于一個碎形圖案，重復的結構會使得曲線也可以占據一個面積，此時它的D值就會落在1和2之間，而當這個重復結構的復雜度與豐富度增加時，它的數值就會往2趨近。這些要怎么應用到帕洛克的繪畫上？為了找出答案，人們利用計算機對他畫布上的圖案做定量分析。

第38頁，課件共57頁，創作于2023年2月結果：把帕洛克的繪畫掃描進計算機里（詳見下節），這是研究的第一步，接著利用計算機產生的方形網格蓋在畫上。借著分析哪些方格里有油彩，哪些沒有，我們可以算出這些圖案的統計性質。接著把方格的尺寸變小，就相當于在更小的尺度觀看這些圖案。我們分析中所檢視的圖案，尺寸由小至一個油彩的小斑點，大到約一公尺都有。令人驚訝的是，這些圖案是碎形，而且不管在任何尺度范圍內，它們全都是碎形，其中最大的圖案比最小的大1000倍以上。原來早在人們發現自然界碎形的25年前，帕洛克就已經畫著碎形了。第39頁，課件共57頁，創作于2023年2月分析帕洛克的技巧

計算機輔助分析顯示，帕洛克用一種小心發展出來的技巧，將油彩一層一層涂上去，從而形成一個綿密網狀的碎形。帕洛克在作畫時偶爾會接受拍照（黑白照片。圖中為帕洛克與他的妻子克萊斯娜，這是「一：1950年第31號作品」作畫時的情景。）第40頁，課件共57頁，創作于2023年2月對《秋韻》的分析（1950年第30號作品」，油畫，266.7x525.8公分。）

第41頁，課件共57頁，創作于2023年2月「秋韻」中黑色色層的細部結構

第42頁，課件共57頁，創作于2023年2月分析哪些方格里有油彩（藍色），哪些沒有（白色），我們可以算出這些圖案的統計性質。接著把方格的尺寸變小（下圖），就相當于在更小的尺度觀看這些圖案。我們發現這些圖案在所有尺度內，都是碎形。

以編年的方式研究帕洛克畫作，我們發現碎形圖案的維度D，也隨著他的技巧精進而增加。其中一個D值顯然是個特例，1950年的「秋韻」D值高達1.9。第43頁，課件共57頁，創作于2023年2月D值的變化對于繪畫的外觀有極深的影響。D值低的碎形，重復的圖案會造成一個平滑、稀疏的圖像。但如果D值接近2，則重復的圖案會造出錯綜復雜而充滿細致結構的東西。（見連續圖）第44頁，課件共57頁，創作于2023年2月偉大的作品第45頁，課件共57頁，創作于2023年2月3、混沌與學習

--學習的混沌法則

“初始的微小差異可能引起巨大的結果變化”---《混沌動力學》第46頁，課件共57頁，創作于2023年2月混沌與學習的關系說起學習與混沌學有密切關系，很多人可能覺得摸不著頭腦。實際上，學習活動無論從微觀尺度(例如，一次思考)到宏觀尺度（例如，學校教育）都有混沌的潛規則在發揮作用，這些作用甚至可能完全改變一個人的終身軌跡，可能會有巨大的成功，也可能會陷入不可避免的怪圈中。“不積跬步，無以至千里”“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”

第47頁，課件共57頁，創作于2023年2月微小變化引起巨大的結果差異

實驗：當我們在2歲的時候，可能在不同的氛圍中造成了一些詞匯量的差異，這種差異也許很小，只有150個。但是這種小差異會在15歲的時候放大為10年的差距。最高的程度可以達到大學二年級的認知能力，而最低可能只有5-6年級的水平，中間水平可能分別于兩個極端相差4-6年的程度。實驗說明，本來微小的差別可能在隨著時間不斷放大，而且并非以固定的線性方式增加，最終會不斷放大到顯著的差距程度。也就是說，這些微小的差異可能完全導致兩個人的人生軌跡產生巨大的反差。第48頁，課件共57頁，創作于2023年2月圖示：第49頁，課件共57頁，創作于2023年2月哥倫布的船隊人生發展軌跡如同航海旅行一樣，當年哥倫布船隊中有三艘船分別從西班牙出發，如果一開始出發時他們之間只有三度差別，結果會怎么樣呢？其中一艘可能會到達格陵蘭島，另一艘可能會到達海地，而第三艘會遠到阿根廷。這正是微小初始差異在軌跡上造成的不同。第50頁，課件共57頁，創作于2023年2月初始值的重要性：在混沌學的理論中，我們知道“初始條件”是非常重要的。上面的實驗已經顯示了這一點。在2歲時只有150個詞匯的差別會在后來產生巨大的不同。改變這些軌跡的努力需要有一個持續的累積過程。或許在以前的學習中我們忽視了許多，那么現在我們應當怎么做呢？第51頁，課件共57頁，創作于2023年2月大腦的混沌規律人類的大腦是最復雜的物體，近十年來的神經生理學的研究已經讓人們更多地認識了大腦。雖然在細節的工作機制上仍然需要不斷探索，但是我們畢竟已經可以將很多成果應用到學習理論的分析中。除了我們從前所提到的可塑性和階段性，大腦中神經元的工作機理也逐步清晰：一些比較底層的神經元（是指執行最基本任務的神經元）從它的數千個樹突上獲得外界的信號，然后這些神經元的任務就是做出評判。第52頁，課件共57頁，創作于2023年2月這個過程為什么說是混沌的呢？因為頭腦中的大量信息處理過程本身是不確定的一個過程，每一個選擇都幾乎是大量神經元獨立判斷選擇后的一個匯總結果。即使在完全沒有干擾的情況下，任何人也很難在兩次表達一個類似的意思時，應用完全相同的句子。這也正說明了大腦中的每次思考和決策都是不確定的。同樣的道理，很多創新的過程也與頭腦中的混沌過程密不可分。當人們苦思冥想的時候并不一定產生創造，但是卻往往在某些信息無意識地進入頭腦的時候出發靈感，產生令人興奮的發明。當我們學習的時候，實際上是重新讓這些神經元建立對知識的新結構模型，而如果很快地讓這些模型重新應用起來，則必然有助于達到學習效果。大腦的活動在某些層面看是無序的，但是卻很明顯，一個高級生命體的生存離不開這樣的無序。只有在微觀層次的無序，才會獲得有序的智能學習、判斷