粘性流體力學第六章湍流前言湍流的基本特征擬序結構雷諾方程模式理論專題討論前言什么是湍流？自然界和工業中的流動絕大多數是湍流。目前對層流運動已有了足夠的認識，而對湍流仍處于探索階段，湍流是經典科學體系中的著名難題！湍流是一種非常復雜的三維非定常流動，它是流體微團的不規則運動，它所產生的質量和能量的輸運將遠遠大于分子熱運動產生的宏觀輸運，這就導致湍流場中質量和能量的平均擴散遠遠大于層流擴散。前言一些描述……最早DaVinci(1452-1519)

現象烏云被狂風卷散撕裂沙粒從海灘上揚起樹木彎下了腰。本質旋渦的分裂、破碎旋渦的卷吸近壁區的剪切作用LeonardodaVinci(1452-1519)前言:雷諾實驗層流湍流O.Reynolds(1842-1912)1883年Reynolds

發現湍流流動現象云層自然界的湍流河流香煙的煙霧海浪減阻控制轉捩：減少阻力燃燒強化湍流：加強擴散噪聲抑制湍流：降噪氣象預測大氣湍流湍流的研究意義目的：預測和控制湍流前言直到上世紀60年代，湍流一直被認為是一種紊亂的、無規律的、隨機的流動；并按照處理隨機現象的方法來進行研究。流動是受N-S方程等的約束，因此它的隨機性要受到限制。很早人們就猜想，湍流中可能存在著有一定組織性的流動，即擬序結構。但這種擬序結構是經過了長期的探索，才逐步發現的。1952Theodorsen提出了在湍流邊界層中存在馬蹄渦的假說1956Townsend提出了大渦假說即大渦加上隨機的湍流次結構。人們終于逐漸認識到，湍流并不是完全無規律的，其擬序結構具有組織性、相干性、擬序性等特性。前言研究湍流的目的應用方面估計湍流產生的摩阻、擴散等等工程問題控制湍流、減阻、增加或減少擴散等等理論方面了解湍流的機理和規律前言湍流研究湍流是歷史悠久的問題，曾被稱為“經典物理學最后的疑團”。平滑的流體碎裂成螺旋和渦流。流體與固體的分解被凌亂的模式破壞。能量極快從大尺度運動傳向小尺度運動。并直接引發了非線性科學與混沌學的誕生和發展。從理論上解決湍流問題的重大障礙是流體力學基本方程（Navier－Stockes）的非線性。

