第四講灰度直方圖變換

Lecture4Gray-level

HistogramTransformations第四講灰度直方圖變換

Lecture4圖像灰度直方圖(histogram)一、定義

灰度直方圖反映的是一幅圖像中各灰度級像素出現的頻率。以灰度級為橫坐標，縱坐標為灰度級的頻率，繪制頻率同灰度級的關系圖就是灰度直方圖。它是圖像的一個重要特征，反映了圖像灰度分布的情況。下圖是一幅圖像的灰度直方圖。

頻率的計算式為

圖像灰度直方圖(histogram)一、定義灰度圖像的直方圖(histogram)灰度圖像的直方圖(histogram)彩色圖像的分波段直方圖彩色圖像的分波段直方圖0132132105762567160635122675365032272416225627601232121231231221v0=5/64v1=12/64v2=18/64v3=8/64v4=1/64v5=5/64v6=8/64v7=5/64ivi二、計算該圖像像元總數為8*8=64,i=[0,7]013213210576256716063512267536直方圖的性質①灰度直方圖只能反映圖像的灰度分布情況，而不能反映圖像像素的位置,即丟失了像素的位置信息。②一幅圖像對應唯一的灰度直方圖，反之不成立。不同的圖像可對應相同的直方圖。下圖給出了一個不同的圖像具有相同直方圖的例子。不同的圖像具有相同直方圖③一幅圖像分成多個區域，多個區域的直方圖之和即為原圖像的直方圖。直方圖的性質直方圖的應用①用于判斷圖像量化是否恰當

(a)恰當量化(b)未能有效利用(c)超過了動態范圍圖2.4.4直方圖用于判斷量化是否恰當②用于確定圖像二值化的閾值

直方圖的應用具有二峰性的灰度圖象具有二峰性的灰度圖象③當影像上目標的灰度值比其它部分灰度值大或者灰度區間已知時，可利用直方圖統計圖像中物體的面積。

A=④計算圖像信息量H（熵）

③當影像上目標的灰度值比其它部分灰度值大或者灰度區間已知時，注：圖像來自R.C.Gonzalez圖像獲取過程中經常出現以下情況：（a）成像時曝光不足，灰度級集中在低亮度范圍內，使得整幅圖像偏暗（b）成像時過曝光，灰度級集中在高亮度范圍內，使得整幅圖像偏亮

（c）低對比度，成像設備的非線性或圖像記錄設備動態范圍太窄，灰度級集中在中央亮度范圍內

(d)高對比度，灰度級在整個動態范圍內均勻分布

(a)(b)(c)(d)注：圖像來自R.C.Gonzalez圖像獲取過程中經常出現以繪制直方圖使用函數imhist(f)橫坐標表示灰度值，縱坐標表示各灰度值出現的次數或概率1.灰度范圍2.整幅圖像的明暗3.對比度繪制直方圖使用函數imhist(f)橫坐標表示灰度值，縱坐標

直方圖修整法包括直方圖均衡化(HistogramEqualization)及直方圖規定化(匹配化)(HistogramSpecification(Matching))兩類。直方圖均衡化(HistogramEqualization)

直方圖均衡化是將原圖像通過某種變換，得到一幅灰度直方圖為均勻分布的新圖像的方法。

直方圖均衡化直方圖均衡化

先討論連續變化圖像的均衡化問題，然后推廣到離散的數字圖像上。設r和s分別表示歸一化了的原圖像灰度和經直方圖修正后的圖像灰度。即

在[0,1]區間內的任一個r值，都可產生一個s值，且

T(r)作為變換函數，滿足下列條件：在0≤r≤1內為單調遞增函數，保證灰度級從黑到白的次序不變；在0≤r≤1內，有0≤T(r)≤1，確保映射后的像素灰度在允許的范圍內。

連續圖像直方圖均衡化先討論連續變化圖像的均衡化問題，然后推廣到離散的數字反變換關系為

T-1(s)對s同樣滿足上述兩個條件。

令pr(r)和ps(s)分別代表變換前后圖像灰度級的概率密度函數，由基本概率理論得到一個基本結果，如果pr(r)和T(r)已知，且T-1(s)滿足上述兩個條件，那么變換變量s的概率密度函數ps(s)可由以下簡單公式得到：因此，變換變量s的概率密度函數由輸入圖像的概率密度函數和所選擇的變換函數決定。反變換關系為令pr(r)和ps(s)分別代表變換前后圖像灰度

