習題課級數的收斂、求和與展開機動目錄上頁下頁返回結束三、冪級數和函數的求法四、函數的冪級數和付式級數展開法一、數項級數的審斂法二、求冪級數收斂域的方法第十二章習題課級數的收斂、求和與展開機動目錄上頁1求和展開(在收斂域內進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數；級數展開.為傅立葉級數.為傅氏系數)時,時為數項級數;時為冪級數;機動目錄上頁下頁返回結束求和展開(在收斂域內進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求2一、數項級數的審斂法1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結束一、數項級數的審斂法1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散33.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:若且則交錯級數收斂,概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發散,稱條件收斂機動目錄上頁下頁返回結束3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:4例1.

若級數均收斂,且證明級數收斂.證:

則由題設收斂收斂收斂練習題:

P2571;2;3;4;5機動目錄上頁下頁返回結束例1.若級數均收斂,且證明級數收斂.證:則由題設收5解答提示:P257

題2.判別下列級數的斂散性:提示:(1)據比較判別法,原級數發散.因調和級數發散,機動目錄上頁下頁返回結束解答提示:P257題2.判別下列級數的斂散性:提示:(6利用比值判別法,可知原級數發散.用比值法,可判斷級數因n充分大時∴原級數發散.用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數比較可知時收斂;時發散.再由比較法可知原級數收斂.時發散.發散,收斂,機動目錄上頁下頁返回結束利用比值判別法,可知原級數發散.用比值法,可判斷級數因7P257題3.設正項級數和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級數的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數當n>N時機動目錄上頁下頁返回結束P257題3.設正項級數和也收斂.提示:因存在N8P257題4.設級數收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數卻不一定收斂.問級數提示:對正項級數,由比較判別法可知級數收斂,收斂,級數發散.例如,取機動目錄上頁下頁返回結束P257題4.設級數收斂,且是否也收斂？說明理由.但9P257題5.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1時,絕對收斂;0<p≤1時,條件收斂;p≤0時,發散.(2)因各項取絕對值后所得強級數

原級數絕對收斂.故機動目錄上頁下頁返回結束P257題5.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:提示:10因單調遞減,且但所以原級數僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數收斂;機動目錄上頁下頁返回結束因單調遞減,且但所以原級數僅條件收斂.由Leibniz判11因所以原級數絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束因所以原級數絕對收斂.機動目錄上頁下頁12二、求冪級數收斂域的方法?標準形式冪級數:先求收斂半徑R,再討論?非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P257題7.求下列級數的斂散區間:練習:機動目錄上頁下頁返回結束二、求冪級數收斂域的方法?標準形式冪級數:先求收斂半徑13解:當因此級數在端點發散,時,時原級數收斂.故收斂區間為機動目錄上頁下頁返回結束解:當因此級數在端點發散,時,時原級數收斂.故收斂區間為14解:因故收斂區間為級數收斂;一般項不趨于0,級數發散;機動目錄上頁下頁返回結束解:因故收斂區間為級數收斂;一般項不趨于0,級數發散;機15例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數極限不存在∵原級數=∴其收斂半徑注意:機動目錄上頁下頁返回結束例2.解:分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數極限不存在∵原16?求部分和式極限三、冪級數和函數的求法求和?映射變換法逐項求導或求積分對和式積分或求導難直接求和:直接變換,間接求和:轉化成冪級數求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區間內）?數項級數求和機動目錄上頁下頁返回結束?求部分和式極限三、冪級數和函數的求法求和?映射變17例3.

求冪級數法1易求出級數的收斂域為機動目錄上頁下頁返回結束例3.求冪級數法1易求出級數的收斂域為機動目錄18法2先求出收斂區間則設和函數為機動目錄上頁下頁返回結束法2先求出收斂區間則設和函數為機動目錄上頁19練習:解:(1)顯然x=0時上式也正確,故和函數為而在x≠0P258題8.求下列冪級數的和函數：級數發散,機動目錄上頁下頁返回結束練習:解:(1)顯然x=0時上式也正確,故和函數20(4)機動目錄上頁下頁返回結束(4)機動目錄上頁下頁返回結束21顯然x=0時,和為0;根據和函數的連續性,有x=1時,級數也收斂.即得機動目錄上頁下頁返回結束顯然x=0時,和為0;根據和函數的連續性,22練習:解:原式=的和.P258題9(2).求級數機動目錄上頁下頁返回結束練習:解:原式=的和.P258題9(2).求級數機23四、函數的冪級數和付式級數展開法?直接展開法?間接展開法練習:1.將函數展開成

x的冪級數.—利用已知展式的函數及冪級數性質—利用泰勒公式解:機動目錄上頁下頁返回結束1.函數的冪級數展開法四、函數的冪級數和付式級數展開法?直接展開法?間接展開法242.設,將f(x)展開成x的冪級數,的和.(01考研)解:于是并求級數機動目錄上頁下頁返回結束2.設,將f(x)展開成x的冪級數,的和.(25機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束262.函數的付式級數展開法系數公式及計算技巧;收斂定理;延拓方法練習:上的表達式為將其展為傅氏級數.P258題11.設f(x)是周期為2的函數,它在解答提示2.函數的付式級數展開法系數公式及計算技巧;收斂定理;延拓27機動目錄上頁下頁返回結束思考:如何利用本題結果求級數根據付式級數收斂定理,當x=0時,有提示:機動目錄上頁下頁返