2.1等式性質與不等式性質（第1課時）（分層作業）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元?70元的單片軟件和盒裝磁盤.根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（

）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【答案】C【分析】根據題意，，，考慮，，，四種情況，計算得到答案.【詳解】設軟件片，磁盤盒，，則，，.當時，滿足條件；當時，滿足條件；當時，滿足條件；當時，滿足條件；故共有7種方案.故選：C.2．（2022·全國·高一專題練習）完成一項裝修工程，請木工每人需付工資800元，請瓦工每人需付工資700元，現工人工資預算為20000元，設請木工人，瓦工人，則，滿足的關系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件直接列出不等式即可判斷作答.【詳解】因請木工每人需付工資800元，木工人，則需付木工工資元，因請瓦工每人需付工資700元，瓦工人，則需付瓦工工資元，于是得完成這項裝修工程，共需付工資()元，而工人工資預算為20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以，滿足的關系式是：.故選：D3．（2022·全國·高一專題練習）設a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關系.【詳解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.4．（2020·湖北·襄陽市第二十四中學高一階段練習）已知，那么的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較大小.【詳解】解：，，．，．．故選：B．5．（2021·湖北·華中科技大學附屬中學高一階段練習）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成的，圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關系，并將這種關系用含字母的不等式表示出來（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面積計算公式、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質即可得出．【詳解】解：圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成的，面積．圖（2）是一個矩形，面積．可得：．故選：A6．（2021·全國·高一專題練習）如圖，在一個面積為200m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知條件及矩形面積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，根據面積公式可以得到.故選:C．7．（2021·重慶十八中高一期中）2021年是中國共產黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學校計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅?黃?藍?綠四種顏色，紅色多于藍色，藍色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（

）個A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】分別設紅?黃?藍?綠各有，，，個，根據題意列出不等式可分別求出范圍，即可求出.【詳解】分別設紅?黃?藍?綠各有，，，個，且，，，為正整數，則由題意得，，，，可得，所以，，，即至少有個.故選：B.二、概念填空8．（2022·全國·高一課時練習）設，則m，n的大小關系是___________．【答案】【詳解】∵∴故答案為：9．（2022·全國·高一課時練習）實數大小比較的基本事實如果是___________，那么；如果等于___________，那么；如果是___________，那么．反過來也對．這個基本事實可以表示為：___________；___________；___________．【答案】

正數

0

負數

三、填空題10．（2022·全國·高一專題練習）請根據“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個不等式：______（設糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發生了變化，只要分別計算出添糖前后的濃度進行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說明濃度變大了，，，，，.故答案為：，11．（2022·全國·高一專題練習）（x+1）（x+5）與（x+3）2的大小關系為__.【答案】（x+1）（x+5）＜（x+3）2【分析】作差，判斷差的符號，即可得到答案.【詳解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案為：（x+1）（x+5）＜（x+3）212．（2021·河南·高一階段練習）2021年是中國共產黨成立周年，某校為了慶祝建黨周年，組織了一系列活動，其中紅歌會比賽就是其中一項.已知高一年級選手人數多于高二年級選手人數，高二年級選手人數多于高三年級選手人數，高三年級選手人數多于教師選手人數，教師選手人數的倍多于高一年級選手人數，則參加紅歌會的選手至少有___________人.【答案】【分析】設高一年級選手人數?高二年級選手人數?高三年級選手人數?教師選手人數分別為，根據條件列不等式求解即可.【詳解】設高一年級選手人數?高二年級選手人數?高三年級選手人數?教師選手人數分別為，且為正整數，則，從而，解得故選手至少有人.四、解答題13．（2021·全國·高一課時練習）用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，靠墻的一邊長為xm.（1）若要求菜園的面積不小于110m2，試用不等式組表示其中的不等關系;（2）若矩形的長、寬都不能超過11m，試求x滿足的不等關系.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由邊長表示出面積，再由邊長與面積的范圍求解即可；（2）由長與寬的范圍都不超過11m，求解即可【詳解】（1）因為矩形菜園靠墻的一邊長為，而墻長為，所以，這時菜園的另一邊長為，，所以菜園的面積，依題意有，即，故該題中的不等關系可用不等式組表示為（2）因為矩形的另一邊長，所以，又，且，所以.14．（2022·全國·高一專題練習）比較與)的大小.【答案】【分析】做差化簡，分情況討論比較大小.【詳解】當時，，，即；當時，，，即；綜上所得.15．（2022·全國·高一專題練習）已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，即.16．（2022·全國·高一專題練習）已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，，.【能力提升】一、單選題1．（2021·云南·曲靖市關工委麒麟希望學校高一階段練習）生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得糖水甜可用濃度體現，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現，而，能體現糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選B．【點睛】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、多選題2．（2021·廣東·小欖中學高一階段練習）對于實數，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【分析】A特殊值法判斷；B由結合不等式性質判斷；C作差法判斷；D由或時的大小情況判斷.【詳解】A：當時，不成立，錯誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯誤；D：若或，有，與題設矛盾，故，正確.故選：BD三、填空題3．（2020·全國·高一課時練習）某校的一個志愿者服務隊由高中部學生組成，成員同時滿足以下三個條件：（1）高一學生人數多于高二學生人數；（2）高二學生人數多于高三學生人數；（3）高三學生人數的3倍多于高一高二學生人數之和若高一學生人數為7，則該志愿者服務隊總人數為__________．【答案】18【詳解】分析：設高二學生人數為，高三學生人數為，根據題意列不等式，根據不等式的解為整數，可得符合條件的有六組解，逐一驗證，即可得結果.詳解：設高二學生人數為，高三學生人數為，則由②可知，，結合①可知，，共有種，取法，逐一代入②驗證，可得只有滿足，，該志愿者服務隊總人數為人，故答案為.點睛：本題主要考查分類討論思想、不等式的應用以及整數解的問題，求解整數解得的問題，往往根據不等關系初步判斷出有限個（組）解，然后逐一驗證排除即可.4．（2020·全國·高一課時練習）用錘子以均勻的力敲擊鐵釘進入木板．隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度為前一次的(k∈N*)，已知一個鐵釘受擊3次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，試從中提煉出一個不等式組．(釘帽厚度不計)【答案】【分析】本題考查的知識點是二元一次不等式組的建立，關鍵是要從已知的題目中找出不等關系，并用不等式表達出來．【詳解】解：依題意，且三次后全部進入，即，故不等式組為故答案為【點睛】在使用不等式解決實際問題時，關鍵的步驟是仔細分析題意，從題目中找到合適的變量及不等關系，并用不等式（組將數量間的不等關系正確表達出來，在表達時要注意變量的取值范圍，特別在實際問題中，要實際問題實際考慮．四、雙空題5．（2020·全國·高一單元測試）為滿足人民群眾便利消費、安全消費、放心消費的需求，某社區農貿市場管理部門規劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場．市場內設蔬菜水果類和肉食水產類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費為萬元；每間肉食水產店面的建造面積為，月租費為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數的建造方案為_________種．②市場建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設方案平均每間店面月租費不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%，則的最大值為_________萬元．【答案】