在圖像處理中一個尤為重要的變換函數如下所示：是積分變量。上式兩端對r求導：從基本微積分學（萊布尼茨準則），我們知道關于上限的定積分的導數就是該上限的積分值。該結果代入公式

得到：變換后圖像的概率密度函數是均勻的。上式表明，當變換函數為r的累積直方圖函數時，能達到直方圖均衡化的目的。在圖像處理中一個尤為重要的變換函數如下所示：從基本微積分學例題：給定一幅圖像，其灰度級分布概率密度函數為：求使圖像灰度級均勻化的變換函數T(r)。解：例題：給定一幅圖像，其灰度級分布概率密度函數為：%繪出灰度均勻化的變換函數以及變換前、后的概率密度函數的源程序（image34.m）：r=0:0.001:1;pr=-2*r+2;T=-r.^2+2*r;ps=1;subplot(131)plot(r,pr)xlabel('r')ylabel('p_r(r)')subplot(132)plot(r,T)xlabel('r')ylabel('T(r)')axis([-0.21.301.4])subplot(133)plot(T,ps,'b-')holdonplot(0,0:0.001:1,'b-')xlabel('s')ylabel('p_s(s)')axis([-0.21.301.4])%繪出灰度均勻化的變換函數以及變換前、后的概率密度函數的源程

上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原圖像的直方圖算出。

對于離散的數字圖像，用頻率來代替概率,則變換函數T(rk)的離散形式可表示為:

離散圖像直方圖均衡化上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原圖像的直方例假定有一幅總像素為n=64×64的圖像，灰度級數為8，各灰度級分布列于表中。對其均衡化計算過程如下：0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.250.210.160.080.060.030.021計算各灰度級出現的概率根據變換函數求新的灰度與灰度級擬和求新的灰度級出現的概率例假定有一幅總像素為n=64×64的圖像，灰度級數為8，0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.250.210.160.080.060.030.020.190.440.650.810.890.950.9811/73/75/76/76/71111/73/75/76/7179010238509854480.190.250.210.240.110123456701/72/73/74/75/76/7179krknkPr(rk)Tr(rk)

量化級新灰度級sk

像素數

Ps(sk)007900.190.19011/710230.250.441/7=0.14s0=1/77900.1922/78500.210.652/7=0.2933/76560.160.813/7=0.43s1=3/710230.2544/73290.080.894/7=0.5755/72450.060.955/7=0.71s2=5/78500.2166/71220.030.986/7=0.86s3=6/79850.2471810.021.001s4=14480.11krknkPr(rk)T本例題可編程實現方法一（image35.m）%本程序繪出直方圖均勻化的變換函數%以及變化前后的直方圖k=0:7;rk=k/7;nk=[790102385065632924512281];n=sum(nk(:));Pr=nk/n;subplot(131)stem(rk,Pr)xlabel('rk')ylabel('P_r(r_k)')title('均勻化前的直方圖')Tr=cumsum(Pr,2);%沿列的方向求累積和subplot(132)stem(rk,Tr)xlabel('rk')ylabel('s_k=T(r_k)')title('變換函數')本例題可編程實現ns=zeros(1,8);fori=0:7idx=find(Tr>=(2*i-1)/14&Tr<(2*i+1)/14);m0=nk(idx);ns(i+1)=sum(m0(:));endsums=sum(ns(:));Ps=ns/sums;subplot(133)stem(rk,Ps)xlabel('s_k')ylabel('P_s(s_k)')title('均勻化后的直方圖')ns=zeros(1,8);近似的、非理想的均衡結果,雖然直方圖不是很平坦灰度級有所減少，但從分布來看比原直方圖平坦多了而且動態范圍也擴大了。結論：經過直方圖均勻化，含有像素多的幾個灰度級間隔被拉大了，壓縮的只是像素少的灰度級，實際視覺能夠接收的信息量大大地增加了。近似的、非理想的均衡結果,雖然直方圖不是很平坦灰度級有所減少

