第三章一維隨機變量及其分布

概率論與數理統計

概率論與數理統計第三章一維隨機變量及其分布ppt課件隨機變量的分布函數2連續型隨機變量3離散型隨機變量1第三章一維隨機變量及其分布隨機變量的分布函數2連續型隨機變量3離散型隨機變量1第三章第一節離散型隨機變量12隨機變量的概念離散型隨機變量的分布律3常用的離散型分布12隨機變量的概念離散型隨機變量的分布律3常用的離散型分布一、隨機變量的概念定義1對于給定的隨機試驗，是其樣本空間，對中每一樣本點，有且只有一個實數與之對應，則稱此定義在上的實值函數X為隨機變量（Randomvariable）．通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫的英文字母表示其取值．一、隨機變量的概念定義1對于給定的隨機試驗，是其樣本空一、隨機變量的概念投擲一枚均勻硬幣，觀察硬幣的著地面，此時觀察對象是硬幣的面，因而是定性的，我們可引進如下的量化指標（記之為X）：設X為一次投擲中出現正面的次數，即一、隨機變量的概念投擲一枚均勻硬幣，觀察硬幣的著地面，此時觀二、離散型隨機變量的分布律定義2設X為隨機變量，可能取的值是有限個或可數多個數值，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量，它的分布稱為離散型分布．二、離散型隨機變量的分布律定義2設X為隨機變量，可能取的二、離散型隨機變量的分布律設X為一個離散型隨機變量，它可能取的值為，事件的概率為，那么，可以用下列表格來表達X取值的規律：其中N．這個表格所表示的函數稱為離散型隨機變量X的分布律（或稱為概率分布）．二、離散型隨機變量的分布律設X為一個離散型隨機變量，它可能取二、離散型隨機變量的分布律例1在裝有m個紅球，n個白球的袋子中，隨機取一球，觀察取出球的顏色，此時觀察對象為球的顏色，因而是定性的，我們可引進如下的量化指標（記之為X）：二、離散型隨機變量的分布律例1在裝有m個紅球，n個白球的二、離散型隨機變量的分布律則有于是X的分布律為二、離散型隨機變量的分布律則有二、離散型隨機變量的分布律例2設隨機變量的分布律為：求(1)(2)Y=2X+3的分布律。二、離散型隨機變量的分布律例2設隨機變量的分布律為：二、離散型隨機變量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、離散型隨機變量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、離散型隨機變量的分布律由上表可定出的分布律為：(2)的分布律為：二、離散型隨機變量的分布律由上表可定出三、常用的離散型分布1.（0－1）分布如果X的分布律為其中，則稱X的分布為（0－１）分布或兩點分布（Two-pointdistribution）．三、常用的離散型分布1.（0－1）分布三、常用的離散型分布2.二項分布在n重伯努利試驗中，如果以隨機變量X表示n次試驗中事件A發生的次數，則X可能取的值為，且由二項概率得到x取k值的概率因此，X的分布律為稱這個離散型分布為參數為n,p的二項分布(Binomialdistribution)，記作，這里三、常用的離散型分布2.二項分布三、常用的離散型分布例3一個袋子中裝有4個球，3個白球，1個黑球。從中任意取出1球，觀察其顏色，放回袋中。共取出三次。設為取出黑球的次數，求隨機變量的分布律及至多取出一次黑球的概率．解每次取出黑球的概率為1/4，可認為做3次重復獨立的試驗，每次試驗中事件發生的概率為1/4，因此取出黑球的次數X服從參數為3,1/4的二項分布，其分布律為三、常用的離散型分布例3一個袋子中裝有4個球，3個白球，三、常用的離散型分布即為至多取出一次黑球的概率為三、常用的離散型分布即為三、常用的離散型分布3.幾何分布設隨機變量X的分布律為P則稱X服從參數為p的幾何分布(Geometricdistribution)，記作三、常用的離散型分布3.幾何分布三、常用的離散型分布幾何分布具有下列無記憶性：因此代入即得結論。三、常用的離散型分布幾何分布具有下列無記憶性：三、常用的離散型分布4.超幾何分布設N，M，k為正整數，且,,若隨機變量X的分布律為則稱X服從參數為n，M，N的超幾何分布(Hype-geometricdistribution)，記作三、常用的離散型分布4.超幾何分布三、常用的離散型分布一個袋子裝有N個球，其中有N1個白球，N2個黑球（N=N1+N2）,從中不放回地抽取n個球，設X表示取得白球的數目，則X的分布為超幾何分布。即三、常用的離散型分布一個袋子裝有N個球，其中有N1個白球，N三、常用的離散型分布5.泊松分布設隨機變量X的分布律為

其中，則稱隨機變量X服從參數為的泊松分布(Poissondistribution)，記作三、常用的離散型分布5.泊松分布三、常用的離散型分布例4設每分鐘來到某醫院就診的急診病人數X服從泊松分布，且已知在一分鐘內沒有急診病人與恰有一個急診病人的概率相同，求在一分鐘內至少有兩個急診病人前來就診的概率．三、常用的離散型分布例4設每分鐘來到某醫院就診的急診病人三、常用的離散型分布解設X服從參數為的泊松分布，由題意知即可解得因此，至少有兩個急診病人前來就診的概率為三、常用的離散型分布解設X服從參數為的泊松分布，由三、常用的離散型分布定理1（泊松定理）三、常用的離散型分布定理1（泊松定理）三、常用的離散型分布例5設某人進行射擊，每次射擊的命中率為0.005，獨立射擊1000次，試求1000次射擊中集中次數不超過10次的概率．解設X為1000次射擊中的擊中次數，對每次射擊而言，相當于做一次伯努利試驗，1000次就是做1000重伯努利試驗，因此，而這1000次射擊中擊中次數不超過10次的概率為三、常用的離散型分布例5設某人進行射擊，每次射擊的命中率第二節隨機變量的分布函數12分布函數的概念分布函數的性質12分布函數的概念分布函數的性質一、分布函數的概念定義3設X是一個隨機變量，稱定義域為，函數值在區間[0,1]上的實值函數

