四升五培優數學暑假班講義四年級培優數學暑假班第一講：算式謎題。解決算式謎題需要找準突破口，推理時應注意以下幾點：1.認真分析算式中所包含的數量關系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2.利用列舉和篩選相結合的方法，逐步排除不合理的數字；3.試驗時，應借助估值的方法，以縮小所求數字的取值范圍，達到快速而準確的目的；4.算式謎解出后，要驗算一遍。例1：在下面的方框中填上合適的數字?！?6×□□18□□□□□□31□□分析：由積的末尾是，可推出第二個因數的個位是5；由第二個因數的個位是5，并結合第一個因數與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個因數的百位是3；由第一個因數為376與積為31□□，可推出第二個因數的十數上是8。題中別的數字就容易填了。練習一：在空格里填上適當的數。（1）6□（2）□2□□（3）285×35×□6×□□33□□□41□2□1□8□□7□□□□□□□□□□□□□9□□例2：在下面方框中填上適合的數字。分析：由商的十位是1，以及1與除數的乘積的最高位是1可推知除數的十位是1。由第一次除后余下的數是1，可推知被除數的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數的個位是，那么最后必有余數；如果被除數是8，除數的個位就是1，也不能除盡；只有當被除數的十位是9時，除數的個位是2時，商的個位為6，正好除盡。練習二：在空格內填入適當的數字，使下列除法豎式成立。例3：下面算式中的a、b、c、d這四個字母各代表什么數字？abcd×9dcba分析：因為四位數abcd乘9的積是四位數，可知a是1；d和9相乘的積的個位是1，可知d只能是9；因為第二個因數9與第一個因數百位上的數b相乘的積不能進位，所以b只能是（1已經用過）；再由b=0，可推知c=8。練習三：求下列各題中每個漢字所代表的數字。（1）1華羅庚金杯×3華=羅=庚=華羅庚金杯1金=杯=（2）盼望祖國早日統一×一盼=望=祖=盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=統=國=一=例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字中間加上“＋、－”兩種運算符號，使其結果等于100（數字的順序不能改變）。分析：先湊出與100比較接近的數，再根據需要把相鄰的幾個數組成一個數。（1）一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結果等于100（數字的順序不能改變）。123+45+6+7+8+9+10=100（2）添上適當的運算符號和括號，使下列等式成立。1+2+(3×4)÷5+6×7+8+9=100例5：在下面的式子里添上括號，使等式成立。(88+33-11)÷(11×2)=5分析：根據運算符的優先級，應先計算除法，再計算加減法，所以需要給除法加上括號。1、已知兩數相除，商為19，若被除數擴大20倍，除數縮小4倍，求新的商。原先的被除數為x，除數為y，則有x/y=19?，F在被除數擴大20倍，除數縮小4倍，變成了20x/(y/4)，即商變成了(20x/(y/4))/19=80x/y。所以新的商為80。2、已知兩數相除，商為27，若被除數擴大12倍，除數擴大6倍，求新的商。原先的被除數為x，除數為y，則有x/y=27?，F在被除數擴大12倍，除數擴大6倍，變成了12x/6y，即商變成了(12x/6y)/27=8x/9y。所以新的商為8/9。練習四1、已知小強把一個加數十位上的7錯寫成了1，個位上的8錯寫成了x，所得的和為285，求正確的和。設原先的加數為a，錯寫后的加數為b，則有a+7x+b+8=285，即a+b=280-7x。將7x錯寫成的數字代入得到a+b=231，所以正確的和為a+b+7x+8=239+7x。2、已知小亮把一個加數個位上的5錯寫成了3，另一個加數十位上的3錯寫成了8，所得的和為650，求正確的和。設原先的兩個加數分別為a和b，則有a+5b=10x+y，錯寫后的加數為a+3b+8x+y，所以有a+3b+8x+y+5b=650，即a+8b+8x+y=650。將3和8錯寫成的數字代入得到a+8b+2=650，所以正確的和為a+b+8x+y+2=652。練習五1、已知小剛把減數個位上的9錯寫成了6，十位上的3錯寫成了8，所得的差為268，求正確的差。設原先的減數為a，錯寫后的減數為b，則有a-9+10b-30=268，即a+10b=307+9=316。