第二章概率復(fù)習(xí)課

高中數(shù)學(xué)高二年級(jí)第二章概率復(fù)習(xí)課高中數(shù)學(xué)高二年級(jí)1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

系統(tǒng)盤(pán)點(diǎn)，提煉主干2要點(diǎn)歸納

整合要點(diǎn)，詮釋疑點(diǎn)3題型研修

突破重點(diǎn)，提升能力《概率》章末復(fù)習(xí)提升1知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 系統(tǒng)盤(pán)點(diǎn)，提煉隨機(jī)變量及其分布二點(diǎn)分布隨機(jī)變量及其分布二點(diǎn)分布1.條件概率與事件的獨(dú)立性(1)條件概率公式：P(B|A)＝

，P(A)＞0.

(2)相互獨(dú)立事件：P(B|A)＝P(B)，這時(shí)我們稱(chēng)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果事件A1,A2,...An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即：重要公式1.條件概率與事件的獨(dú)立性重要公式例1.壇子里放著7個(gè)大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個(gè)是綠皮的，3個(gè)是白皮的.如果不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率.題型一條件概率的求法順序例1.壇子里放著7個(gè)大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個(gè)是綠皮的例1.壇子里放著7個(gè)大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個(gè)是綠皮的，3個(gè)是白皮的.如果不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；解:設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件A，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件B，則“第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋”為事件AB.例1.壇子里放著7個(gè)大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個(gè)是綠皮的(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率.解:方法一由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為方法二因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝24，(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率求條件概率的主要方法：(1)利用條件概率：P(B|A)＝

.(2)針對(duì)古典概型，縮減基本事件總數(shù)P(B|A)＝

.總結(jié)歸納：求條件概率的主要方法：總結(jié)歸納：跟蹤演練1.一個(gè)盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品、1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，試求條件概率P(B|A).解:將產(chǎn)品編號(hào)1,2,3號(hào)為一等品，4號(hào)為二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分別取到第i號(hào)、第j號(hào)產(chǎn)品，則試驗(yàn)的樣本空間為:Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2).(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}，AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，跟蹤演練1.一個(gè)盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品、1只二等例2.國(guó)家射擊隊(duì)為備戰(zhàn)2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)進(jìn)行緊張艱苦的訓(xùn)練，訓(xùn)練項(xiàng)目完成后，教練總會(huì)設(shè)計(jì)安排一些放松、娛樂(lè)性恢復(fù)活動(dòng).在一次速射“飛碟”的游戲活動(dòng)中，教練制定如下規(guī)則：每次飛碟飛行過(guò)程中只允許射擊三次，根據(jù)飛碟飛行的規(guī)律，隊(duì)員甲在飛行距離為50米遠(yuǎn)處第一次射擊命中的概率為

.(1)如果隊(duì)員甲一共參加了三次射擊飛碟的游戲，試求隊(duì)員甲在這三次游戲中第一次至少有一次擊中的概率；解：記“隊(duì)員甲在三次游戲中，第一次至少有一次命中”為事件A.題型二互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率例2.國(guó)家射擊隊(duì)為備戰(zhàn)2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)進(jìn)行緊張艱苦(2)如果隊(duì)員甲射擊飛行距離為50米遠(yuǎn)處的飛碟，如果第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊，同時(shí)第二次射擊時(shí)飛碟飛行距離變?yōu)?00米；如果第二次未命中，則進(jìn)行第三次射擊，第三次射擊時(shí)飛碟飛行距離變?yōu)?50米(此后飛碟不在射程之內(nèi)).已知，命中的概率與飛碟飛行距離的平方成反比，求隊(duì)員甲在一次游戲中命中飛碟的概率.(2)如果隊(duì)員甲射擊飛行距離為50米遠(yuǎn)處的飛碟，如果第一次未解:記“在一次游戲中，第i次擊中飛碟”為事件Bi(i＝1,2,3).又Bi是相互獨(dú)立事件，1.設(shè)出事件2.說(shuō)明事件間關(guān)系3.選用公式4.計(jì)算數(shù)值解:記“在一次游戲中，第i次擊中飛碟”為事件Bi(i＝1,2總結(jié)歸納：在求解此類(lèi)問(wèn)題中，主要運(yùn)用對(duì)立事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式：(1)P(A)＝1－P()；審題時(shí)應(yīng)注意“至少有一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”、“恰好有一個(gè)發(fā)生”等關(guān)鍵的詞句；(2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)；若事件A，B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立.(3)若事件A，B是互斥事件，則P()＝P(A)＋P(B).總結(jié)歸納：在求解此類(lèi)問(wèn)題中，主要運(yùn)用對(duì)立事件、互斥事件跟蹤演練2.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6.本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒(méi)有影響，求前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率.解：?jiǎn)尉直荣惣钻?duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1－0.6＝0.4，記“甲隊(duì)勝三局”為事件A，“甲隊(duì)勝二局”為事件B，則：∴前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率為P(A)＋P(B)＝0.648.跟蹤演練2.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差：期望、方差：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn則稱(chēng)E(X)＝x1P1＋x2P2＋…＋xiPi＋…＋xnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱(chēng)期望).它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.D(X)＝(x1-E(X)