這類方程的定常解不穩定，會出現分岔前言研究發展20世紀初熱線風速計——時間序列數據后續英國G.I.Taylor蘇聯N.Kolmogorov中國周培源近代湍流的研究方向湍流運動的規律應當著眼于不規則（或隨機）湍流脈動的物理性質前言從本世紀30年代開始，泰勒（Taylor）、卡曼（Karman）、哥爾莫柯洛夫（Kolmogorov）、周培源等人創立了湍流的統計理論，把概率論的方法引進了這個領域。湍流中大漩渦套著中漩渦，中漩渦套著小漩渦，互相交叉互相混雜，這些運動著的漩渦數量之巨、種類之多、相互作用之繁決不是用幾個甚至幾十個確定論的方程可以描述的。這幾十年來，湍流的統計理論有了很大的發展，但是對這個復雜的問題幾乎沒有引出什么定量的預測。readingK41理論簡介K41理論，也稱通用平衡理論，是數學大師Kolmogorov在1941年提出的。很多湍流分析都是建立在K41理論上的,它對半個多世紀以來的湍流研究產生了深遠的影響。K41理論最成功的預測是湍流中標度律的存在。大尺度的漩渦不斷分裂成更小尺度的漩渦，動能有大尺度不斷向小尺度傳遞，最后在粘性作用下耗散。reading前言研究方法一覽統計理論（隨機特性）結構理論（逆序結構）實驗模式理論數值模擬實驗K-…湍流的基本特性湍流的6個基本特性隨機性即不規則性湍流在時間和空間上的運動都是高度隨機紊亂的，這是湍流的本質。但在一些情況下存在擬序性，即在小尺度隨機運動的背景上，存在某種非常穩定的擬序結構，但擬序結構產生和消失的時間和空間仍然具有隨機性。特征尺度的多重性湍流是由平均流和不規則的脈動迭加而成的，脈動的頻譜很寬。在湍流中，非線性機理不斷產生越來越小的渦旋，形成從大到小的渦譜系。最大渦的特征尺度可以與流動域的特征尺度相當，它的結構與流動產生的外部環境密切相關。能量在最小渦中耗散，也稱為耗散尺度。湍流的基本特性三維渦量脈動性能量從大渦向小渦傳遞的過程，主要通過渦管的拉伸，這只有在三維流動中才能完成。擴散性湍流的動量、質量和熱交換的速率比層流擴散（分子擴散）的速率大幾個數量級。象爐內湍流燃燒和傳熱的速率比蠟燭燃燒的層流火焰相應的速率快得多。湍流的基本特性能量的強輸運性能量不斷由大渦向小渦輸運，尺度相差大的渦沒有相互作用，只有尺度相近的渦才可傳遞能量。湍流只存在于高雷諾數，大渦之間的作用幾乎不受粘性影響；只在上述級聯過程的最后階段，即在小尺度的渦中，粘性的作用才變得明顯和重要，這時流體對抵抗變形的粘性應力作變形功而將湍流動能耗散為熱能。耗散性在最小尺度渦的脈動中，能量不斷被粘性轉換為熱。為補償粘性耗散，湍流需要不斷補充能量，否則將很快衰減。湍流中能量耗散率應與能量傳輸率相當。層流

與

湍流湍流的基本特性湍流的基本特性有渦性（eddy）湍流物理量的脈動與渦結構reading湍流的基本特性渦串級理論（casecade）湍流渦體的串級觀點reading湍流的基本特性1922年RichardsonBigwhirlshavelittlewhirls,Whichfeedontheirvelocity.Littlewhirlshavesmallerwhirls,Andsoontoviscosity.大渦用動能哺育小渦，小渦照此把兒女養活。能量沿代代旋渦傳遞，但終于耗散在粘滯里。湍流的基本特性reading利用湍流特性的例子：高爾夫球、網球等的“粗糙外衣”粗糙外衣可以誘發湍流，利用湍流的能量強輸運特性，減小分離，從而減小阻力。擬序結構擬序結構的描述正象很難定義湍流一樣，擬序結構尚無一個明確的定義一般認為在紊亂中存在著相當有組織的有序運動，這種有組織的大尺度流動被稱為擬序結構。通常把快斑，慢斑，流向渦，橫向渦，發卡渦，猝發等流動現象稱為擬序結構。除了它們之外是否還有其他的流動形式可以稱為擬序結構？也沒有定論。湍流的擬序結構與從層流向湍流的轉捩過程中出現的流動結構是非常相似的。擬序結構分類自由剪切層擬序結構其代表是混合層大渦結構，大渦的合并和演化具有擬序性質。80年代對大渦的合并進行了許多控制研究。其中聲控方法取得了很大的進展，已經相當廣泛地用于減阻或增升湍流邊界層擬序結構包括快斑，慢斑，流向渦，橫向渦，馬蹄渦，猝發等流動現象。擬序結構湍流和擬序擬序結構可以通過流動顯示、條件抽樣、圖象辨別等測試手段辨認出來．正是這些結構再迭加在高度隨機的運動背景之上構成了湍流。所以湍流是確定性和隨機性過程的某種有機的統一。擬序結構幾種典型邊界層擬序結構快斑，慢斑（也稱高低速條帶)由彼此相間的反向旋轉的流向渦系形成高低速條帶。氫氣泡被間斷的絕緣分割為若干白色的小塊。這些小塊流向間距密集的區域，表示當地流速慢，稱為慢斑稀疏的區域，表示當地流速高，稱為快斑。（左箭頭指向一快斑，右箭頭指向一慢斑）。每個快慢斑都占有一定的流向和展向區域。在其內部，流動相對均勻。亦即不是隨機的脈動。這就改變了湍流邊界層是處處無序的概念。因此稱它們為擬序結構。