將9和3錯寫成的數字代入得到a+10b=341，所以正確的差為a-b=341-268=73。2、已知小紅把被減數十位上的x錯寫成了8，減數個位上的8錯寫成了3，所得的差為632，求正確的差。設原先的被減數為a，減數為b，則有a-x0-b=632，錯寫后的被減數為a-10x+b+80，所以有a-10x+b+80-x0-b=632，即a-10x+80-x0=632。將x錯寫成的數字代入得到a-10*8+80-0=632，所以正確的差為a-b=632-72=560。例1：已知兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍。求兩箱原來各有茶葉多少千克？設甲箱原來有x千克茶葉，則乙箱原來有(96-x)千克茶葉。現在從甲箱取出12千克放入乙箱后，乙箱的茶葉重量變成了3倍的甲箱，即(96-x+12)=3x。解得x=28，所以甲箱原來有28千克茶葉，乙箱原來有68千克茶葉。1、甲、乙、丙三個人一起做某件事，甲比乙多做8個小時，丙比甲少做12個小時，他們一共做了多少小時？2、一個三角形的三個角分別是60度、70度和50度，這個三角形的周長是24厘米，它的面積是多少平方厘米？解答：練習一：1、設甲、乙原來各儲蓄x、y元，則有x+y=2000，x-160=2(y+240)-20，解得x=1100，y=900，甲原來儲蓄1100元，乙原來儲蓄900元。2、設原來綿羊、山羊的只數分別為x、y，則有x+y=3561，x-60=y+100，2x-1=y，解得x=1187，y=2374，原來綿羊有1187只，山羊有2374只。練習二：1、設甲、乙、丙做的零件數分別為x、y、z，則有x=y+12，z=2x-20=y+38，x+y+z=？解得x=70，y=58，z=100，這批零件共有228個。2、設蘋果樹、桃樹的棵數分別為x、y，則有x=3y，25x+15y-25y=140，解得x=105，y=35，果園里共有140棵樹。練習三：1、設第三層放x雙，第二層放x+7雙，第一層放x+7+4雙，則有3x+18+4x+28+x=120，解得第三層多放39雙，第二層多放46雙，第一層多放35雙。2、設四個數分別為x、y、z、w，則有x=y+16，x=z+20，x=w-12，x+y+z+w=152，解得x=47，w=59，被除數是236，除數是59。練習四：1、設甲、乙、丙一共做了x小時，則有甲比乙多做8小時，丙比甲少做12小時，解得甲做了(x+8)/3小時，乙做了(x-8)/3小時，丙做了(x-4)/3小時，所以x=3(x+8)/3+3(x-8)/3+3(x-4)/3，解得x=60，他們一共做了60小時。2、設三角形的三條邊長為a、b、c，則有a+b+c=24，cos60°=(b2+c2-a2)/(2bc)，sin60°=sqrt(3)/2，解得a=8，b=10，c=6，所以三角形的面積是sqrt(12×2×2×3)=12sqrt(3)平方厘米。1、已知被除數、除數的商和余數，求被除數。設被除數為x，除數為y，則有xy+7=5y+x+187，整理得4y=186-x，即x=186-4y。代入原式得5y+7=186-4y，解得y=23，代入可得x=79。2、已知被除數、除數的商和被除數、除數的和，求被除數和除數。設被除數為x，除數為y，則有xy+8=17y+x+y+501，整理得16y=493-x，即x=493-16y。代入原式得17y+509=493，解得y=8，代入可得x=125。1、已知劉叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。設李叔叔的存款為x，則劉叔叔原有存款為6x，取出1100元后剩余5x-1100，李叔叔存入1100元后剩余x+1100，根據題意有5x-1100=2(x+1100)，解得x=2500，代入可得劉叔叔原有存款為15000元。2、設小筐裝菠蘿x千克，則中筐裝菠蘿2x千克，大筐裝菠蘿8x千克。由中筐比大筐少裝16千克得到2x=8x-16，解得x=4千克。因此，小筐裝菠蘿4千克，中筐裝菠蘿8千克，大筐裝菠蘿32千克。1、已知甜甜用12去除得到商為32余6，求蜜蜜用15去除得到的商。設蜜蜜用15去除得到的商為y，則有12×32+6=15y，解得y=26，因此蜜蜜用15去除得到的商為26。2、已知小虎把被除數1250誤寫成1205，得到的商為48余5，求正確的商。設正確的商為x，則有1205÷x=48……5，即1205=48x+5。由于正確的被除數為1250，代入得到1250=48x+5，解得x=25，因此正確的商為25。2、已知小芳把除數32錯寫成320，得到的商為48，求正確的商。