專題31幾何綜合壓軸問題（40題）1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長(zhǎng)．2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點(diǎn)，使，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

5．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．己知：在中，對(duì)角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．

①求證：是菱形；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交于點(diǎn)M，N，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)K，求四邊形的面積．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)．深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．11．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時(shí)，的值；②若點(diǎn)到的距離為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．12．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將四邊形沿翻折，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，且滿足，直接寫出的值．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交射線于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，猜測(cè)線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．14．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，．

(1)若正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求證：．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形的頂點(diǎn)作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，直線交直線于點(diǎn)．

(1)如圖1，若，則___________；(2)如圖1，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，設(shè)，請(qǐng)直接用含的式子表示的長(zhǎng)．18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．20．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．21．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，，．

請(qǐng)完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在，上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，．

請(qǐng)完成：(3)證明是的一條三等分線．23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形中，為上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合）．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于．

(1)證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，總有．(2)當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？25．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，①若，過作交于點(diǎn)，求證：；②若時(shí)，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．30．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長(zhǎng)圖中的線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．31．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題．

32．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過點(diǎn)作射線，垂足為，點(diǎn)在上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)在線段上，畫出射線，并將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)在射線上移動(dòng)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．33．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．34．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．35．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點(diǎn)P在邊上，則的最小值為_______．

36．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．37．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大小；(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（ⅰ）如圖2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．38．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分．求證：四邊形為鄰