擬序結構渦結構湍流邊界層擬序結構主要是由渦結構組成--流向渦和橫向渦。快慢斑是渦結構的誘導速度所造成的流速分布所產生的圖像。右圖為橫向渦（箭頭所指）

擬序結構右圖為流向渦（箭頭所指）擬序結構發卡渦，猝發等擬序結構已經講過，不再重復。擬序結構自由剪切中的擬序結構混合層大渦結構，由于不穩定性出生的大渦隨著往下游流動，不斷地互相合并湍流發現雖然已有一百多年。許多著名的流體力學家都曾經涉足于湍流的研究，如Prandtl,Karman,Taylor,Heisenberg等等。但是湍流仍然是一個很不清楚的物理現像。它的復雜性可能超過了許多流體力學家早期的估計。許多年以來，湍流研究都期望從基本方程求得一個適用范圍廣泛的解。上百年的努力，沒有實現這一期望。reading湍流擬序結構的發現，加深了對湍流的認識，主要是它的復雜性的認識。現在看來湍流基本上是由大尺度和小尺度的多重結構組成。結構的差異，不僅在于尺度的大小，更主要的是它們的流動特征。二者的時空變化都有一定的隨機性。但是小尺度湍流的隨機性表現為正態分布。大尺度的是擬序結構，其隨機性多表現為對數正態分布。小尺度是相對均勻的，并且比較近于各向同性。對于均勻各向同性的小尺度湍流，早期的流體力學家發展了湍流統計理論，應用到湍流的傳質傳熱的分析和估算。readingBatchelor是GI

Taylor之后，劍橋學派的領袖。不過他其實并不是英國人，而是澳大利亞人。他從小在墨爾本長大。第二次世界大戰其間，在從事了一個航空相關的課題研究中，

他對湍流研究產生了濃厚的興趣，尤其是GI

Taylor三十年代關于湍流研究的工作。于是他

就給Taylor寫信，想做他的research

student。Taylor很快同意了。readingBatchelor是一個很跋

扈的人，說話頗有些像黑社會的老大的風范。他有一個死黨和跟屁蟲。他非常想讓這個跟屁蟲跟他一塊到英國去研究湍流，省得他一個人寂寞。這個死黨呢，大學學的是跟湍流八

竿子打不著的核物理。這并不要緊，Batchelor充分發揮了他黑社會老大般的威嚴對他說，“跟我到英國找Taylor研究湍流去吧！”這個鐵桿兄弟也不含糊，立刻說，好，跟老大走

。不過走前，你回答我兩個問題：誰是G.I.

Taylor?

湍流是什么玩藝？前一個問題好回答

，后一個問題，Batchelor究竟是怎么回答的，是威逼利誘，還是曉之以理動之以情說服的

，大家一直為這個問題爭論了幾十年。reading總之，最后兩人都去了英國。見了Taylor呢，兩人

都失望了，原來Taylor已經不搞湍流了，全力搞什么水下爆炸之類的跟軍事有關的課題（

估計這個來錢）。好在大師就是大師，讓這兩個年輕人自編自導自己去折騰，在旁邊指導指導。最后兩人都成為大師。Batchelor的這個小兄弟究竟是誰呢？呵呵，就是大名鼎鼎的AA

