流體力學實驗第二章1第1頁，課件共44頁，創作于2023年2月對于模型實驗研究：

如何選定制作模型的比尺、實驗中流動參數及變化范圍并使得模型實驗的流動狀態和原型流動相似，使模型實驗的結果符合于實際？

如何將模型實驗結果推廣應用到原型上去？如何根據特定條件下得到的實驗結果推廣應用到同類相似的流動中？模型實驗的理論基礎包括：

相似理論

量綱分析2第2頁，課件共44頁，創作于2023年2月§2.2流動的力學相似

相似的概念：首先出現在幾何學里，如兩個三角形相似時，則它們的對應角相等，對應邊成比例。

流體力學相似：是幾何相似概念在流體力學中的推廣和發展，它指的是兩個流場的力學相似，即在流動空間的各對應點上和各對應時刻，表征流動過程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流動過程的物理量按其性質主要有三類，即表征流場幾何形狀的，表征流體微團運動狀態的和表征流體微團動力性質的，因此，流動的力學相似主要包括流場的幾何相似、運動相似和動力相似。3第3頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.幾何相似

保持幾何相似是模型實驗最基本的要求。

幾何相似是指模型與原型的全部對應線性長度的比例相等，即

線性長度也稱為特征長度，可以是翼型的翼弦長b，圓柱的直徑d，管道的長度l，管壁絕對粗糙度等，式中kl為長度比尺。兩機翼幾何相似模型流動用上標′表示4第4頁，課件共44頁，創作于2023年2月只要模型與原型的全部對應線性長度的比例相等，則它們的夾角必相等。由于幾何相似，模型與原型的對應面積、對應體積也分別互成一定比例，即

面積比尺

體積比尺

5第5頁，課件共44頁，創作于2023年2月正態模型：長、寬、高比尺均一致的模型。在流體力學模型實驗中，一般采用正態模型。變態模型：分別采用不同的長度比尺、高度比尺和寬度比尺，如天然河道的模型。6第6頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.運動相似

運動相似是指模型與原型的流場所有對應點、對應時刻的流速方向相同而大小成比例，即速度比尺kv為：

流場運動相似7第7頁，課件共44頁，創作于2023年2月由于流場的幾何相似是運動相似的前提條件，因此模型與原型流場中流體微團經過對應路程所需要的時間也必互成一定比例，即

時間比尺:

由幾何相似和運動相似還可以導出用kl、kv表示的有關運動學量的比尺如下：

8第8頁，課件共44頁，創作于2023年2月

加速度比尺

體積流量比尺

運動粘度比尺

角速度比尺只要確定了模型與原型的長度比尺和速度比尺，便可由它們的不同組合確定所有運動學量的比尺。9第9頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.動力相似

動力相似是指模型與原型的流場所有對應點作用在流體微團上的各種力彼此方向相同，而它們大小的比例相等

動力相似10第10頁，課件共44頁，創作于2023年2月

以上三種相似是互相聯系的。流場的幾何相似是流動力學相似的前提條件，動力相似是決定運動相似的主導因素，而運動相似則是幾何相似和動力相似的表現。

因此，模型與原型流場的幾何相似、運動相似和動力相似是兩個流場完全相似的重要特征。由此模型與原型流場的密度也必互成一定比例，即

密度比尺：

由于兩個流場的密度比尺常常是已知的或者是已經選定的，故做流體力學的模型實驗時，經常選取、、作為基本比尺，即選取、、作為獨立的基本變量。11第11頁，課件共44頁，創作于2023年2月于是可導出用、和表示的有關動力學的比尺如下：

力的比尺

力矩（功、能）比尺

壓強（應力）比尺

功率比尺

動力粘度比尺12第12頁，課件共44頁，創作于2023年2月

有了以上關于幾何學量、運動學量和動力學量的三組比尺，模型與原型流場之間各物理量的相似比尺換算就很方便了。其他還有溫度相似（熱相似）、濃度相似等在傳熱、擴散等問題的模型實驗中會用到。13第13頁，課件共44頁，創作于2023年2月§2.3相似準則（相似準數、相似判據）1.相似準則

相似準則（相似判據）：由流動的特征量所組成的無量綱組合量，通過它們來判斷模型和原型流動是否滿足（動力）相似。幾何相似準則：矩形相似。稱為幾何相似準則數或無量綱邊長。