由于除數擴大了10倍，正確的商應該是錯誤商的10倍，因此正確的商為48×10=480。1.確定圖形的類型和特征，如長方形的長和寬、三角形的底和高等。2.根據題目所給的條件，利用相應的公式求解面積。3.注意單位的轉換，如將平方厘米轉換為平方米等。4.在解答過程中，注意細節，如小數點的位置等。練習：1.一個長方形的長是5.2米，寬是3.8米，它的面積是多少平方米？分析與解答：該長方形的面積為5.2米×3.8米=19.76平方米。2.一個直角三角形的底是12厘米，高是5厘米，它的面積是多少平方厘米？分析與解答：該直角三角形的面積為1/2×12厘米×5厘米=30平方厘米。3.一個圓的半徑是3.5米，它的面積是多少平方米？分析與解答：該圓的面積為π×(3.5米)2≈38.48平方米。4.一個梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是8厘米，它的面積是多少平方厘米？分析與解答：該梯形的面積為1/2×(6厘米+10厘米)×8厘米=64平方厘米。5.一個正方形的面積是16平方米，它的邊長是多少米？分析與解答：該正方形的邊長為√16平方米=4米。1、細心觀察圖形特點，合理進行切割，以解決問題；2、從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質，結合分析推理和計算，使隱蔽的數量關系明朗化。例1：一個長方形鐵板，長18米，寬13米。如果長和寬各減少2米，面積比原來減少多少平方米？分析與解答：用新的面積減去原來的面積，得到減少的面積。新的面積是(18-2)×(13-2)=208平方米，原來的面積是18×13=234平方米。所以，面積減少了234-208=26平方米。練習一：1、一個長方形鐵板，長18米，寬13米。如果長和寬各減少2米，面積比原來減少多少平方米？2、一個長方形地，長80米，寬45米。如果把寬增加5米，要使面積不變，長應減少多少米？例2：一個長方形，如果寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米。這個長方形原來的面積是多少平方米？分析與解答：由“寬不變，長增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為9米；由“長不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長為12米。所以，這個長方形原來的面積是12×9=108平方米。練習二：1、一個長方形，如果寬不變，長增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長不變，寬增加3米，那么它的面積增加48平方米。這個長方形原來的面積是多少平方米？2、一個長方形，如果它的長減少3米，或它的寬減少2米，那么它的面積都減少36平方米。求這個長方形原來的面積。例3：下圖是一個養禽專業戶用一段16米的籬笆圍成的一個長方形養雞場，求它的占地面積。墻4米分析與解答：根據題意，因為一面利用著墻，所以兩條長加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長是(16-4)÷2=6米，占地面積是6×4=24平方米。練習三：1、用56米長的木欄圍成長或寬是20米的長方形，其中一邊利用圍墻，怎樣才能使圍成的面積最大？2、用15米長的柵欄沿著圍墻圍一個種植花草的長方形苗圃，其中一面利用著墻。如果每邊的長度都是整數，怎樣才能使圍成的面積最大？例4：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？分析與解答：將水泥路分成四個同樣大小的長方形，每個長方形的面積為3平方米。因為水泥路寬1米，所以每個小長方形的長為3米。由圖可知，正方形花壇的邊長為小長方形的長減去水泥路的寬，即2米。因此，中間花壇的面積為2×2=4平方米。練習一：1、假設大正方形的邊長為x，四個長方形的面積之和為64-4=60平方米。則每個長方形的面積為60÷4=15平方米。因為長方形的長和寬相等，所以長方形的長為√15米。2、設小正方形的邊長為x，則大正方形的邊長為x+4。由題可得：(x+4)2-x2=96。解得x=4，因此小正方形的面積為16平方厘米，大正方形的面積為496平方厘米。例5：將陰影部分剪下來，可以得到兩個小長方形，它們的面積之和為181平方分米。再加上被剪掉的兩個小長方形，可以得到一個長寬分別為8分米和5分米的長方形，面積為221平方分米。因此，原來正方形的邊長為221÷13=17分米。練習五：1、設原來長方形的長為x，寬為y，則有xy-(x-5)(y-2)=66，化簡得x+y=29。