第二十四講

Ⅰ.堿金屬的雙線結構

堿金屬原子有一個價電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場的作用。所以，價電子的哈密頓量為

北京大學量子力學ppt課件-第24講1

如選力學量完全集（運動常數(shù)的完全集）則

北京大學量子力學ppt課件-第24講2

由于

由于3

可表為

4

因為吸引勢（它為負值，

）

所以即。因此，根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證

因為吸引勢（它為負值，5

能級

這即觀測到納光譜的雙線結構。Ⅱ.兩個自旋為的粒子的自旋波函數(shù)，，糾纏態(tài)

(1)表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)

設：兩粒子的自旋分別為，顯然，如能級6選

表象，則可能的態(tài)為

(2)表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)

如令選表象，則可能的態(tài)為7

令

是的本征態(tài)

北京大學量子力學ppt課件-第24講8這時有四個態(tài)

9北京大學量子力學ppt課件-第24講10

，被稱為糾纏態(tài)。

糾纏態(tài)：體系的態(tài)矢量僅能表示為它的各部分態(tài)矢量乘積的疊加態(tài)

當兩自旋為的全同粒子，其相互作用對空間坐標和自旋變量是變量可分離時，則特解為

11

但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律，使體系波函數(shù)不可任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問題。

(3)Bell基若取顯然我們得但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界12它們也都是糾纏態(tài)北京大學量子力學ppt課件-第24講13北京大學量子力學ppt課件-第24講14§7.5Einstein-Podolsky-Rosen佯謬和Bell不等式

(1)Einstein-Podolsky-Rosen佯謬

愛因斯坦，帕多爾斯基和羅森認為：兩個粒子構成一個量子力學態(tài)。對一個粒子的測量將直接得知另一個粒子的狀態(tài)。例：

該態(tài)在動量表象中的表示為§7.5Einstein-Podolsky-Rosen佯謬15

愛因斯坦等認為，當測量第一個粒子的坐標，測得值為，則第二個粒子的坐標必為；測量第二個粒子的動量，測得值為，那第一個粒子的動量必為。所以，

16

都是物理實在（即都有確定值），且坐標和動量可同時具有確定值。這與兩個自旋為

的粒子處于自旋的態(tài)是等價的。考慮兩個自旋為的粒子處于自旋單態(tài)。在初始時，它們在一起，而后分開很大的距離，但仍處于自旋單態(tài)。一旦測量第一個粒子的自旋，那直接允許我們?nèi)ネ茢嗟诙€粒子的自旋，它始終與第一個粒子的自旋相反。。

都是物理實在（即都有確定值），且17

量子力學否認這些假設，認為即使兩個粒子離開很遠，對第一個粒子的測量將影響第二個粒子的狀態(tài)；另外，粒子本身并沒有這種實在性（即粒子的所有物理量都有確定值）。

（2）BellInqualities兩個自旋為的粒子系統(tǒng)處于自旋單態(tài)量子力學否認這些假設，認為即使兩個粒18

這是一個糾纏態(tài)。顯然，在這個態(tài)中，測量第一個粒子（在

方向）得到某一結果，則知道第二個粒子隨之測量（在

方向）的結果。現(xiàn)考慮對它們的自旋沿不同方向進行相繼測量。第一個粒子沿

方向測量，第二個粒子沿

方向測量。它們的測量結果都為

。

19

如，方向相同，則平均值為。如

，

方向相不同，這一相關聯(lián)測量的平均值為證：不失一般性，假設在方向，在平面

如，方向相同，則平均值為。20

令

與

軸間的夾角為

，則

21

A.對兩個處于自旋單態(tài)的粒子，在三個不同方向測量它們的自旋。根據(jù)定域隱變量理論，它們的關聯(lián)測量平均值的關系為北京大學量子力學ppt課件-第24講22這稱為Bell不等式。論證：令關聯(lián)量

在定域隱變量理論中，對第一個粒子的測量將不影響第二個粒子的狀態(tài)。每個粒子同時有確定的自旋分量。因此，在這理論中，沿三個方向的自旋分量都有確定值。當然，重復的測量所得值可以是不同的。