如何導出動力相似準則（相似判據）？14第14頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.動力相似準則

任何系統的機械運動都必須服從牛頓第二定律.對模型與原型流場中的流體微團應用牛頓第二定律，再按照動力相似，各種力大小的比例相等，可得

令

Ne稱為牛頓（I.Newton）數,它是作用力與慣性力的比值，是一個無量綱數。

15第15頁，課件共44頁，創作于2023年2月

模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數必定相等即;反之亦然。這便是由牛頓第二定律引出的牛頓相似準則。

不論是何種性質的力，要保證兩種流場的動力相似，它們都要服從牛頓相似準則，于是，可得：

一、重力相似準則二、粘性力相似準則三、壓力相似準則四、非定常性相似準則五、彈性力相似準則六、表面張力相似準則16第16頁，課件共44頁，創作于2023年2月

重力相似準則

代入牛頓相似準則，

Fr稱為弗勞德（W.Froude）數,它是慣性力與重力的比值。17第17頁，課件共44頁，創作于2023年2月

模型和原型流動的重力作用相似，它們的弗勞德數必定相等，即；反之亦然。這便是重力相似準則。又稱弗勞德相似準則。由此可知，重力作用相似的流場，有關物理量的比尺要受弗勞德相似準則的制約，不能全部任意選擇。由于在重力場中，故有

18第18頁，課件共44頁，創作于2023年2月

粘性力相似準則

19第19頁，課件共44頁，創作于2023年2月

Re稱為雷諾（Reynolds）數,它是慣性力與粘滯力的比值。

模型和原型流動的粘性力作用相似，它們的雷諾數必定相等，即；反之亦然。這便是粘性力相似準則，又稱雷諾相似準則。

由此可知，粘性力作用相似的流場，有關物理量的比尺要受雷諾相似準則的制約，不能全部任意選擇。例如，當模型與原型用同一種流體介質時，故有

20第20頁，課件共44頁，創作于2023年2月

壓力相似準則

Eu稱為歐拉（L.Euler）數,它是壓力與慣性力的比值。模型和原型流動的壓力作用相似，它們的歐拉數必定相等，即；反之亦然。這便是壓力相似準則，又稱歐拉相似準則。21第21頁，課件共44頁，創作于2023年2月歐拉數中的壓強p也可用壓差來代替，這時歐拉數歐拉相似準則22第22頁，課件共44頁，創作于2023年2月

非定常性相似準則

對于非定常流動的模型實驗，必須保證模型與原型的流動隨時間的變化相似。由當地加速度引起的慣性力之比可以表示為

代入得

也可寫成

令

St稱為斯特勞哈爾（V.Strouhal）數。23第23頁，課件共44頁，創作于2023年2月

它是當地慣性力與遷移慣性力的比值。二非定常流動相似，它們的斯特勞哈爾數必定相等，；反之亦然。這便是非定常性相似準則，又稱斯特勞哈爾準則。倘若非定常流是流體的波動或振蕩，其頻率為,則

斯特勞哈爾數斯特勞哈爾準則

24第24頁，課件共44頁，創作于2023年2月

彈性力相似準則

式中K為體積模量，為體積模量比尺。

Ca稱為柯西（B.A.L.Cauchy）數,它是慣性力與彈性力的比值。模型和原型流動的彈性力作用相似，它們的柯西數必相等。反之亦然。這便是彈性力相似準則，又稱柯西準則。25第25頁，課件共44頁，創作于2023年2月

對于氣體，宜將柯西準則轉換為馬赫準則。由于（c為聲速），故彈性力的比尺又可表示為，代入得，

Ma稱為馬赫（L.Mach）數,它仍是慣性力與彈性力的比值。二流動的彈性力作用相似，它們的馬赫數必定相等，即；反之亦然。這仍是彈性力相似準則，又稱馬赫相似準則。26第26頁，課件共44頁，創作于2023年2月

表面張力相似準則

在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布必須相似。作用在模型和原型流場流體微團上的表面張力之比可以表示為

式中為表面張力，為表面張力比尺。將上式代入得

也可寫成

令

We

稱為韋伯（M.Weber)數，它是慣性力與表面張力的比值。二流動的表面張力作用相似，它們的韋伯數必定相等，即；反之亦然。這便是表面張力相似準則，又稱韋伯相似準則。27第27頁，課件共44頁，創作于2023年2月