又因為剩下的部分是一個正方形，所以x-5=y-2，解得x=21，y=8。因此，原來長方形的面積為21×8=168平方分米。2、設原來正方形的邊長為x，則有(x-8)2=x2-448，解得x=24。因此，原來正方形的面積為24×24=576平方厘米。例1：由題可知，劉俊每天讀的頁數是一個等差數列，首項為30，公差為3，末項為60，項數為11。因此，他讀的總頁數為(30+60)×11÷2=495頁。練習一胡茜讀了一本故事書，第一天讀了20頁，從第二天開始，每天讀的頁數都比前一天多5頁。最后一天讀了50頁，恰好讀完，這本書共有多少頁？解答：設這本書一共有x頁，則第二天讀了20+5=25頁，第三天讀了25+5=30頁，以此類推，第n天讀了20+5(n-1)頁。最后一天讀了50頁，所以有20+25+...+20+5(n-1)+50=x，即(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=x。等差數列求和公式可得，(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=(n/2)(20+20+5(n-1))=15n^2+5n。因此，15n^2+5n=x。又因為最后一天讀完了整本書，所以15n^2+5n=x，即15n^2+5n=x≤15n^2+30n+15=(3n+5)^2-10。因此，3n+5≥32，即n≥9。因為n是正整數，所以n≥9。又因為n≤20（最后一天讀完書），所以9≤n≤20。因此，我們只需在9~20之間枚舉n，判斷是否滿足15n^2+5n=x即可。最后得到x=1550。麗麗學英語單詞，第一天學會了6個，以后每天都比前一天多學1個，最后一天學會了16個。麗麗在這些天中學會了多少個英語單詞？解答：設麗麗一共學了x個單詞，則第二天學了6+1=7個單詞，第三天學了7+1=8個單詞，以此類推，第n天學了6+(n-1)個單詞。最后一天學了16個單詞，所以有6+7+...+6+(n-1)+16=x，即(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=x。等差數列求和公式可得，(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=(n/2)(6+6+n-1)+16=3n^2+3n+16。因此，3n^2+3n+16=x。又因為最后一天學了16個單詞，所以3n^2+3n+16=x，即3n^2+3n+16≤x<3(n+1)^2+3(n+1)+16。因此，3n^2+3n+16≤x<3n^2+9n+22。因為x是正整數，所以3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21。我們只需在1~16之間枚舉n，判斷是否滿足3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21即可。最后得到x=816。想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？如果把“第11天”改為“最后一天”，則我們無法得知最后一天學了多少個單詞，因此無法確定麗麗一共學了多少個單詞。練習二有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？解答：假設有n把鎖的鑰匙搞亂了，則第一次開鎖最多需要試n-1次，第二次開鎖最多需要試n-2次，以此類推，第n次開鎖最多需要試1次。因此，至多需要試1+2+...+n-1=n(n-1)/2次。又因為至多要試28次，所以n(n-1)/2≤28，即n(n-1)≤56。我們只需在1~10之間枚舉n，判斷是否滿足n(n-1)≤56即可。最后得到n=7，因此有7把鎖的鑰匙搞亂了。有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒子里的羽毛球只數不相等？解答：由于每個盒子里的羽毛球只數必須是正整數，所以10個盒子里的羽毛球只數之和必須是44的因數。而44=2^2×11，因此44的因數有1、2、4、11、22、44。我們只需在10個盒子中選出若干個盒子，使它們里面的羽毛球只數之和等于1、2、4、11、22或44即可。根據奇偶性可知，只能選出偶數個盒子，因為1、11、22都是奇數。又因為44只羽毛球不能被分成兩個奇數之和，所以不能選出所有盒子。因此，我們只需在1~9之間枚舉選出的盒子數，判斷是否能選出若干個盒子，使它們里面的羽毛球只數之和等于2、4、22或44即可。