Townsend。這個故事再次說明跟好一個老大是多么重要亞。

reading有關的研究在Hinze(1975)所著的“Turbulence”一書中有豐富的文獻。對均勻各向同性湍流的實驗研究，早期廣泛地使用熱線風速儀。這是一種定點測量的，歐拉性質的測量。不過既然是在空間均勻分布，和測量點的位置無關。而且按Taylor的凍結理論，時間序列的測速數據也可以轉化為脈動流速沿流向分布。湍流擬序結構要比小幅度的均勻各向同性的湍流要復雜得多。現在能夠對擬序結構進行量化的僅僅是少數擬序結構的少數特征，如底層快慢斑的間距，慢斑上升或猝發的頻率。因為現在對擬序結構的認識還主要是它的圖像。擬序結構本身是立體的，是沿時空四度空間變化的。reading對于湍流邊界層擬序結構的立體圖像的觀測，Praturi&Brodkey(1978)雖然用微粒顯示進行過觀測，但是所得的結果只有文字敘述。現在雖然微粒成象測速技術（PIV）雖然已有了很大的發展。但是測量三維流場瞬時測速，還是分辨率很低，困難很大，是尚未解決的問題。雖然使用立體攝影，可以測量散布的微粒的瞬時的三維的流速分布，但是現在只能使用很稀疏的微粒分布，因而所得的數據的空間分辨率很低。不足以分析研究擬序結構。現在流動顯示所得的擬序結構圖像基本上是平面照片。因而它們只能代表擬序結構的一部分特征。即使對一種擬序結構的觀測，也是不完整的。例如，對于慢斑的觀測，現在所得的圖像大多數是近壁區的平面圖像。一個慢斑如何向垂直于壁面方向發展？就很少有分析研究。reading猝發是一個重要的現像，它的頻率已經被許多進行條件采樣的已經作過測量。早期就知道它是慢斑上升的結果。但是在慢斑中上升的流體如何演變成為猝發？這個過程也很不清楚，也很少研究文獻。湍流邊界層擬序結構的研究雖然已有多年，但是無論是理論分析或是實驗研究都有很大的困難。因此許多問題仍然是很不表楚；例如渦結構存在的形式，它們從內區到外區的變化，渦結構的生成過程，等等。發卡渦曾經被認為是主要的渦結構，但是近來的實驗表明在充分發展的湍流邊界層中很難存在完整的發卡渦。暗班具有很大的動能，是很活躍的一種結構。它可能對近壁區的擬序結構有較大的影響。活躍期與平靜期的交替變換，是否也存在不是逆壓的邊界層？這些都是有待解決的問題。reading在應用方面還是取得了不少進展。利用擬序結構研究的結果來發展應用性研究例如減摩阻，縮減分離區，增加傳熱率，降低噪聲等等。由于計算機的迅速發展，直接數值模擬研究湍流正在迅速進展另一方面，三維PIV技術也在迅速發展，高分辨率的瞬時三維速度場的時間序列測量，將可能實現。二者結合可能對湍流的研究有很大的促進作用。二者都產生海量數據，如何從中獲得規律性結果，是一難題。流動顯示可直觀獲得擬序結構，仍將在湍流研究中發揮重要作用。

reading雷諾方程湍流的脈動性湍流是高度隨機的，隨機脈動的頻率在100－100000之間，振幅一般小于平均值的十分之一，目前，在每一時刻、對每一點的流動參數進行描述是不可能的（時間和空間尺度都太大、目前的技術還無法收集和處理這些海量數據），也是不必要的：因為，人們關心的是湍流表現出的平均特性。例如：飛機飛行時，我們一般只會關心湍流作用在飛機上的平均特性如時均升力，而不會關心湍流作用在飛機上的低振幅、高頻率脈動。所以用平均的概念研究湍流一直是湍流研究的主要方向之一。二、雷諾方程因此，可以將湍流中的瞬時參數（如速度、壓力等）分解成時間平均值和隨機脈動值：雷諾方程將湍流中的瞬時參數（如速度、壓力等）分解成時間平均值和隨機脈動值：隨機脈動的頻率在100－100000之間，振幅一般小于平均值的十分之一，時間平均值的定義為：雷諾方程很容易證明脈動的平均值為零可證明平均值的有關運算法則：雷諾方程雷諾方程推導表示瞬時流動的不可壓縮流的NS方程為：