上述的牛頓數、弗勞德數、雷諾數、歐拉數、斯特勞哈爾數、柯西數、馬赫數、韋伯數等統稱為相似準數。

牛頓第二定律所表述的是形式最簡單、最基本的運動微分方程。根據該方程可導出在各種性質單項力作用下的相似準則。在實際流動中，作用在流體微團上的力往往不是單項力，而是多項力，這時牛頓第二定律中的力代表的便是多項力的合力。

上述導出動力相似準則的方法稱為物理法則分析法，即根據物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構成相似準則數。28第28頁，課件共44頁，創作于2023年2月優點：導出的相似準則數物理意義明確；

適用于未知物理方程的流動。缺點：當無法判定控制流動的物理定律時不能運用。

29第29頁，課件共44頁，創作于2023年2月

方程分析法——確定相似準數的方法（方程已知）流動相似：控制原型和模型流動的無量綱物理方程完全相同以x方向N-S

方程為例（不可壓縮粘性流動）令（選取流動的特征場量建立無量綱變量）代入得無量綱方程

方程前的無量綱數就是相似準數。30第30頁，課件共44頁，創作于2023年2月優點：導出的相似準則數物理意義明確；

缺點：不能用于未知物理方程的流動。

無量綱方程既適用于模型也適用于原型。31第31頁，課件共44頁，創作于2023年2月

（1）確定長度比尺kl：根據實驗場地、模型制作條件等

（2）選擇流體介質，一般采用同一介質=1（3）選擇相似準則：在幾何相似的前提下，選擇合適的動力相似準則

在重力場中要使弗勞德數相等

如果模型與原型中的流體相同，要使雷諾數相等要求相矛盾，即使采用不同的流體介質也很難實現。3.流體力學模型實驗設計——如何選擇相似準則32第32頁，課件共44頁，創作于2023年2月

相似準則數越多，模型實驗的設計越困難，甚至根本無法進行。

近似的模型實驗方法，即在設計模型和組織模型實驗時，在與流動有關的相似準則中考慮那些對流動過程起主導作用的相似準則（決定性準則），而忽略那些對流動過程影響較小的相似準則（非決定性準則），達到模型與原型流動的近似相似。

無壓的明渠流動，主要考慮弗勞德相似準則。

有壓的粘性管流，主要考慮雷諾相似準則。非定常流動：St數為決定性相似準數。可壓縮流動：Ma數為決定性相似準數?？傊?，根據流動的性質來選取決定性相似準數。33第33頁，課件共44頁，創作于2023年2月§2.4

量綱分析

量綱分析：主要用于分析物理現象中的未知規律，通過對流動有關的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數之間的關系代替有量綱的物理量之間的關系，揭示物理量之間在量綱上的內在聯系，降低變量數目，用于指導理論分析和實驗研究。

最早提出量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎的是布金漢（E.Buckingham,1914)。34第34頁，課件共44頁，創作于2023年2月SI制中的基本量綱：獨立量綱物理量的量綱導出量綱：用基本量綱的冪次表示。dimm=M,diml=L,dimt=T物理量大小類別導出量綱工程單位制國際單位制英制單位制量綱基本量綱用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位35第35頁，課件共44頁，創作于2023年2月粘度系數壓強，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質量流量

速度，加速度

常用量

應變率

角速度，角加速度

其他量36第36頁，課件共44頁，創作于2023年2月注：為溫度量綱（比）焓，內能（比）熵導熱系數比熱表面張力系數功率能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積37第37頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.物理方程量綱一致性原理

也稱為量綱和諧性原理、量綱齊次性原理，是量綱分析的理論基礎。

任何一個正確描述流動現象的物理方程各項的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次的，這便是物理方程量綱一致性原則。

用物理方程中的任何一項去通除整個方程，便可將該方程化為無量綱方程。38第38頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.模型實驗量綱分析法步驟量綱分析流動過程的相似準則數相似準則數之間的函數關系（準則方程式）實驗將準則方程式直接應用到原型及其它相似流動中去。

用量綱分析法，結合實驗研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復雜流動過程的流動規律，而且找出的還是同一類相似流動的普遍規律。39第39頁，課件共44頁，創作于2023年2月4.p定理定理表述：如果描述一個物