若在原圖像一行上連續8個像素的灰度值分別為：0、1、2、3、4、5、6、7，則均衡后，他們的灰度值為多少？?原圖像的直方圖均衡后圖像的直方圖若在原圖像一行上連續8個像素的灰度值分別為：0、1%histeq37.m%本程序產生岡薩雷斯《數字圖像處理》（MATLAB版）%P83FIGURE3.8及P84FIGURE3.9f=imread('e:\chenpc\data\thry\chpt3\Fig3.15(a)1top.jpg');subplot(231),imshow(f);title('原圖');subplot(234),imhist(f);title('直方圖')ylim('auto')g=histeq(f,256);subplot(232),imshow(g)title('直方圖均衡化后的圖像')subplot(235),imhist(g)title('均衡化后的直方圖')%histeq37.mylim('auto')hnorm=imhist(f)./length(f(:));cdf=cumsum(hnorm);x=linspace(0,1,256);subplot(233),plot(x,cdf)axis([0101])set(gca,'xtick',0:.2:1)set(gca,'ytick',0:.2:1)xlabel('輸入灰度級','fontsize',9)ylabel('輸出灰度級','fontsize',9)%Specifytextinthebodyofthegraph:text(0.18,0.5,'變換函數','fontsize',9)ylim('auto')第四講-灰度直方圖變換課件直方圖均衡化示例

直方圖均衡化示例第四講-灰度直方圖變換課件

直方圖規定化（匹配化）

在某些情況下，并不一定需要具有均勻直方圖的圖像，有時需要具有特定的直方圖的圖像，以便能夠增強圖像中某些灰度級。直方圖規定化方法就是針對上述思想提出來的。直方圖規定化是使原圖像灰度直方圖變成規定形狀的直方圖而對圖像作修正的增強方法。原圖像的直方圖規定化直方圖

直方圖規定化（匹配化）原圖像的直方圖規定

對于直方圖規定化，下面仍從灰度連續變化的概率密度函數出發進行推導，然后推廣出灰度離散的圖像直方圖規定化算法。

連續圖像直方圖規定化

首先對原始圖像進行直方圖均衡化，即求變換函數，所希望的圖像，對它也進行均衡化處理，則二者均衡化的概率密度函數相同。其中，r：輸入圖像的灰度級

z：輸出圖像的灰度級

pr(r)

：輸入圖像的概率密度函數

pz(z)：輸出圖像的概率密度函數這就是所求得的變換表達式對于直方圖規定化，下面仍從灰度連續變化的概率密度根據上述思想，可總結出直方圖規定化增強處理的步驟如下：1對原始圖像作直方圖均衡化處理；2按照希望得到的圖像的灰度概率密度函數pz(z)（已給定），求得變換函數G(z)；3用步驟1得到的灰度級s作逆變換z=G-1(s)。根據上述思想，可總結出直方圖規定化增強處理的步驟如下：

離散圖像直方圖規定化rk：輸入圖像的灰度級

zk：輸出圖像的灰度級

pr(rk)

：輸入圖像的概率密度函數

pz(zk)：輸出圖像的概率密度函數利用直方圖規定化方法進行圖像增強的主要困難在于要構成有意義的直方圖。圖像經直方圖規定化，其增強效果要有利于人的視覺判讀或便于機器識別。離散圖像直方圖規定化rk：輸入圖像的灰度級利用直方圖規原圖像的直方圖規定化直方圖

例題：采用與直方圖均衡相同的原始圖像數據（64×64像素且具有8級灰度），其灰度級分布列于表中。給定的直方圖的灰度分布列于表中。對應的直方圖如下：原圖像的直方圖規定化直方圖例題：采0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.440.650.810.890.950.9811/73/75/76/7179010238509854480.190.250.210.240.110000.150.200.300.200.150000.150.350.650.8510001/73/75/76/710123456701/72/73/74/75/76/71790123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122811/73/75/76/710.190.250.210.240.110000.150.200.300.200.150000.150.350.650.8510001/73/75/76/710123456701/72/73/74/75/76/7179單映射方式

rknkPr(rk)Tr(rk)zkPz(zk)Tz(zk)rkzkP’z(zk)07900.190.19000110230.250.4410028500.210.6520036560.160.8130.20.20,130.4443290.080.89400.252450.060.9550.60.82,3,450.4561220.030.98600.87810.021.0070.21.05,6,770.11單映射方式rknkPr(rk)組映射方式

rknkPr(rk)Tr(rk)zkPz(zk)Tz(zk)rkzkP’z(zk)07900.190.19000110230.250.441002