第12講二次函數的圖象及性質第三單元第12講二次函數的圖象及性質第三單元內容索引010203考點梳理整合安徽真題體驗考法互動研析內容索引010203考點梳理整合安徽真題體驗考法互動研析安徽真題體驗安徽真題體驗命題點1

二次函數的圖象1.(2020·安徽,10,4分)如圖,△ABC和△DEF都是邊長為2的等邊三角形,它們的邊BC,EF在同一條直線l上,點C,E重合.現將△ABC沿著直線l向右移動,直至點B與F重合時停止移動.在此過程中,設點C移動的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積為y,則y隨x變化的函數圖象大致為(

)命題點1二次函數的圖象答案

A解析

解法一:如圖1所示,當0<x≤2時,過點G作GH⊥BF于H.圖1圖2答案A圖1圖2安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質2.(2015·安徽,10,4分)如圖,一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖象相交于P,Q兩點,則函數y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能為(

)2.(2015·安徽,10,4分)如圖,一次函數y1=x與二答案

A解析

由于一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖象有兩個不同的交點,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有兩個不相等的正實數根,所以函數y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個不同的交點,且都在x軸的正半軸上,故選A.答案A命題點2

二次函數的性質3.(2019·安徽,22,12分)一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2+c的圖象的一個交點坐標為(1,2),另一個交點是該二次函數圖象的頂點.(1)求k,a,c的值;(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數y=ax2+c的圖象相交于B,C兩點,點O為坐標原點,記W=OA2+BC2,求W關于m的函數解析式,并求W的最小值.命題點2二次函數的性質解

(1)由題意得,k+4=2,解得k=-2,又∵二次函數頂點為(0,4),∴c=4.把(1,2)代入二次函數表達式得a+c=2,解得a=-2.解(1)由題意得,k+4=2,解得k=-2,命題點3

二次函數表達式的確定4.(2020·安徽,22,12分)在平面直角坐標系中,已知點A(1,2),B(2,3),C(2,1),直線y=x+m經過點A.拋物線y=ax2+bx+1恰好經過A,B,C三點中的兩點.(1)判斷點B是否在直線y=x+m上,并說明理由;(2)求a,b的值;(3)平移拋物線y=ax2+bx+1,使其頂點仍在直線y=x+m上,求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大值.命題點3二次函數表達式的確定解

(1)點B在直線y=x+m上,理由如下:將A(1,2)代入y=x+m得2=1+m,解得m=1,∴直線解析式為y=x+1,將B(2,3)代入y=x+1,式子成立,∴點B在直線y=x+m上.(2)∵拋物線y=ax2+bx+1與直線AB都經過(0,1)點,且B,C兩點的橫坐標相同,∴拋物線只能經過A,C兩點,將A,C兩點坐標代入y=ax2+bx+1解(1)點B在直線y=x+m上,理由如下:(3)設平移后所得拋物線的對應表達式為y=-(x-h)2+k,∵頂點在直線y=x+1上,∴k=h+1.(3)設平移后所得拋物線的對應表達式為考點梳理整合考點梳理整合K考點清單考點一

二次函數的概念及表達式(低頻考點)

定義:一般地,形如y=ax2+bx+c

(a,b,c為常數,a≠0)的函數叫做二次函數.

K考點清單考點一二次函數的概念及表達式(低頻考點)二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)圖象

(a>0)

(a<0)開口方向開口向上開口向下考點二

二次函數圖象及其性質(高頻考點)

1.二次函數圖象及其性質(10年6考)二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)圖象安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質2.二次函數圖象與系數的關系

字母字母的符號圖象的特征aa>0開口向上

a<0開口向下

bb=0對稱軸為y軸

ab>0(b與a同號)對稱軸在y軸左

側

ab<0(b與a異號)對稱軸在y軸右

側

cc=0經過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(頂點)b2-4ac>0與x軸有兩個交點b2-4ac<0與x軸沒有交點2.二次函數圖象與系數的關系字母字母的符號圖象的特征aa>考點三

二次函數表達式的確定(高頻考點)