將速度和壓力表示成時間平均值和隨機脈動值之和：其目的是由表示瞬時流動的NS推導出表示平均流動的控制方程。（1）（2）雷諾方程將上式帶入NS方程，并利用平均值的有關運算法則，整理后可得：

或寫成：雷諾方程該項被稱為“雷諾應力”，是未知量，它使方程組不再封閉。雷諾方程雷諾方程vs.NS方程雷諾方程是用平均值和脈動值表示的湍流NS方程。與原NS相比，雷諾方程多出一項，該項同應力表達式相同，稱為雷諾應力張量，它有六個獨立分量。由于增加了六個未知數，方程組不再封閉。雷諾方程雷諾應力vs.

分子粘性應力粘性應力對應于分子擴散引起界面兩側的動量交換，擴散是由分子熱運動引起的；雷諾應力對應于流體微團的跳動引起界面兩側的動量交換，跳動是由大大小小的旋渦（即湍流脈動）引起的，所以湍流平均運動的微元體除壓力外還受到分子粘性應力和雷諾應力兩種表面力作用雷諾應力張量是脈動速度的二階相關張量分子運動的特征長度是分子平均自由程，它遠小于流動的宏觀尺度，而湍流脈動的最小特征尺度仍屬于宏觀尺度。所以雷諾應力比時均流粘性力大若干量級，起主導作用，它使時均流速度分布等發生明顯變化。模式理論起因雷諾方程是時均化的NS方程，但由于雷諾應力的出現，方程不封閉。為了解決方程組的封閉問題，必須建立雷諾應力(或脈動量)與平均量間的關系，通常將這些關系稱為湍流的模式理論。湍流模式理論是用理論方法和經驗，建立一些有關雷諾應力的假設，從雷諾方程得到封閉的方程組。采用模式理論將雷諾方程封閉后，就可以求解雷諾方程，計算出各種流動參數。重要性模式理論是當前流體力學、空氣動力學的研究熱點之一。由于目前國內外普遍使用雷諾方程計算流體力學問題，因此，模式理論具有極其重要的學術意義和工程價值。模式理論雷諾應力的模化雷諾應力項反映了脈動速度引起的動量輸運，這有些類似于分子輸運項即粘性項。參照適用于粘性項的牛頓內摩擦定律，Boussinesq(1877)用渦粘性系數的概念，把雷諾切應力和時均速度梯度聯系起來。在平行剪切流中，他假定雷諾切應力：μt

稱為渦粘性系數。寫成一般式：也就是將雷諾應力表示成了平均速度的函數，同瞬時NS方程一樣，此時雷諾方程封閉。Boussinesq基于湍流和氣體分子熱運動的類比：湍流特征長度尺度分子自由程湍流特征速度尺度分子熱運動速度渦粘性系數分子粘性系數湍流熱交換系數分子熱交換系數模式理論模式理論混合長度理論分子粘性系數只由流體性質決定，而渦粘性系數不是流體的一個物性參數，它與當地的湍流結構和流動情況有關。Prandtl（1925）建立了渦粘性系數的半經驗理論——混合長度模型。模式理論基本思想湍流中流體質點的無規則運動類比于氣體分子的熱運動，故在流場中存在一個類似于平均自由層的尺度，該尺度是任一個流體質點與其它流體質點發生摻混改變其速度前所經過的平均距離。根據這個理論，可推知：式中l稱為混合長度，所以渦粘性系數：模式理論因此，可以將目前應用最廣的渦粘性湍流模型統一表達如下：渦粘性具有速度和長度尺度的量綱，即其中u′和l分別是特征速度尺度和特征長度尺度。在實際應用中，常常采用比如湍動能k，耗散率ε，比耗散率ω以及其它