16

1【解析】（1）設蔬菜水果類和肉食水產類店分別為，根據條件建立不等關系和相等關系，求解，確定解的個數；（2）平均每間店的收入不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%建立不等式，根據不等式恒成立求的最大值即可.【詳解】設蔬菜水果類和肉食水產類店分別為,（1）由題意知，，化簡得：，又，所以，解得：，共種；（2）由題意知，，，，，即的最大值為1萬元，故答案為：16；1【點睛】本題主要考查了不等式在實際問題中的應用，不等式的性質，屬于難題.6．（2022·全國·高一專題練習）社會實踐活動是青年學生按照學校培養目標的要求，利用節假日等課余時間參與社會政治、經濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動，可以使學生豐富對國情的感性認識，加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執行黨的基本路線的自覺性；可以使學生在接觸實際的過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學校要建立社會實踐活動小組，小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男學生人數多于女學生人數；②女學生人數多于教師人數；③教師人數的兩倍多于男學生人數.若男學生人數為，則女學生人數的最小值為___________；若男學生人數未知，則該小組人數的最小值為___________.【答案】

【分析】設男學生、女學生、教師的人數分別為、、，可得出，當時，討論的取值，結合不等式的性質可求得的最小值；當的值未知時，討論的取值，結合不等關系可求得的最小值.【詳解】設男學生、女學生、教師的人數分別為、、，則.若，則，可得，則，當時，取最小值，即男學生人數為，則女學生人數的最小值為；若的值未知，當時，則，不滿足題意，當時，則，不合乎題意，當時，則，此時，，則，合乎題意.故當男學生人數未知，則該小組人數的最小值為.故答案為：；.五、解答題7．（2022·全國·高一專題練習）已知，試比較與的值的大小．【答案】時，；時，．【分析】用做差法比較可得答案.【詳解】，可得，當時，，，則，即；當時，，則，即．綜上可得時，；時，．8．（2021·全國·高一課前預習）船在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？【答案】船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度【分析】設甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u，水流速度為v(u>v>0)，分別求得平均速度，作差，判斷符號可得結論.【詳解】解：設甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u，水流速度為v(u>v>0)，則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間，平均速度，∵，∴因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度.9．（2022·湖南·高一課時練習）比較下列各題中兩個代數式值的大小：(1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小關系.(1)因為，所以，當且僅當時，取等號.即(2)因為，所以，當且僅當時，取等號.故.10．（2021·貴州畢節·高一階段練習）（1）比較和的大小；（2）已知，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用作差法比較大小；（2）直接利用不等式的性質求出的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，所以．因為，所以，故．11．（2021·全國·高一專題練習）比較下列各組數的大小.（1）與，；（2）與.【答案】（1）；（2）.【解析】利用作差法求解即可.【詳解】（1），，且，，.，即.（2）（當且僅當時取等號），又，，..【點睛】本題主要考查了利用作差法比較大小，屬于較難題.12．（2021·全國·高一課時練習）設試證:對任意實數有【分析】