第一章集合與常用邏輯用語第一講集合的概念與運算ZHISHISHULISHUANGJIZICE知識梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)知識點一集合的基本概念一組對象的全體構成一個集合．(1)集合中元素的三大特征：確定性、互異性、無序性．(2)集合中元素與集合的關系：對于元素a與集合A，a∈A或a?A，二者必居其一．(3)常見集合的符號表示.數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN*ZQR(4)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法、區間表示法．(5)集合的分類：集合按元素個數的多少分為有限集、無限集，有限集常用列舉法表示，無限集常用描述法表示．知識點二集合之間的基本關系關系定義表示相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一個元素都是B中的元素A?B真子集A是B的子集，且B中至少有一個元素不屬于AAB注意：(1)空集用?表示．(2)若集合A中含有n個元素，則其子集個數為2n，真子集個數為2n－1，非空真子集的個數為2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A?B，B?C，則A?C．知識點三集合的基本運算符號語言交集A∩B并集A∪B補集?UA圖形語言意義A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}?UA＝{x|x∈U且x?A}eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．A∩A＝A，A∩?＝?.2．A∪A＝A，A∪?＝A．3．A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．4．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區1．(多選題)下列命題錯誤的是(ABCD)A．集合A中含有三個元素0,1，x，且x2∈A，則實數x的值為1或－1或0.B．方程eq\r(x－2020)＋(y＋2021)2＝0的解集為{2020，－2021}．C．若A∩B＝A∩C，則B＝C．D．設U＝R，A＝{x|lgx<1}，則?UA＝{x|lgx≥1}＝{x|x≥10}．題組二走進教材2．(必修1P5B1改編)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝45，則(D)A．a∈P B．{a}∈PC．{a}?P D．a?P[解析]452＝2025>2021，∴a?P，故選D．3．(必修1P7T3(2)改編)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，則集合A與B的關系是(B)A．A＝B B．ABC．AB D．A?B[解析]因為集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2與整數的積減1的集合，集合A表示2與偶數的積減1的集合，所以AB，故選B．題組三考題再現4．(2019·全國卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}[解析]依題意得?UA＝{1,6,7}，故B∩?UA＝{6,7}．故選C．5．(2019·北京，5分)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，則A∪B＝(C)A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由題意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故選C．6．(2019·全國卷Ⅱ，5分)設集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝(A)A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]因為A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故選A．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一集合的基本概念——自主練透例1(1)(多選題)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，則下列表示正確的是(ABD)A．－2∈A B．2021?AC．3k2＋1?A D．－35∈A(2)(2019·華師大第二附中10月月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且eq\f(3,2－x)∈Z}，則集合A中的元素個數為(C)A．2 B．3C．4 D．5(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則2020a的值為1；若1?A，則a不可能取得的值為－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).[解析](1)當－2＝3k＋1時，k＝－1∈Z，故A正確；當2021＝3k＋1時，k＝673eq\f(1,3)?Z，故B正確；當－35＝3k＋1時，k＝－12∈Z，故D正確．故選A、B、D．(2)∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x的取值為5,3,1，－1，故集合A中的元素個數為4，故選C．(3)若a＋2＝1，則a＝－1，A＝{1,0,1}，不合題意；若(a＋1)2＝1，則a＝0或－2，當a＝0時，A＝{2,1,3}，當a＝－2時，A＝{0,1,1}，不合題意；若a2＋3a＋3＝1，則a＝－1或－2，顯然都不合題意；因此a＝0，所以20200∵1?A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠綜上a的值不可以為－2，－1,0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).名師點撥?(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數集、點集還是其他類型的集合．(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中元素是否滿足互異性．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．考點二集合之間的基本關系——師生共研例2(1)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{x|x∈A}，則集合A與集合B的關系為(C)A．A?B B．B?AC．A＝B D．不能確定(2)(2020·江西贛州五校協作體期中)已知集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,3)，n∈Z}，且B?A，則集合B的個數為(C)A．3 B．4C．8 D．15(3)(多選題)設集合M＝{x|x＝eq\f(k,3)＋eq\f(1,6)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,6)＋eq\f(2,3)，k∈Z}，則下面不正確的是(ACD)A．M＝N B．MNC．NM D．M∩N＝?(4)已知集合A＝{x|x2－2020x＋2019<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實數a的取值范圍是[2_019，＋∞).[解析](1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故選C．(2)∵集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,3)，n∈Z}＝{0，eq\f(\r(3),2)，－eq\f(\r(3),2)}，且B?A，∴集合B的個數為23＝8，故選C．(3)解法一：(列舉法)，由題意知M＝{…－eq\f(1,2)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(5,6)，eq\f(7,6)，…}N＝{…－eq\f(1,6)，0，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，…}顯然MN，故選A、C、D．