第四節空間直線、平面垂直的判定與性質第八章內容索引0102強基礎固本增分研考點精準突破課標解讀1.了解空間中線線、線面、面面垂直的關系,認識和理解空間中線面、面面垂直的有關性質與判定.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題.強基礎固本增分1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義文字語言圖形語言符號語言直線l與平面α垂直的充要條件是如果直線l與平面α內的

任意

直線都垂直,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,它們唯一的公共點P叫做垂足

l⊥α??m?α,l⊥m(2)直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言如果一條直線與一個平面內的

兩條相交

直線垂直,則這條直線與這個平面垂直

m?α,n?α,m∩n≠?,l⊥m,l⊥n?l⊥α(3)直線與平面垂直的性質定理

微點撥

定義的實質是直線與平面內的所有直線都垂直.如果一條直線與平面內再多(即無數條)的直線垂直,但這些直線不相交就不能說明這條直線與此平面垂直.微思考

空間中任意一直線m,在平面α內是否存在無數條直線與m垂直?提示

存在,如圖.2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直一般地,如果兩個平面α與β所成角的大小為

90°

,則稱這兩個平面互相垂直,記作

α⊥β

.

(2)面面垂直的判定定理

實際應用:找出一個平面的垂面的依據(3)面面垂直的性質定理

常用結論直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.微點撥

在性質定理中要注意兩點:一是“在平面內”,二是“垂直于交線”,缺一不可.它是作平面垂線的一個重要依據,我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)2.設m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)3.若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)4.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線,則α⊥β.(

)×√××題組二

雙基自測5.

已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是(

)A.α⊥γ,β⊥γ

B.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥α

D.a∥α,a⊥β答案

D解析

α⊥γ,β⊥γ?α與β相交或平行,故A不正確;∵α∩β=a,b⊥a,b?β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正確;a∥β,a∥α?α與β相交或平行,故C不正確;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一條直線垂直于β,∴α⊥β,故D正確.6.

過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的

心.

(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是AB邊的

點.

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P,則點O是△ABC的

心.

答案

(1)外

(2)中

(3)垂解析

(1)∵過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC,圖略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴點O是△ABC的外心.(2)由(1)知,點O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如圖,∴點O是斜邊AB的中點.(3)連接AO并延長交BC于一點E,∵PA,PB,PC兩兩垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于點O,BC?平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA?平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE?平面APE,∴BC⊥AE.同理可證HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.研考點精準突破考點一線面、面面垂直(平行)關系的判斷例題(1)(多選)設m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列說法正確的是(

)A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥nB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ(2)已知P為△ABC所在平面外一點,且PA,PB,PC兩兩垂直,有下列結論:①PA⊥BC,②PB⊥AC,③PC⊥AB,④AB⊥BC.其中正確的有

.(填序號)

答案

(1)AD

(2)①②③解析

(1)因為m⊥α,α∥β,所以m⊥β,因為n⊥β,所以m∥n,故A正確;當α,β,γ是某三棱柱的三個側面時,可以滿足α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,但是α與β相交,故B錯誤;垂直于同一個平面的兩個平面可以相交,故C錯誤;因為m⊥α,α∥β,所以m⊥β,因為β∥γ,所以m⊥γ,故D正確.(2)如圖,因為PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,且PB?平面PBC,PC?平面PBC,所以PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,所以PA⊥BC.同理可得PB⊥AC,PC⊥AB.故①②③正確.由已知條件無法得到④.規律方法

判斷與空間平行、垂直關系有關的命題真假的方法(1)借助幾何圖形來說明線面關系.(2)尋找反例,只要存在反例,結論就不正確.(3)反復驗證所有可能的情況,必要時要運用判定定理或性質定理進行簡單說明.對點訓練(多選)已知平面α和兩條不同的直線m,n,下面的條件中一定可以推出m⊥n的是(

)A.m⊥α,n∥α B.m⊥α,n⊥αC.m?α,n⊥α D.m∥α,n∥α答案

AC解析

對于A,若n∥α,則存在直線b?α,且n∥b,因為m⊥α,b?α,所以m⊥b,即m⊥n,故A正確;對于B,若m⊥α,n⊥α,則m∥n,故B錯誤;對于C,m?α,n⊥α,則m⊥n,故C正確;對于D,若m∥α,n∥α,則m,n的位置關系為平行、相交或異面,故D錯誤.考點二直線與平面垂直的判定與性質例題

(2021·全國甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點,證明:BF⊥DE.(1)解

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.(2)證明

如圖,連接A1E,取BC中點M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點A1,B1,M,E四點共面,故DE?平面A1B1ME.又在側面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.規律方法

證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應用,其思維流程為:對點訓練如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.證明

(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,AB,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.考點三平面與平面垂直的判定與性質例題(2022·全國乙,文18)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E為AC的中點,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E為AC的中點,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,DE,BE?平面BED,∴AC⊥平面BED.∵AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解

∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴AC=2,BE=.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD為等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,即DE⊥BE.連接EF(圖略),∵點F在棱BD上,∴EF?平面BED.由(1)知,AC⊥平面BED,從而AC⊥EF,于是S△AFC=AC·EF=EF.故當EF⊥BD時,EF最小,△AFC的面積最小,此時由(1)知,AC⊥平面BED,所以AC⊥BD.又EF∩AC=E,EF,AC?平面AFC,∴BD⊥平面AFC.規律方法

利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法

對點訓練如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為正方形,DE=BD=1,CE=,G為AD的中點,H為DE的中點.(1)求證:平面ADEF⊥平面ABCD,且FH⊥BE;(2)求三棱錐B-CEG的體積.(1)證明

因為四邊形ADEF為正方形,所以DE⊥DA,AD=DE=1.因為四邊形ABCD為菱形,所以DC=DE=1.又因為CE=,所以CE2=DE2+DC2,所以DE⊥DC.因為DA∩DC=D,且DA,DC?平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.又因為DE?平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABCD.因為BD=1=AD=AB,G為AD的中點,所以BG⊥AD.又BG?平面ABCD,且平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面ADEF.因為HF?平面ADEF,所以BG⊥HF.因為四邊形ADEF為正方形,G為AD的中點,H為DE的中點,所以因為BG∩GE=E,BG,GE?平面BGE,所以HF⊥平面BGE,因為BE?平面BGE,所以FH⊥BE.(2)解

由四邊形ADEF為正方形,所以DE⊥AD.又DE?平面ADEF,平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以DE⊥平面ABCD,可得三棱錐E-GBC的高為DE=1.因為BG⊥AD,AD∥BC,所以BG⊥BC.考點四平行、垂直關系的綜合應用例題(2022·全國甲,文19)小明同學參加綜合實踐活動,設計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示,底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)證明:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).(1)證明

過點E作EE'⊥AB于點E',過點F作FF'⊥BC于點F',連接E'F'.∵底面ABCD是邊長為8的正方形,△EAB,△FBC均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四邊形EE'F'F是平行四邊形,則EF∥E'F'.∵E'F'?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解

過點G,H分別作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于點G',H',連接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點,六面體EFGH-E'F'G'H'為長方體,故該包裝盒由一個長方體和四個相等的四棱錐組合而成.∵底面ABCD是邊長為8的正方形,規律方法

立體幾何中線線、線面、面面的平行、垂直關系的兩種轉化

對點訓練