為隨機變量X的分布函數（Distributionfunction）．一、分布函數的概念定義3設X是一個隨機變量，稱定義域為一、分布函數的概念例6

設一口袋有六個球，其中一個白球、3個紅球、2個黑球．從中任取一球，記隨機變量

為取得球上的顏色（白色、紅色、黑色一次記為1、2、3），求X的分布函數．解

X可能取的值為1,2,3，由古典概型的計算公式，可知

取這些值的概率依次為

．一、分布函數的概念例6設一口袋有六個球，其中一個白球、3一、分布函數的概念F(x)點表達式為一、分布函數的概念F(x)點表達式為一、分布函數的概念按分布函數的定義可知F(x)x-112301圖4-1一、分布函數的概念按分布函數的定義可知F(x)x-11230二、分布函數的性質1.2.對于任意二點x1，x2，當x,<x2時，有即任一分布函數都是單調不減的3.及4.即任一分布函數是一個右連續函數二、分布函數的性質1.第三節連續型隨機變量12連續型隨機變量概念連續型隨機變量函數的分布3常見的連續型分布12連續型隨機變量概念連續型隨機變量函數的分布3常見的連續型一、連續型隨機變量概念定義4如果隨機變量X的分布函數可表示為其中，則稱X為連續型隨機變量，為X的概率密度函數(Probabilitydensityfunction),簡稱密度函數(Densityfunction)，并稱X的分布為連續型分布．一、連續型隨機變量概念定義4如果隨機變量X的分布函數可表一、連續型隨機變量概念密度函數f(x)具有下列性質：(1)(2)(3)一、連續型隨機變量概念密度函數f(x)具有下列性質：一、連續型隨機變量概念例7假設X是連續型隨機變量，其密度函數為求：⑴c的值；⑵解(1)(2)一、連續型隨機變量概念例7假設X是連續型隨機變量，其密度二、連續型隨機變量函數的分布定理2設連續型隨機變量X的密度函數為，是一個單調函數，且具有一階連續導數，是的反函數，則的密度函數為二、連續型隨機變量函數的分布定理2設連續型隨機變量X的密二、連續型隨機變量函數的分布例8設隨機變量X～

，求隨機變量的密度函數。解：隨機變量X的密度函數為～二、連續型隨機變量函數的分布例8設隨機變量X～二、連續型隨機變量函數的分布例9設隨機變量X的密度函數為求：Y=2X+3的密度函數。二、連續型隨機變量函數的分布例9設隨機變量X的密度函數為二、連續型隨機變量函數的分布解：由分布函數的定義得Y的分布函數為：==由此可得Y的密度函數=二、連續型隨機變量函數的分布解：由分布函數的定義得Y的分布函三、常見的連續型分布1.均勻分布設隨機變量X的密度函數為則稱X服從區間(A,B)上的均勻分(Uniformdistribution)，記為三、常見的連續型分布1.均勻分布三、常見的連續型分布均勻分布的分布函數為三、常見的連續型分布均勻分布的分布函數為三、常見的連續型分布例10試用均勻分布來求解下題：某城際輕軌從上午7時起，每隔15分鐘來一趟車，一乘客在9:00到9:30之間隨機到達該車站，⑴該乘客等候不到5分鐘乘上車的概率；⑵該乘客等候時間超過10分鐘才乘上車的概率．三、常見的連續型分布例10試用均勻分布來求解下題：三、常見的連續型分布解設該乘客于上午9時過X分鐘到達該車站，由于乘客在9:00到9:30之間隨機到達，因此X服從區間(0，30)上的均勻分布，即X的密度函數為⑴該乘客等候時間不到5分鐘，必須且只需在9:10到9:15之間或在9:25到9:30之間到達車站，因此所求概率為⑵同⑴的分析方法類似可得到所求概率為三、常見的連續型分布解設該乘客于上午9時過X分鐘到達該車三、常見的連續型分布2.指數分布如果X的密度函數為

為常數稱隨機變量X服從參數為的指數分布(Exponentiallydistribution)，記為服從指數分布的隨機變量X的分布函數為三、常見的連續型分布2.指數分布三、常見的連續型分布定理3非負連續型隨機變量X服從指數分布的充分必要條件是：對任意正實數r和s，有三、常見的連續型分布定理3非負連續型隨機變量X服從指數分三、常見的連續型分布例11設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間（單位:min）服從參數為0.2的指數分布，如果有人剛好在你前面走進銀行并開始辦理業務（假定銀行只有一個窗口提供服務），試求你將等待⑴超過5分鐘的概率，⑵5分鐘到10分鐘之間的概率．三、常見的連續型分布例11設顧客在某銀行的窗口等待服務的三、常見的連續型分布解令X表示銀行中正在辦理業務的人所用的時間，由題意可知，X服從參數為0.2的指數分布，因此X的密度函數為所求概率分別為：三、常見的連續型分布解令X表示銀行中正在辦理業務的人所用三、常見的連續型分布3.正態分布定義5若隨機變量X的密度函數為則稱X服從參數為的正態分布(Normaldistribution)，或高斯分布（Ga