第一講

有限元基本理論元計算技術部第一講

有限元基本理論元計算技術部本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及采用有限元方法時用到的方程弱形式、形函數等內容，目的在于介紹有限元的基本理論。有限元分析目的和概念有限單元法的基本思想有限元分析的基本流程有限單元法的基本原理偏微分方程的弱解形式插值函數與單元類型本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及有限元分析目的和概念

有限元分析的目的：針對具有任意復雜幾何形狀變形體，完整獲取在復雜外力作用下它內部的準確力學信息，即求取該變形體的三類力學信息（位移、應變、應力）。從而在準確進行力學分析的基礎上，設計師就可以對所設計對象進行強度、剛度等方面的評判，以便對不合理的設計參數進行修改，以得到較優化的設計方案，然后再次進行方案修改后的有限元分析，以進行最后的力學評判和校核，確定出最后的設計方案。有限元方法：是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數量的簡單函數的組合來“近似”代替非常復雜的原函數，這樣就使有限元方法可以針對具有任意復雜幾何形狀的結構進行分析，并能夠得到準確的結果。有限元分析目的和概念有限元分析的目的：針對具有限單元法的基本思想有限元法的基本思想是將連續的求解區域離散為一組有限個、按一定方式相互聯結在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯結方式進行組合，而且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。有限單元法作為數值分析方法的另一個重要特點是利用在每一個單元內假設的近似函數來分片的表示全求解域上待求的未知場函數。單元內近似函數通常由未知場函數或其導數在單元的各個節點的數值和其插值函數來表示。這樣以來，一個問題的有限元分析中，未知場函數或其導數在各個節點上的數值就成為新的未知量（也即自由度），從而使一個連續的無限自由度問題變成場函數的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。有限單元法的基本思想有限元法的基本思想是將連有限元分析的基本流程(1)結構或求解域的離散化。(2)選擇適當的插值模式(3)單元分析(4)總體合成。(5)引入約束條件(6)方程求解(7)計算其它參數。有限元分析的基本流程(1)結構或求解域的離散化。(2)有限單元法的基本原理虛位移原理工程或物理中許多問題，通常是以偏微分方程和對應的邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數u滿足偏微分方程組：其中Ω域可以是體積域、面積域等，如圖所示。同時未知函數u還應滿足邊界條件：(1)(2)有限單元法的基本原理虛位移原理工程或物理由于偏微分方程組(1)在域Ω中每一點為零，因此就有：其中V是向量函數，稱為試探函數或虛位移函數，它是一組和偏微分方程個數相等的任意函數。假如A(u)是一光滑函數，可以斷言，若積分方程(3)對于任意的V都能成立，則原偏微分方程必然在域內任一點都得到滿足。(3)假如A(u)在域內某些點或—部分子域中不滿足，即出現A(u)≠0,馬上可以找到適當的函數V使(3)的積分形式亦不等于零,可見當A(u)是一光滑函數時，式(3)和(1)是等價的。由于偏微分方程組(1)在域Ω中每一點為零，因此就有：其中V是在很多情況下可以對(3)式進行分部積分得到另一種形式其中C、D、E、F是微分算子，它們中所包含的未知函數導數的階數較(3)式的微分算子A底，這樣對函數u只需要求較低階的連續性就可以了，這種降低對函數u連續性要求的作法在近似計算中，尤其是在有限元方法中十分重要。式(3)是偏微分方程組(1)的弱解積分形式或“弱”形式，或稱之為虛位移原理。在很多情況下可以對(3)式進行分部積分得到另一種偏微分方程的弱解形式本小節通過一個熱傳導的穩態問題，來說明將偏微分方程化為其弱解積分形式的一般過程。對于二維直角坐標系，穩態熱傳導方程如下：邊界條件如下：這里u表示溫度，k表示熱傳導系數，u0和q0是邊界上溫度和熱流的給定值，Q是熱源密度乘以材料密度。偏微分方程的弱解形式本小節通過一個熱傳導的穩態問題，來說明對方程兩邊乘一標量函數v，并對方程兩邊進行積分得到：對上式進行分部積分得到：利用方程的邊界條件，上式可變為：特別指出對于強制邊界條件（即第一類邊界條件），這時未知函數在此類邊界上的值已確定，可以選取虛位移函數在此類邊界上的值為0，則“弱”形式可略去沿此類邊界上的邊界積分項（)。對方程兩邊乘一標量函數v，并對方程兩邊進行積分得到：對上式進對于一般問題推導其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化為其積分形式；利用分部積分公式將其積分形式化為“弱”形式；利用邊界條件將“弱”形式化為更簡潔的表達式。對于一般問題推導其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化插值函數與單元類型關于單元插值函數的形式，有限元方法采用不同階次冪函數所構成的多項式，因為它們便于運算并且容易滿足收斂性。下面結合有限元方法經常使用的Lagrange插值函數討論一維單元插值函數的具體構造。一維Lagrange單元：對于具有n個節點的一維單元，如果它的節點參數中只含有場函數的節點值，則單元內的場函數可插值表示為：其中插值函數Ni(xj)具有下列性質：δij是Kronecker函數。插值函數與單元類型關于單元插值函數的形式，有對于n個節點的一維單元，Ni(xj)可采用n-1次Lagrange插值多項式，即令：如果n=2，函數Φ的插值表示如下：其中：，為了使計算過程標準化，采用無量綱坐標：則上面的表達式可以表示為：對于n個節點的一維單元，Ni(xj)可采用n-1次Lagr則對于n=2，有：上面就是一維線性Lagrange單元。對于n=3，有：

上式表示一維二次Lagrange單元。上述無量綱表達式即為今后常用的自然坐標。這樣做的目的可使單元的構造標準化，即插值函數和一維單元的尺寸無關，從而大大方便有限元軟件的編制和應用。上面給出一維單元插值函數的具體構造，下面類似的給出二維單元插值函數的表達式：則對于n=2，有：上面就是一維線性Lagrange單元。對于對于如下圖所示的四節點四邊形單元：考慮自然坐標ξ，η兩個方向的Lagrange多項式：考慮