§6指數函數、冪函數、對數函數增加比較第1頁一粒米故事

從前，有一種國王尤其愛慕一項稱為“圍棋”游戲，于是他決定獎賞圍棋發明者，滿足他一種心愿.“陛下，我深感榮幸，我愿望是你賞我一粒米.”發明者說.“只是一粒米？”國王回答說.“是，只要在棋盤第一格放上一粒米，在第二格放上兩粒米，在第三個加倍放上四粒米…以此類推，每一格均是前一格兩倍，直到放滿棋盤格數為止，這就是我愿望.”國王很快樂，以為這個愿望很容易滿足。于是國王大聲地說“好！把棋盤拿出來讓我臣子們一起見證我們協議”……思考：國王真能夠滿足圍棋發明者愿望嗎？第2頁1.鞏固冪函數、指數函數、對數函數圖像與性質.2.通過比較冪函數、指數函數、對數函數增加快慢,理解這三種函數增速差異.（重點）3.體會數形結合思想在研究函數中應用.(難點）第3頁y=bxy=ax一、指數函數y=ax(a>1)圖像及a對圖像影響yxO1baa>1時，y=ax是增函數，底數a越大，其函數值增加就越快.第4頁y=logaxy=logbx二、對數函數y=logax(a>1)圖像及a對圖像影響yxOa>1時，y=logax是增函數，1ab底數a越小，其函數值增加就越快.第5頁y=x2y=x3三、冪函數y=xn(n>1)圖像及n對圖像影響yxOn>1時，y=xn是增函數，且x>1時，n越大其函數值增加就越快.第6頁對于上述三種增加函數,它們函數值增加快慢有何差異呢?對函數y=2x,y=x2(x>0),y=log2x函數值(取近似值)比較第7頁列表并在同一坐標系中畫出上面這三個函數圖像.x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.4…3.4824.5956.063810.556…3.244.846.67911.56…0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x第8頁3.結合函數圖像找出其交點坐標.

從圖像看出y=log2

x圖像與另外兩函數圖像沒有交點，且總在另外兩函數圖像下方，y=x2圖像與y=2x圖像有兩個交點(2，4)和（4，16）.4.根據圖像,分別寫出使不等式

log2

x<2x<x2和log2

x<x2<2x成立自變量x取值范圍.使不等式log2

x<2x<x2x取值范圍是(2，4);使不等式log2

x<x2<

2xx取值范圍是(0，2)∪(4,+∞);5.由以上問題你能得出如何結論？ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

xx012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…第9頁xo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2一般地，對于指數函數y=ax(a>1)和冪函數y=xn(n>0),在區間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x一定變化范圍內，ax會不大于xn,但由于ax增加快于xn增加，因此總存在一種x0,當x>x0時，必有ax>xn.對于對數函數y=log2

x（a>1)和冪函數y=xn(n>0),在區間（0，+∞）上,伴隨x增大，logax增加越來越慢，圖像就像是漸漸地與x軸平行同樣.盡管在x一定變化范圍內，logax也許會大于xn，但由于logax增加慢于xn增加，因此總存在一種x0,當x>x0時，必有logax<xn.…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x第10頁【抽象概括】

盡管對數函數logax(a>1),指數函數y=ax(a>1)與冪函數y=xn(n>0)在區間（0，+∞）上都是增函數，但它們增加速度不一樣，并且不在同一種“檔次”上.伴隨x增大，y=ax（a>1）增加速度越來越快，會超出并遠遠大于y=xn（n>0）增加速度，而y=logax(a>1)增加速度則會越來越慢.因此總會存在一種x0，當x>x0時，必有logax<xn<ax.雖然冪函數y=xn(n>0)增加快于對數函數y=logax(a>1)增加，但它們與指數增加比起來相差甚遠，因此指數增加又稱“指數爆炸”.第11頁【規律總結】(1)對數函數增加最慢(2)當自變量x大于某一種特定值時，指數函數比冪函數增加快第12頁例1.試用計算器來計算2500近似值.解：第一步，利用科學計算器算出210=1024=1.024×103；第二步，再計算2100，由于2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030,因此，我們只需用科學計算器算出1.02410≈1.2677，則2100≈1.2677×1030；第三步，再計算2500，由于2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150,因此，我們只需用科學計算器算出1.26775≈3.2740，從而算出2500≈3.27×10150.第13頁例2.在自然界中，有些種群世代是隔離，即每一代生活周期是分離，例如很多一年生草本植物，在當年結實后死亡，第二年種子萌發產生下一代.假設一種抱負種群，其每個個體產生2個后裔，又假定種群開始有10個個體，到第二代時，種群個體將上升為20個，后來每代增加1倍，依次為40，80，160，…，試寫出計算過程，歸納種群增加模型，說明何種情況種群上升，種群穩定，種群滅亡.第14頁解：設Nt表達t世代種群大小，Nt+1表達t+1世代種群大小，由上述過程歸納成最簡單種群增加模型，由下式表達：Nt+1=R0·Nt,其中R0為時代凈繁殖率.假如種群R0速率年復一年地增加，則當R0>1時，種群上升；R0=1，種群穩定；0<R0<1，種群下降；當R0=0，雌體沒有繁殖，種群在這一代中死亡.第15頁【變式練習】銀行定期存款中，存期為1年、2年、3年、5年年利率分別為2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，現將1000元人民幣存入銀行，求:應如何存取以使5年后得到本金和利息總和最大？解：存5年共有6種存款方式：（1）一次性存入5年，本金和利息總和為1000+5×1000×2.88%=1144（元）；（2）存一種三年，再存一種兩年(1000+3×1000×2.70%)(1+2×2.43%)≈1133.54(元)；（3）存一種三年，再存兩個一年1000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2≈1130.19(元)；第16頁（4）存兩個兩年，再存一種一年1000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)≈1124.30（元）；（5）存一種兩年，再存三個一年1000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3≈1120.99（元）；（6）存五個一年1000(1+2.25%)5≈1117.68（元）.答：一次性存入5年本金和利息總和最大.第17頁1．當x越來越大時，下列函數中，增加速度最快是（）A.

B.

D.

【解析】由于指數函數增加為爆炸式增加，則

增加速度最快.D第18頁B【解析】第19頁3.某種植物生長發育數量y與時間x關系如表：下面函數關系式中，能體現這種關系是(

)A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2解：代入數據驗證可得答案．x123…y138…D第20頁4.有一種樹木栽植五年后可成材．在栽植后五年內，年增加20%，假如不砍伐，從第六年到第十年，年增加10%，現有兩種砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再過五年再砍伐一次．請計算后回答：十年內哪一種方案能夠得到較多木材？第21頁解：設樹木最初栽植量為a，甲方案在23年后樹木產量