二次函數與三角形存在性問題【例題精講】如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為，連接，，，直線與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）求四邊形的面積；（3）是第一象限內拋物線上的動點，連接，，當時，求點的坐標；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，已知拋物線與軸交于點、，與軸交于點，點是拋物線上一動點，連接，．（1）點的坐標為，點的坐標為；（2）如圖1，當點在直線上方時，過點作上軸于點，交直線于點．若，求的面積；（3）拋物線上存在一點，使是以為直角邊的直角三角形，求點的坐標．

【題組訓練】1．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示），，兩點的坐標；（2）證明與的面積相等；（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；若不存在，請說明理由．

3．如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標為，點坐標為，對稱軸為．點為線段上的一個動點（不與兩端點重合），過點作軸，交拋物線于點，交于點．（1）求拋物線及直線的表達式；（2）過點作，垂足為點．求線段的最大值；（3）試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

4．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中，．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點為直線下方拋物線上任意一點，連接，，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）點為拋物線對稱軸上的一點，當以點，，為頂點的三角形為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．

5．如圖，已知二次函數的圖象與軸的兩個交點為與點，與軸交于點．（1）求此二次函數關系式和點的坐標；（2）請你直接寫出的面積；（3）在軸上是否存在點，使得是等腰三角形？若存在，請你直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

6．如圖，已知二次函數的圖象交軸于點，，交軸于點．（1）求這個二次函數的表達式；（2）將直線向下移動個單位，若直線與拋物線有交點，求的取值范圍；（3）直線分別交直線和拋物線于點，，當是等腰三角形時，直接寫出的值．

7．如圖，二次函數的圖象與軸交于點，與軸的負半軸交于點，且的面積為6．（1）求，兩點的坐標；（2）求該二次函數的表達式；（3）如果點在坐標軸上，且是等腰三角形，直接寫出點坐標．

8．如圖，直線和拋物線都經過和兩點，拋物線與軸交于、兩點（點在點右側）．（1）求直線和拋物線的函數表達式；（2）求四邊形的面積；（3）在軸上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有的點，若不存在，請說明理由．

9．如圖，拋物線與坐標軸交于點、、，點為拋物線上動點，設點的橫坐標為．（1）若點與點關于拋物線的對稱軸對稱，求點的坐標及拋物線的解析式；（2）若點在第四象限，連接、及，當為何值時，的面積最大？最大面積是多少？（3）是否存在點，使為以為直角邊的直角三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形，點在軸上，點在軸上，其中，已知拋物線經過點和點．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點在直線上，點為軸右側拋物線上一點，連接、，，若，求點坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，為射線上一點，作直線于點，連接，，，若為直角三角形，請直接寫出點坐標．

11．如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求二次函數的表達式及頂點坐標；（2）連接，在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，，交軸于點．（1）求拋物線的表達式和頂點的坐標．（2）將拋物線關于軸對稱的拋物線記作，點為拋物線上一點若是以為直角邊的直角三角形，求點的坐標．

13．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接，為線段上的一個動點不與、重合），過點作軸，交拋物線于點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當時，求點的坐標；（3）連接、、、，當的面積等于的面積時（點與點不重合），求點的坐標；（4）在（3）的條件下，在軸上，是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．

14．將拋物線向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線，的解析式；（2）如圖（1），點在拋物線（對稱軸右側）上，點在對稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點的坐標；（3）如圖（2），直線，為常數）與拋物線交于，兩點，為線段的中點；直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點．求證：直線經過一個定點．

15．已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點右側），與軸交于點．（1）求拋物線的解析式和，兩點的坐標；（2）如圖，若點是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與、重合），過點作軸的平行線，交直線于點；①設點的橫坐標為，用含的式子表示出的長，并求出的最大值及此時點的坐標；②過點作，交拋物線于點，是否存在點使為等腰直角三角形？若存在，求出點的橫坐標的值；若不存在，說明理由；（3）點為軸正半軸上一點，直接寫出使為等腰三角形的點的坐標．

16．在平面直角坐標系中，拋物線，是常數，與軸交于、兩點，與軸交于點，對稱軸為直線．（1）填空：（用含的代數式表示）；（2）當時，拋物線上的點到軸的最大距離為5，求的值；（3）若點的坐標為，點的坐標為（其中，點為拋物線上一動點，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

17．如圖，拋物線的圖象過點、、．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，請求出點的坐標及的周長；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

18．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，連接．（1）求、、三點的坐標；（2）若點為線段上的一點（不與、重合），軸，且交拋物線于點，交軸于點，當線段的長度最大時，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，當線段的長度最大時，在拋物線的對稱軸上有一點，使得為直角三角形，直接寫出點的坐標．

19．如圖，拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，且點與點的坐標分別為，，點是拋物線的頂點，點為線段上一個動點，過點作軸于點，若．（1）求二次函數解析式；（2）設的面積為，試判斷有最大值或最小值嗎？若有，求出其最值，若沒有，請說明理由；（3）在上是否存在點，使為直角三角形？若存在，請寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

20．如圖，拋物線過點和點，與軸交于點在軸上有一動點（其中為實數，，過動點作直線軸，交拋物線于點．（1）求拋物線解析式及點的坐標；（2）當時，在直線上是否存在第一象限內的點，使得是以為底角的等腰三角形，若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由