這稱為Bell不等式。23

的平均值為于是有的平均值為24所以，而對這一關聯(lián)測量平均值的關系，量子力學的預言為北京大學量子力學ppt課件-第24講25

若在測量時，取

三個方向共面，且

若在測量時，取三26

于是實驗結果與量子力學的預言符合。。于是。27

B.對兩個處于自旋單態(tài)的粒子，在四個不同方向測量它們的自旋。

根據(jù)定域隱變量理論，它們的關聯(lián)測量平均值的關系為這為另一個Bell不等式。B.對兩個處于自旋單態(tài)的粒子，在四個不28

論證：根據(jù)定域隱變量理論，對任一物理量的測量都有確定值，所以

由定域隱變量理論的假設，我們知當

時，則

當

時，則

。

論證：根據(jù)定域隱變量理論，對任一物理量29

因此，。于是

的平均值的絕對值滿足不等式而根據(jù)量子力學，的平均值的絕對值應為因此，。于是30顯然，當

共面，并取這時北京大學量子力學ppt課件-第24講31這與定域隱變量理論所推得的不等式是不相符合的。若取

共面，則有

這與定域隱變量理論所推得的不等式是不相符32

同樣，實驗的測量結果是與量子力學的預言符合。實驗證實了定域隱變量理論是不正確的。Einstein-Podolsky-Rosen的假設是不成立的

同樣，實驗的測量結果是與量子力學的預33§7.6全同粒子交換不變性－波函數(shù)具有確定的交換對稱性

各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱為電子，質子，介子，，等等。實驗證明每一種粒子，都是完全相同的（如兩個氫原子中的質子或電子都一樣）。經(jīng)典物理中，我們能按軌道來區(qū)分同一類粒子。但從量子力學的觀點來看，情況就發(fā)生變化。它的描述不能用軌道概念，而只能用波函數(shù)或根§7.6全同粒子交換不變性－波函數(shù)具有確定的34據(jù)一些力學量完全集來描述粒子所處狀態(tài)。即個粒子處于態(tài)；個粒子處于態(tài)或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不可能告訴你，那一個粒子處于態(tài)，那一個粒子處于態(tài)。如是可能的二種態(tài)，對它進行測量是分不清兩者的差別。它們每一個都不能用于對二個全同粒子的

據(jù)一些力學量完全集來描述粒子所處狀態(tài)。即35描述。全同粒子交換是不可觀測的。因此，有必要對全同粒子的描述進行討論。

（1）交換不變性設：氦原子的兩個質子固定不動，那么描述氦原子中的兩個電子組成的體系，其哈密頓量為

若為粒子交換算符，將，

描述。全同粒子交換是不可觀測的。因此，有必36則若

是交換不變，即則

則37

所以，是運動常數(shù)（若是交換不變）或如此看，由于體系具有交換不變性，所以時經(jīng)交換后演化到，應等于演化到再進行交換，即

由于的任意性，所以

所以，是運動常數(shù)（若是交換不變）38

由于任意

即

是運動常數(shù)。若是的本征態(tài)，則

39

因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，稱為對稱態(tài)；另一種是交換下改號，稱為反對稱態(tài)北京大學量子力學ppt課件-第24講40顯然

由于它是運動常數(shù)。因此，一開始，體系處于置換對稱態(tài)時，那以后任何時候都處于這態(tài)下。與其他運動常數(shù)有極大不同之點是：體系要么處于對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子本身所固有的特性。而不是人們能夠人為地

顯然41給一個初條件，讓體系處于一個沒有確定的置換對稱性的狀態(tài)下。所以，下面一些結論是重要的：

A.

由于是一運動常數(shù)，因此一開始體系處于某種交換對稱態(tài)下，則以后任何時刻都處于這態(tài)下；

B.與其他運動常數(shù)根本不同之處在于，體系要么處對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子固有的屬性，而不是人為地給－初條件所能改變的；

給一個初條件，讓體系處于一個沒有確定的置42

C.實驗表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體系。當兩粒子交換，波函數(shù)反號，即處于反對稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對稱態(tài)。

在統(tǒng)計物理學中，具有自旋為的半整數(shù)的粒子作為單元構成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計（稱為Fermion）。具有自旋為的整數(shù)倍的粒子作為單元構成的體系，遵守Bose-Einstain統(tǒng)計（稱為Boson）。

C.實驗表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體43(2)全同粒子的波函數(shù)結構，泡利原理：

忽略粒子間的相互作用，則全同粒子的哈氏量為單粒子哈氏量之和顯然，對任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同(2)全同粒子的波函數(shù)結構，泡利原理：44

單粒子的能量本征方程為它的一個特解為

單粒子的能量本征方程為45

但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正的態(tài)函數(shù)必須滿足一定的交換對稱性。

A．N個費米子的波函數(shù)，泡利原理由于費米子的波函數(shù)交換一對費米子是反對稱的，因此，它可以如此來構成：取作為標準排列。是經(jīng)過某一置換

來實現(xiàn)但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正46

由于對換（transposition）一對粒子，波函數(shù)改號。而對某一置換（Permutation）它相應的對換數(shù)的奇偶性是一定的。因此，置換后的這一項的符號與標準排列項的符號差別取決于該置換的對換數(shù)的奇偶性。如

由于對換（transposition）一對粒子，47

所以有5個對換，其符號為負號。

對3個粒子：某一置換即僅有一個對換，所以為負號。設一個置換對應的對換數(shù)為，則真正的波函數(shù)應為

所以有5個對換，其符號為負號。48這即行列式定義

北京大學量子力學ppt課件-第24講49

例如：對N＝2

可以看出，任意兩個粒子變換（即兩列交換）改號。若與態(tài)是完全相同的態(tài)，那。這表明，對兩個全同的費米子不能處于這種態(tài)中，于是我們有下面的原理：北京大學量子力學ppt課件-第24講50

泡利原理（pauliexclusionprinciple）：在客觀實際的體系中，沒有兩個或多個全同費米子可處于一個完全相同的單態(tài)中（或：全同費米子體系的態(tài)中，具有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）。對于個粒子，有項（有個置換），而每一項，費米子處于這個單態(tài)上的分布都是不同的，因此各項之間是正交的。泡利原理（pauliexclusionprin51

所以，對于個無相互作用的全同費米子體系的歸一化反對稱波函數(shù)為

B．個全同玻色子的波函