解法二：(描述法)M＝{x|x＝eq\f(2k＋1,6)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k＋4,6)，k∈Z}∵2k＋1表示所有奇數，而k＋4表示所有整數(k∈Z)∴MN，故選A、C、D．(4)A＝{x|1<x<2019}，∵A?B，∴借助數軸可得a≥2019，∴a的取值范圍為[2019，＋∞)．名師點撥?判斷集合間關系的3種方法列舉法根據題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系．(如第(1)、(2)題)結構法從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形等技巧，從元素結構上找差異進行判斷．(如第(3)題)數軸法在同一個數軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系．(如第(4)題)〔變式訓練1〕(1)(2020·遼寧錦州質檢(一))集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，則集合M與集合N的關系是(D)A．M?N B．N?MC．M∩N＝? D．Meq\o(?,/)N且Neq\o(?,/)M(2)(多選題)(2020·湖南長郡模擬改編)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝(eq\f(1,2))x，x∈R}，則下列不正確的是(ABD)A．M＝N B．N?MC．M＝?RN D．(?RN)∩M＝?(3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A?B，則m的取值范圍是(－2,5).[解析](1)因為1∈M,1?N,6∈N,6?M，所以Meq\o(?,/)N且Neq\o(?,/)M，故選D．(2)由題意得y＝x－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≥0，,2x，x<0，))∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝?RN.故選A、B、D．(3)化簡A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，當m>0時，x>－eq\f(10,m)，因為A?B，所以－eq\f(10,m)<－2，解得m<5，所以0<m<5.當m<0時，x<－eq\f(10,m)，因為A?B，所以－eq\f(10,m)>5，解得m>－2，所以－2<m<0.當m＝0時，B＝R，符合A?B．綜上所述，所求的m的取值范圍是(－2,5)．考點三集合的基本運算——多維探究角度1集合的運算例3(1)(2019·天津，5分)設集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}(2)(2019·全國卷Ⅰ，5分)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}(3)(2020·百校聯考)已知集合A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,5)，x≥1}，則?BA＝(C)A．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪[3，＋∞) B．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4))∪(3，＋∞)C．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪(3，＋∞) D．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4))∪[3，＋∞)[解析](1)由條件可得A∩C＝{1,2}，故(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}．(2)方法一：∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C．方法二：由題可得N＝{x|－2<x<3}．∵－3?N，∴－3?M∩N，排除A，B；∵2.5?M，∴2.5?M∩N，排除D．故選C．(3)因為A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,5)，x≥1}，所以A＝(eq\f(5,4)，3]，B＝[eq\f(8,15)，＋∞)，故?BA＝[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪(3，＋∞)．故選C．角度2利用集合的運算求參數例4(1)已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1<22－x<4}，若A∩B＝{1,2m}，則實數m的取值范圍是(CA．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，1)C．(0，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，1) D．(0,1)(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠?，若A∩B＝B，則實數m的取值范圍為[2,3][解析](1)B＝{x|0<2－x<2}＝{x|0<x<2}，∵A∩B＝{1,2m}，∴0<2m<2且2m≠1，即0<m<1且m≠eq\f(1,2)，故選C．(2)由A∩B＝B知，B?A．又B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3，則實數m的取值范圍為[2,3]．[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情況又如何[解析]應對B＝?和B≠?進行分類．①若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m②若B≠?，由例得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實數m的取值范圍為(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在實數m，使A∪B＝B？若存在，求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．[解析]由A∪B＝B，即A?B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3，))不等式組無解，故不存在實數m，使A∪B＝B．[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，則m的取值范圍為(－∞，－3][解析]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,1－2m≥5，))解得m≤－3.名師點撥?集合的基本運算的關注點1．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提．2．有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．3．注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖．4．根據集合運算結果求參數，先把符號語言譯成文字語言，然后應用數形結合求解．〔變式訓練2〕(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，則(?UA)∩B＝(A)A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(2)(角度1)設全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，則(?UA)∪B＝(D)A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)(3)(角度2)設集合M＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，N＝{x|x≥a}，若M∪N＝N，則實數a的取值范圍是(B)A．[0,2] B．(－∞，0]C．[2，＋∞) D．(－∞，2][解析](1)由題意可得?UA＝{－1,3}，則(?UA)∩B＝{－1}．故選A．(2)?UA＝{x|x<0或x>2}，則(?UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故選D．(3)M＝{x|0≤x≤2}，∵M∪N＝N，∴M?N，∴a≤0，故選B．MINGSHIJIA