1.三種表達式的適用條件及求法確定二次函數表達式通常利用一般式求解.對不同的已知條件,應靈活設出二次函數表達式的形式進行求解.考點三二次函數表達式的確定(高頻考點)2.表達式三種形式的適用條件(1)設一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).若已知條件是圖象上三個點的坐標,則設一般式y=ax2+bx+c(a≠0),將已知條件代入,求出a,b,c的值.(2)設交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標,則設交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),將第三點的坐標或其他已知條件代入,求出待定系數a,最后將關系式化為一般式.(3)設頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0).若已知二次函數的頂點坐標或對稱軸方程與最大值或最小值,則設頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0),將已知條件代入,求出待定系數a,最后將關系式化為一般式.2.表達式三種形式的適用條件3.用待定系數法求二次函數表達式的步驟(1)設二次函數的表達式;(2)根據已知條件,得到關于待定系數的方程組;(3)解方程組,求出待定系數的值,從而寫出函數的表達式.4.三種表達式之間的關系3.用待定系數法求二次函數表達式的步驟考點四

二次函數的平移(低頻考點)

由于拋物線的開口方向與開口大小均由二次項系數a確定,所以兩個二次函數如果a相等,那么其中一個圖象可以由另一個圖象平移得到.y=a(x-h)2+k移動方向(m>0)平移后的解析式簡記向左平移m個單位長度y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m個單位長度y=a(x-h-m)2+k右減向上平移m個單位長度y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m個單位長度y=a(x-h)2+k-m下減考點四二次函數的平移(低頻考點)y=a(x-h)2+k移考點五

二次函數與一元二次方程(低頻考點)

二次函數與一元二次方程的轉化根的判別式的情況實數根的情況二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),當y=0時,得一元二次方程ax2+bx+c=0b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點(x1,0),(x2,0).x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩個不相等的實數根b2-4ac=0b2-4ac<0拋物線與x軸沒有交點,即方程ax2+bx+c=0沒有實數根考點五二次函數與一元二次方程(低頻考點)二次函數與一元考法互動研析考法互動研析考法1二次函數的圖象例1(2020·四川遂寧)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸為直線x=-1,下列結論不正確的是(

)A.b2>4acB.abc>0C.a-c<0D.am2+bm≥a-b(m為任意實數)考法1二次函數的圖象答案

C解析

由圖象可得a>0,c>0,Δ=b2-4ac>0,b2>4ac,故A選項不合題意,∵-=-1,∴b=2a>0,∴abc>0,故B選項不合題意;當x=-1時,y<0,∴a-b+c<0,∴-a+c<0,即a-c>0,故C選項符合題意;當x=m時,y=am2+bm+c(m為任意實數),當x=-1時,y有最小值為a-b+c,∴am2+bm+c≥a-b+c,∴am2+bm≥a-b,故D選項不合題意.答案C方法總結

二次函數的圖象是一條拋物線,一般來說,確定其頂點、對稱軸、開口方向后,就可以畫出拋物線的大致形狀.畫拋物線常用的方法是五點作圖法,即作出頂點和關于對稱軸對稱的另外四個點,可以大致作出拋物線的草圖.方法總結二次函數的圖象是一條拋物線,一般來說,確定其頂點、對應練1(2020·江蘇南京)下列關于二次函數y=-(x-m)2+m2+1(m為常數)的結論:①該函數圖象與函數y=-x2的圖象形狀相同;②該函數的圖象一定經過點(0,1);③當x>0時,y隨x的增大而減小;④該函數圖象的頂點在函數y=x2+1的圖象上.其中所有正確結論的序號是_____________.

對應練1(2020·江蘇南京)下列關于二次函數y=-(x-m答案①②④解析

①∵二次函數y=-(x-m)2+m+1(m為常數)與函數y=-x2的二次項系數相同,∴該函數的圖象與函數y=-x2的圖象形狀相同,故結論①正確;②∵在函數y=-(x-m)2+m2+1中,令x=0,則y=-m2+m2+1=1,∴該函數的圖象一定經過點(0,1),故結論②正確;③∵y=-(x-m)2+m2+1,∴拋物線開口向下,對稱軸為直線x=m,當x>m時,y隨x的增大而減小,故結論③錯誤;④∵拋物線開口向下,當x=m時,函數y有最大值m2+1,∴該函數的圖象的頂點在函數y=x2+1的圖象上.故結論④正確,故答案為①②④.答案①②④對應練2(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是拋物線y=ax2-2ax上的點,下列命題正確的是(