最后得到可以選出6個盒子，使它們里面的羽毛球只數之和分別為4、4、4、4、8、20。因此，可以把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒子里的羽毛球只數不相等。練習三在一次同學聚會中，一共有43位同學和4位老師，每一位同學或老師都要和其他同學握一次手。那么一共握了多少次手？解答：一共有43+4=47人，他們每個人都要握手，因此一共握了(47×46)/2=1081次手。假期里有一些同學相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問有多少位同學相約互通電話？解答：假設有n個同學相約互通電話，則每個同學都要打n-1次電話，因此一共打了n(n-1)次電話。又因為一共打了78次電話，所以n(n-1)=78。我們只需在1~12之間枚舉n，判斷是否滿足n(n-1)=78即可。最后得到n=12，因此有12位同學相約互通電話。想一想：如果每人互通3次電話，他們一共打了78次電話，問有多少位同學相約互通電話？如果每人互通3次電話，他們一共打了78次電話，則每個同學都要打3(n-1)次電話，因此一共打了3n(n-1)次電話。又因為一共打了78次電話，所以3n(n-1)=78。我們只需在1~9之間枚舉n，判斷是否滿足3n(n-1)=78即可。最后發現沒有整數解，因此無法確定有多少位同學相約互通電話。練習四求1~999這999個連續自然數的所有數字之和。解答：首先應該弄清楚這題是求999個連續自然數的數字之和，而不是求這999個數之和。為了能方便地解決問題，我們不妨把算進來（它不影響我們計算數字之和）計算0~999這1000個數的數字之和。這1000個數頭尾兩配對后每兩個數的數字之和都相等，是9+0=9，一共有1000÷2=500對，所以，1~999這999個連續自然數的所有數字之和是9×500=4500。這篇文章介紹了還原問題的解決方法——倒推法。還原問題是指已知某個數經過加、減、乘、除運算后所得的結果，要求原數。解決這類問題通常需要倒推法。如果遇到比較復雜的還原問題，可以借助畫圖和列表來解決。文章通過三個例子來說明倒推法的應用。在第一個例子中，小剛的奶奶的年齡是通過一系列加、減、乘、除運算得到的。倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個條件開始向前推算，找到原數。這個例子的答案是79歲。在第二個例子中，商場出售洗衣機的數量是通過一系列售出和剩余的數量得到的。同樣地，倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個條件開始向前推算，找到原數。這個例子的答案是480臺。在第三個例子中，三個人共有60本故事書，其中兩個人之間進行了多次借書和還書的操作。倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個條件開始向前推算，找到原數。這個例子的答案是小明有16本書，小強有23本書，小勇有21本書。練習部分提供了兩個問題，可以幫助讀者練習倒推法的應用。在解決這些問題時，讀者可以先從最后一個條件開始向前推算，找到原數。練習三1、設甲、乙、丙原本各有x、y、z張賀年卡，根據題意列出方程組：x+y+z=90x-3=y+5(y+5)-23=(z+3)+13化簡得到：x-2y+z=-8x+y+z=90解得x=71，y=32，z=27，因此甲、乙、丙原本各有71、32、27張賀年卡。2、設小紅、小麗、小敏原本各有x、y、z張年歷，根據題意列出方程組：x-13=yy+23=zz-3=x化簡得到：x-y+z=3x+y+z=120解得x=42，y=29，z=49，因此小紅、小麗、小敏原本各有42、29、49張年歷。練習四1、設甲、乙、丙原本各有x、y、z個玻璃球，根據題意列出方程組：y=x+zx=y+zz=x+y化簡得到：x+y+z=48解得x=y=z=16，因此甲、乙、丙原本各有16個玻璃球。2、設上、中、下三層書架原本分別有x、y、z本書，根據題意列出方程組：x+y+z=192x-y+z=0x+y-z=64解得x=96，y=48，z=48，因此上、中、下三層書架原本分別有96、48、48本書。例5：設甲猴最初準備拿x個桃，根據題意列出方程：x-26/2-(26/2)/2+5=(26/2)/2+5化簡得到：x=39因此甲猴最初準備拿39個桃。題目一：已知每間宿舍可住6人時，16人沒有床位；每間可住8人時，多出10個床位。求宿舍數量和學生人數。解答：設宿舍數量為x，學生人數為y。根據題意，可以列出如下方程組：6x+16=y8x-10=y將第一個方程式乘以2，得