)2P1＋(x2-E(X)

)2P2＋…＋(xn-E(X)

)2Pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.它反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)大?。ɑ螂x散程度）.D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差：Xx1x2…xi…xnPP1例3.甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是

外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是

，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.題型三離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差例3.甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；解：記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以

由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得:(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分故X的分布列為：故X的分布列為：總結(jié)歸納：1.求離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的方法步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，并寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列；(4)由期望或方差的定義求EX或DX.2.期望與方差的性質(zhì)：若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).定義法性質(zhì)法總結(jié)歸納：1.求離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的方法步驟：2跟蹤演練3.口袋里裝有大小相同的卡片8張，其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后，第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.求ξ的期望.解:依題意，隨機(jī)變量ξ的取值是2,3,4,5,6.跟蹤演練3.口袋里裝有大小相同的卡片8張，其中3張標(biāo)有數(shù)字1∴ξ的分布列是∴ξ的分布列是3.常見(jiàn)概率分布的期望和方差公式：①二點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為P的二點(diǎn)分布，則E(X)＝P，D(X)＝P(1－P).②二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X～B(n，P)，則E(X)＝nP，D(X)＝nP(1－P).③超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布，則.特殊的二項(xiàng)分布3.常見(jiàn)概率分布的期望和方差公式：特殊的二項(xiàng)分布例4.袋中有8個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求：(1)有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列及期望、方差；(2)不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Y的分布列及期望、方差.題型四超幾何分布與二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布超幾何分布相同條件、獨(dú)立、重復(fù)兩類(lèi)物品、一類(lèi)M件、任取n件例4.袋中有8個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次解：有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)X可能的取值為0,1,2,3，又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則于是：解：有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)X可能的取值為0,1,2,3，（2）不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Y可能的取值為0,1,2,且有：公式法定義法（2）不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Y可能的取值為0,1,2,且總結(jié)歸納：有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型；不放回抽樣時(shí)，取出一個(gè)則總體中就少一個(gè)，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型；區(qū)別：（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；?（2）超幾何分布是“不放回”抽取，而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)）.聯(lián)系：而當(dāng)總體容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.總結(jié)歸納：有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽1.從6名男生和4名女生中，隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試，試求選出的3名學(xué)生中女生人數(shù)ξ的分布．2.甲乙兩人玩秒表游戲，按開(kāi)始鍵，然后隨機(jī)按暫停鍵，觀察秒表最后一位數(shù)，若出現(xiàn)0,1,2,3則甲贏，若最后一位出現(xiàn)6,7,8,9則乙贏，若最后一位出現(xiàn)4,5是平局．玩三次，記甲贏的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列．辨析：是超幾何分布還是二項(xiàng)分布？分析:由題意得ξ＝0,1,2,3.ξ服從參數(shù)為N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布．分析：是一道二項(xiàng)分布的題目，X～B(3,0.4).1.從6名男生和4名女生中，隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試

跟蹤演練4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若

解：由得：跟蹤演練4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布4.正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，并且關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)；②曲線在x＝μ時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；③曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.④曲線與x軸之間的面積為1.4.正態(tài)曲線的性質(zhì)：題型五正態(tài)分布的應(yīng)用例5.

x=μ1x=μ2題型五正態(tài)分布的應(yīng)用x=μ1x=μ2【解析】由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，，的密度曲線分別關(guān)于直線，對(duì)稱(chēng).由圖象可得：，所以，故A錯(cuò)誤;又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以，B錯(cuò)誤;對(duì)任意正數(shù)t，，，C正確，D錯(cuò)誤．故而答案：C.x=μ1x=μ2【解析】由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知總結(jié)歸納：求解正態(tài)分布的問(wèn)題:1.要注意正態(tài)曲線的性質(zhì)；2.要注意數(shù)學(xué)思想方法的使用：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.總結(jié)歸納：求解正態(tài)分布的問(wèn)題:跟蹤演練5.

設(shè)X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)、P(X≥7)及P(5＜X＜6)．【思路分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)＝0.9