)A.若|x1-1|>|x2-1|,則y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,則y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,則y1=y2D.若y1=y2,則x1=x2對應練2(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2答案

C解析

根據題意畫出大致圖象:當a>0時,x=1為對稱軸,|x-1|表示為x到1的距離,由圖象可知拋物線上任意兩點到x=1的距離相同時,對應的y值也相同,當拋物線上的點到x=1的距離越大時,對應的y值也越大,由此可知A,C正確.當a<0時,x=1為對稱軸,|x-1|表示為x到1的距離,由圖象可知拋物線上任意兩點到x=1的距離相同時,對應的y值也相同,當拋物線上的點到x=1的距離越大時,對應的y值也越小,由此可知B,C正確.綜上所述只有C正確.故選C.答案C考法2二次函數的性質例2(2020·天津)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0,c>1)經過點(2,0),其對稱軸是直線x=.有下列結論:①abc>0;②關于x的方程ax2+bx+c=a有兩個不相等的實數根;③a<-.其中,正確結論的個數是(

)A.0 B.1 C.2 D.3考法2二次函數的性質答案

C解析

∵已知拋物線y=ax2+bx+c經過點(2,0),對稱軸是直線x=,∴拋物線經過點(-1,0).當x=-1時,0=a-b+c,∴c=-2a;當x=2時,0=4a+2b+c,∴a+b=0,∴ab<0,∵c>1,∴abc<0,故①是錯誤的;∵a≠0,∴b2-4ac=a2-4a(-2a)=a2+8a2=9a2>0,∴關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根,故②正確;∵c>1,c=-2a>1,∴a<-,故③正確.故選C.答案C方法總結

拋物線在直角坐標系中的位置由a,b,c的符號確定.拋物線開口方向決定了a的符號,當開口向上時,a>0,當開口向下時,a<0;圖象與y軸的交點決定c的符號,交于y軸正半軸c>0,交于y軸負半軸c<0,交于原點c=0;拋物線的對稱軸和a的符號共同決定b的符號,拋物線的對稱軸在y軸左側,-<0,拋物線的對稱軸在y軸右側,->0;當x=1時,二次函數的函數值為y=a+b+c;函數的圖象在x軸上方時,y>0,函數的圖象在x軸下方時,y<0;當b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個不同的交點,當b2-4ac=0時,拋物線與x軸只有1個交點,當b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.方法總結拋物線在直角坐標系中的位置由a,b,c的符號確定.對應練3(2020·四川成都)關于二次函數y=x2+2x-8,下列說法正確的是(

)A.圖象的對稱軸在y軸的右側

B.圖象與y軸的交點坐標為(0,8)C.圖象與x軸的交點坐標為(-2,0)和(4,0)

D.y的最小值為-9答案

D解析

對稱軸為直線x=-1在y軸的左側,故A選項錯誤;圖象與y軸的交點為(0,-8),故選項B錯誤;x2+2x-8=0的解為x1=2,x2=-4,∴y=x2+2x-8與x軸交點坐標為(2,0)和(-4,0),故選項C錯誤;配方可得y=(x+1)2-9,所以y的最小值為-9.對應練3(2020·四川成都)關于二次函數y=x2+2x-8對應練4(2020·浙江杭州)設函數y=a(x-h)2+k(a,h,k是實數,a≠0),當x=1時,y=1;當x=8時,y=8,(

)A.若h=4,則a<0 B.若h=5,則a>0C.若h=6,則a<0 D.若h=7,則a>0對應練4(2020·浙江杭州)設函數y=a(x-h)2+k(答案

C答案C考法3二次函數表達式的確定例3(2020·貴州安順)2020年體育中考,增設了考生進入考點需進行體溫檢測的要求.防疫部門為了解學生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況,調查了一所學校某天上午考生進入考點的累計人數y(單位:人)與時間x(單位:分鐘)的變化情況,數據如下表:(表中9~15表示9<x≤15)時間x/分鐘01234567899~15人數y/人0170320450560650720770800810810(1)根據這15分鐘內考生進入考點的累計人數與時間的變化規律,利用初中所學函數知識求出y與x之間的函數關系式;(2)如果考生一進考點就開始測量體溫,體溫檢測點有2個,每個檢測點每分鐘檢測20人,考生排隊測量體溫,求排隊人數最多時有多少人?全部考生都完成體溫檢測需要多少時間?(3)在(2)的條件下,如果要在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測,從一開始就應該至少增加幾個檢測點?考法3二次函數表達式的確定時間x/分鐘01234567899解

