河北省石家莊市杜固中學2021年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法中正確的是(

)A．經過三點確定一個平面

B．兩條直線確定一個平面C．四邊形確定一個平面

D．不共面的四點可以確定4個平面參考答案：D略2.命題“對任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．對任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1參考答案：D【考點】全稱命題；命題的否定．【分析】利用汽車媒體的否定是特稱命題寫出結果判斷即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．故選：D．3.在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，則A等于

（ ）A．30° B．60°C．60°或120°

D．30°或150°參考答案：C4.若雙曲線的焦點為，則雙曲線的漸近線方程為（***）A．B．C．D．參考答案：B略5.數列1、3、6、10、…的一個通項公式是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C6.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調查他們的身體狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是(

)．A．簡單隨機抽樣

B．系統抽樣C．分層抽樣

D．先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣參考答案：D7.復數（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出．【解答】解：．故選：．8.不相等的三個正數a、b、c成等差數列，并且x是a、b的等比中項，y是b、c的等比中項，則x2、b2、y2三數()A.成等比數列而非等差數列B.成等差數列而非等比數列C.既成等差數列又成等比數列D.既非等差數列又非等比數列參考答案：B由已知條件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差數列，故選B.9.目標函數，變量滿足，則有（

）(A)

（B）無最小值(C)無最大值

（D）既無最大值，也無最小值參考答案：A10.

已知等差數列的公差為,若成等比數列,則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若橢圓內有一點，又橢圓的左準線的方程為x=-8，左焦點為F，離心率為e，P是橢圓上的動點，則的最小值為

.參考答案：712.若≥，則方程有解的逆命題為真命題，則的取值范圍為_______.參考答案：≤略13.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為

.參考答案：略14.已知命題p：?x0∈R，3=5，則￢p為．參考答案：?x∈R，3x≠5【考點】命題的否定．【分析】由特稱命題的否定方法可得結論．【解答】解：由特稱命題的否定可知：￢p：?x∈R，3x≠5，故答案為：?x∈R，3x≠5．15.曲線在點（-1，2）處的切線方程為

.參考答案：略16.已知中,,則的最小值為___________參考答案：17.過點(2,-1)引直線與拋物線只有一個公共點,這樣的直線共有

條.參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線l過該橢圓的左焦點，交橢圓于M、N兩點，且，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；直線的一般式方程；橢圓的標準方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由短軸長可得b值，由離心率為可得=，結合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出橢圓的方程；（2）設直線方程為：y=k（x+1），聯立方程組消掉y得到x的二次方程，設M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達定理及弦長公式即可表示弦長|MN|，最后利用弦長建立等式，即可求出直線l的方程．【解答】解：（1），橢圓的標準方程：（2）由題意知，直線l的斜率存在，所以設直線方程為：y=k（x+1），，聯立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k2﹣20=0，∴，則：==，∵，∴即：即：，所以，k=±1，所以直線方程為：y=x+1或y=﹣x﹣1．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，弦長公式及韋達定理是解決該類題目的基礎知識，要熟練掌握．19.一個建設集團公司共有個施工隊，編號分別為現有一項建設工程，因為工人數量和工作效率的差異，經測算：如果第個施工隊每天完成的工作量都相等，則它需要天才能獨立完成此項工程.（1）求證第個施工隊用天完成的工作量不可能大于第個施工隊用天完成的工作量；（2）如果該集團公司決定由編號為共個施工隊共同完成，求證它們最多不超過兩天即可完成此項工作.參考答案：證明：（1）依題意，第個施工隊的工作效率為…1分故本題即是證明當且時，………………3分【法一】當且時，顯然成立，故命題得證.……6分【法二】假設第個施工隊用天完成的工作量大于第個施工隊用天完成的工作量，即當且時，從而，從而與矛盾，從而得到原命題成立.…6分【法三】要證明當且時，，故只需證即是證明又從而只需證由題設可知是成立的，從而原命題成立.…………………6分（2）要證明此命題，即是證明2（＋＋…＋）＞1(n≥2，n∈N*)，也就是證明：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．………9分【法一】：利用數學歸納法：(1)當n＝2時，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立．(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時不等式成立．即＋＋…＋＞.則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)＞＋(3×－)＝.所以當n＝k＋1時不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立．……14分【法二】利用放縮法：∵n≥2，∴＋＋…＋＞＋＋…＋＝＞.即＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．……14分

略20.(本題滿分12分)

已知數列的各項均為正數，為其前項和，且對任意的，有.

（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.

參考答案：解：（1）由已知得，∴當時，；

∴，即，∴當時，；∴數列為等比數列，且公比；

…………4分又當時，，即，∴；∴.

…………8分

（2）∵，∴…10分

∴的前項和.…………12分

略21.（本小題滿分10分）如圖，已知正方體的棱長為2,點分別為和的中點．（Ⅰ）求異面直線CM與所成角的余弦值；（Ⅱ）求點到平面的距離．參考答案：（Ⅰ）分別是以、、所成在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則

………………2分

…………4分異面直線CM與所成角的余弦值為．…………5分（Ⅱ）

設面DMC的法向量為

則

…………8分點到平面MDC的距離．……10分22.在數列{an}中，a1=1，an﹣1=2an．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若bn=（2n+1）an，求數列{an}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）通過a1=1，an﹣1=2an，即可得到通項公式，（2）根據錯位相減法即可求出前n項和【解答】解：（1）a1=1，an﹣1=2an，∴=，∴數列{an}是以1為首項，以為公比的等比數列，∴an=（）n﹣1，（2）bn=（2n+1）an=（2n+1）（）n﹣1，∴Tn=3×（）0+5×（）1+7×（）2+…+（2n+1）（）n﹣1，∴Tn=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n﹣1）（）n﹣1+（2n+1）（