ZPZ3.2.4立體幾何中的向量方法空間“角度”問題ZPZ3.2.4立體幾何中的向量方法空間“角度”問題11.異面直線所成角lmlm若兩直線所成的角為,

則復習引入1.異面直線所成角lmlm若兩直線所成的角為21.兩條異面直線所成的角(1)定義:設a,b是兩條異面直線,過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b,則a′,b′所夾的銳角或直角叫a與b所成的角.(2)范圍:(3)向量求法:設直線a、b的方向向量為,其夾角為,則有(4)注意:兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角求得,當兩方向向量的夾角是鈍角時,應取其補角作為兩異面直線所成的角.空間三種角的向量求解方法1.兩條異面直線所成的角空間三種角的向量求解方法3例2例24解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設則：

所以：所以與所成角的余弦值為解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所5

[題后感悟]

如何用坐標法求異面直線所成的角？(1)建立適當的空間直角坐標系；(2)找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；(3)利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；(4)結合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．

[題后感悟]如何用坐標法求異面直線所成的角？6①方向向量法將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖（2），設二面角的大小為其中ABDCLBA2、二面角①方向向量法將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量（在7注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進一出，二面角等于法向量夾角L

將二面角轉化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量，則二面角的大小＝〈〉

2、二面角若二面角的大小為,

則②法向量法注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進8BDCA3.二面角(1)范圍:(2)二面角的向量求法:①若AB、CD分別是二面角的兩個面內與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖(1))②設是二面角的兩個面的法向量,則向量與的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小(如圖(2))(1)(2)BDCA3.二面角(1)(2)9例2正三棱柱中，D是AC的中點，當時，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1例2正三棱柱10以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz

在坐標平面yoz中

設面的一個法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz11立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件12立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件13設平面設平面14 如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A－A1D－B的余弦值．

[策略點睛]

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長15立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件16立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件17立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件18

[題后感悟]

如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立適當的空間直角坐標系；(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；(3)求出兩個法向量的夾角；(4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定出二面角的平面角的大小．[題后感悟]如何利用法向量求二面角的大小？19ABn3.線面角設n為平面的法向量，直線AB與平面所成的角為，向量與n所成的角為，則n而利用可求，從而再求出ABn3.線面角設n為平面的法向量，直線AB與平面203.線面角l設直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則3.線面角l設直線l的方向向量為，平面的法向212.直線與平面所成的角(1)定義:直線與它在這個平面內的射影所成的角.(2)范圍:(3)向量求法:設直線l的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為,與的夾角為,則有2.直線與平面所成的角22立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件23立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件24立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件25立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件26N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即在長方體中，例1：N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即在長方體27N又在長方體中，例1：N又在長方體28例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz【典例剖析】

例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形29例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點E的位置；若不存在說明理由。

【典例剖析】

DBACEPxzy例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱30解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，設BE=m，則解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、31立體幾何中的向量方法求夾角ppt課件322、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是______.3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為______.基礎訓練:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.60013502、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是33【鞏固練習】

1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,則PA與BE所成角的余弦值為_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.

3正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點,則二面角E-BC-A的大小是__________【鞏固練習】1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB34用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2