(1)由表格中數據的變化趨勢可知,①當0≤x≤9時,y是x的二次函數,∵當x=0時,y=0,∴二次函數的表達式可設為y=ax2+bx,∴二次函數表達式為y=-10x2+180x;②當9<x≤15時,y=810.∴y與x之間的函數關系式為:解(1)由表格中數據的變化趨勢可知,(2)設第x分鐘時的排隊人數為w人,由題意可得:①當0≤x≤9時,w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490;∴當x=7時,w的最大值=490;②當9<x≤15時,w=810-40x,w隨x的增大而減小,∴210≤w<450,∴排隊人數最多時有490人.要全部考生都完成體溫檢測,根據題意得810-40x=0,解得x=20.25.答:排隊人數最多時有490人,全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘.(2)設第x分鐘時的排隊人數為w人,方法總結

求二次函數的表達式,通常分三種情況:①一般式:y=ax2+bx+c,常用于已知圖象上的三個點的坐標或者三對對應值求表達式;②頂點式:y=a(x-h)2+k,常用于已知拋物線的頂點求表達式;③交點式:y=a(x-x1)(x-x2),常用于已知拋物線與x軸兩個交點的橫坐標時使用.方法總結求二次函數的表達式,通常分三種情況:①一般式:y=對應練5(2020·上海)在平面直角坐標系xOy中,直線y=-x+5與x軸,y軸分別交于點A,B(如圖).拋物線y=ax2+bx(a≠0)經過點A.(1)求線段AB的長;(2)如果拋物線y=ax2+bx經過線段AB上的另一點C,且BC=,求這條拋物線的表達式;(3)如果拋物線y=ax2+bx的頂點D位于△AOB內,求a的取值范圍.對應練5(2020·上海)安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質對應練6(2020·山東泰安)若一次函數y=-3x-3的圖象與x軸,y軸分別交于A,C,兩點,點B的坐標為(3,0),二次函數y=ax2+bx+c的圖象過A,B,C三點,如圖(1).(1)求二次函數的表達式;(2)如圖(1),過點C作CD∥x軸交拋物線于點D,點E在拋物線上(y軸左側),若BC恰好平分∠DBE.求直線BE的表達式;(3)如圖(2),若點P在拋物線上(點P在y軸右側),連接AP交BC于點F,連接BP,S△BFP=mS△BAF.①當m=時,求點P的坐標;②求m的最大值.圖(1)

圖(2)

