指點迷津(四)破解“雙變量問題的轉化”第三章破解“雙變量問題的轉化”高考試題導數解答題中,常涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題,這類問題對學生能力要求高,難度較大.破解問題的關鍵:一是轉化,即由已知條件入手,尋找雙變量滿足的關系式,并把含雙變量問題轉化為含單變量的問題;二是巧妙構造函數,再借用導數,判斷函數的單調性,從而求其最值,進而解決問題.一、雙變量不等式的證明例1.(2021天津南開高三期末)已知函數f(x)=xlnx-1,g(x)=ax2-(a-2)x.(1)求f(x)的最小值;(2)設函數h(x)=f'(x)-g(x),討論h(x)的單調性;(3)設函數G(x)=g(x)+(a-2)x,若函數f(x)的圖像與G(x)的圖像有A(x1,y1),B(x2,y2)兩個不同的交點,證明:ln(x1x2)>2+ln2.(參考數據:ln2≈0.69)(2)解:h(x)=f'(x)-g(x)=ln

x-ax2+(a-2)x+1,定義域為(0,+∞),(3)證明:G(x)=g(x)+(a-2)x=ax2,因為函數f(x)的圖像與G(x)的圖像有兩個不同的交點,所以關于x的方程ax2=xln

x-1,x>0,突破技巧破解含雙變量不等式的證明問題的關鍵:一是轉化,即由已知條件入手,尋找雙變量所滿足的關系式,并把含雙變量的不等式轉化為含單變量的不等式;二是巧構造函數,再借助導數,判斷函數的單調性,從而求其最值;三是回歸雙變量的不等式的證明,把所求的最值應用到雙變量不等式,即可證得結果.對點訓練1(2021山東濰坊三模)設函數f(x)=xlnx.(1)求曲線f(x)在點(e-2,f(e-2))處的切線方程;(2)若關于x的方程f(x)=a有兩個實根,設為x1,x2(x1<x2),證明:x2-x1<1+2a+e-2.(1)解:由于f(e-2)=-2e-2,又因為f'(x)=1+ln

x,故在點(e-2,f(e-2))處的切線斜率k=f'(e-2)=-1,因此所求切線方程y+2e-2=-(x-e-2),即x+y+e-2=0.(2)證明:由于f'(x)=1+ln

x,且f(x)定義域為(0,+∞),即x3=-e-2-a,下面證x3≤x1.

g'(x3)=1+ln

x3+1=2+ln

x3,故x3∈(0,e-2),g'(x3)<0,g(x3)是遞減的,x3∈(e-2,e-1),g'(x3)>0,g(x3)是遞增的,因此g(x3)≥g(e-2)=0,即x3≤x1.又因為f(x)在(1,0)處的切線方程為y=x-1,二、雙變量的恒(能)成立問題例2.(2021河南鄭州質量檢測)已知函數f(x)=-mx+lnx+1,g(x)=cosx+xsinx-1.(1)討論函數f(x)的單調區間與極值;(2)若m>

,對任意x1∈[1,2],總存在x2∈[0,π],使不等式f(x1)-g(x2)>1成立,試求實數m的取值范圍.(2)對任意x1∈[1,2],總存在x2∈[0,π],使得f(x1)-g(x2)>1成立,等價于f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min與g(x)在[0,π]上的最小值g(x)min的差恒大于1,又因為g(0)=0,g(π)=-2,所以g(x)min=g(π)=-2.由(1)知:突破技巧“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質,深刻挖掘內含條件,進行等價變換,常見的等價轉換有(1)任意x1,x2∈D,使f(x1)>g(x2)成立?f(x)min>g(x)max.(2)任意x1∈D1,存在x2∈D2,使f(x1)>g(x2)成立?f(x)min>g(x)min.(3)存在x1∈D1,任意x2∈D2,使f(x1)>g(x2)成立?f(x)max>g(x)max.對點訓練2(2021陜西長安一中高三月考)已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)若a=-

,求函數f(x)的單調區間;(2)設a<-1,若對任意x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.當a<-1時,f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上是遞減的,設x1≥x2,從而對任意x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)-f(