對應練6(2020·山東泰安)若一次函數y=-3x-3的圖象解

(1)令-3x-3=0,得x=-1.令x=0時,y=-3.∴A(-1,0),C(0,-3).∵拋物線過點C(0,-3),∴c=-3.則y=ax2+bx-3,將A(-1,0),B(3,0)代入∴二次函數表達式為y=x2-2x-3.解(1)令-3x-3=0,得x=-1.令x=0時,y=-3(2)設BE交OC于點M.∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°.∵CD∥AB,∴∠BCD=45°.∴∠OCB=∠BCD.∵BC平分∠DBE,∴∠EBC=∠DBC.又∵BC=BC,∴△MBC≌△DBC(ASA).∴CM=CD.由條件得D(2,-3).∴CD=CM=2.∴OM=3-2=1.∴M(0,-1).∵B(3,0),∴直線BE的表達式為y=x-1.圖(1)(2)設BE交OC于點M.圖(1)過點P作PN∥AB交BC于點N,則△ABF∽△PNF.∴AB=2NP.∵AB=4,∴NP=2.∵直線BC的表達式為y=x-3,設P(t,t2-2t-3),∴t2-2t-3=xN-3.∴xN=t2-2t.∴PN=t-(t2-2t),則t-(t2-2t)=2,解得t1=2,t2=1.∴點P(2,-3)或P(1,-4).圖(2)過點P作PN∥AB交BC于點N,則△ABF∽△PNF.∴AB考法4二次函數存在性問題例4(2020·山東棗莊)如圖,拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.M為線段OB上的一個動點,過點M作PM⊥x軸,交拋物線于點P,交BC于點Q.(1)求拋物線的表達式;(2)過點P作PN⊥BC,垂足為點N.設M點的坐標為M(m,0),請用含m的代數式表示線段PN的長,并求出當m為何值時PN有最大值,最大值是多少?(3)試探究點M在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點Q的坐標;若不存在,請說明理由.考法4二次函數存在性問題安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質(2)由拋物線的表達式知,點C(0,4),由點B,C的坐標得,直線BC的表達式為y=-x+4.(2)由拋物線的表達式知,點C(0,4),安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質②當AC=AQ時,則AQ=AC=5.在Rt△AMQ中,由勾股定理得[m-(-3)]2+(-m+4)2=25,解得m=1或0(舍去0),故點Q(1,3);②當AC=AQ時,則AQ=AC=5.對應練7(2020·四川宜賓)如圖,已知二次函數圖象的頂點在原點,且點(2,1)在二次函數的圖象上,過點F(0,1)作x軸的平行線交二次函數的圖象于M,N兩點(1)求二次函數的表達式;(2)P為平面內一點,當△PMN時等邊三角形時,求點P的坐標;(3)在二次函數的圖象上是否存在一點E,使得以點E為圓心的圓過點F和點N,且與直線y=-1相切,若存在,求出點E的坐標,并求☉E的半徑;若不存在,說明理由.對應練7(2020·四川宜賓)(1)求二次函數的表達式;安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質對應練8(2020·新疆建設兵團)如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(1,3),將OA繞點O逆時針旋轉90°后得到OB,點B恰好在拋物線上,OB與拋物線的對稱軸交于點C.(1)求拋物線的解析式;(2)P是線段AC上一動點,且不與點A,C重合,過點P作平行于x軸的直線,與△OAB的邊分別交于M,N兩點,將△AMN以直線MN為對稱軸翻折,得到△A'MN.設點P的縱坐標為m.①當△A'MN在△OAB內部時,求m的取值范圍;②是否存在點P,使S△A'MN=S△OA'B,若存在,求出滿足m的值;若不存在,請說明理由.對應練8(2020·新疆建設兵團)(1)求拋物線的解析式;解

(1)如圖,作AD⊥y軸于點D,作BE⊥x軸于點E,∴∠ADO=∠BEO=90°.∵將OA繞點O順時針旋轉90°后得到OB,∴OA=OB,∠AOB=90°.∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE,∴△AOD≌△BOE(AAS),∴AD=BE,OD=OE.∵頂點A為(1,3),∴AD=BE=1,OD=OE=3,∴點B的坐標為(3,-1).設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+3(a≠0),把點B代入,得a(3-1)2+3=-1,∴a=-1,∴拋物線的解析式為y=-(x-1)2+3,即y=-x2+2x+2.解(1)如圖,作AD⊥y軸于點D,作BE⊥x軸于點E,(2)①∵P是線段AC上一動點,∴m<3,∵△A'MN在△OAB內部,當點A'恰好與點C重合時,如圖.(2)①∵P是線段AC上一動點,∴m<3,②當點M在線段OA上,點N在AB上時,如圖.∵點P在線段AC上,則點P為(1,m),∵點A'與點A關于MN對稱,則點A'的坐標為(1,2m-3),設直線OA為y=ax,直線AB為y=kx+b,分別把點A,點B代入計算,得直線OA為y=3x;直線AB為y=-2x+5.又y=m,②當點M在線段OA上,點N在AB上時,如圖.安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質安徽省2021年中考數學一輪考點復習課件-第12講-二次函數的圖象及性質考法5二次函數的平移例5(2020·浙江寧波)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=ax2+4x-3圖象的頂點是A,與x軸交于B,C兩點,與y軸交于點D.點B的