第27章.相似——專訓2：巧作平行線構造相似三角形(刪除明顯有問題的段落)1.在三角形ABC中，設邊BC上的兩個三等分點為E、F，AC的中點為D，BD分別交AE、AF于點P、Q。求證：BP：PQ：QD=5:3:2。解：連接DF。因為E、F是邊BC上的兩個三等分點，所以BE=EF=FC。又因為D是AC的中點，所以AD=CD。因此，DF是△ACE的中位線，DF∥AE，且DF=1/2AE。所以DF∥PE。因此，△BEP∽△BFD，BE/PE=BP/FD=BD/BF。因為BF=2BE，所以FD=2PE，BD=2BP，因此BP=PD。因為DF∥AE，所以△APQ∽△FDQ，PQ/QD=AP/DF。設PE=a，則DF=2a，AP=3a。因此，PQ:QD=AP:DF=3:2，BP:PQ:QD=5:3:2。2.在三角形ABC中，AC=BC，F為底邊AB上一點，BF:AF=3:2，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E，求BE/EC的值。解：過點C作CG∥AB交AE的延長線于點G。則△GCD∽△AFD，CG/CD=AF/FD。因為AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，所以AG=BG，因此CG=2CD。又因為F為AB的中點，所以AF=BF，因此FD=BD/5。因此，CG/CD=5/2，AF/FD=5/3，所以BE/EC=CG/CD×FD/AF=5/6。3.在三角形ABC中，AD為BC邊上中線，過C任作一條直線交AD于E，交AB于F，求證：AE:ED=2AF:FB。解：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，所以AD=BC/2。因此，AE=AD-DE=BC/2-DE。因為CE∥AB，所以△ACF∽△CED，因此，AF/CE=AC/CD。因為AD=BC/2，所以CD=BC-AD=BC/2。因此，AF/CE=2AC/BC。因為AC=BC/2，所以AF/CE=2/3。因此，AE/ED=AF/FB=2/1。4.在三角形ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點P。求證：BP×BD=CP×CE。解：連接AP。因為AD=AE，所以AP是AC的中線，因此，AP=PC。因為AB>AC，所以BD>CE。因此，BP>CP。因為△BPD∽△CPE，所以BP/CP=BD/CE，因此，BP×BD=CP×CE。5.在三角形ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AE=1/4AB，連接EM并延長交BC的延長線于點D。求證：BC=2CD。解：作平行于AE的直線DF，交BC于點F。因為AE=1/4AB，所以DF=1/4BF。因為M是AC的中點，所以EM∥BC。因此，△BEM∽△DFC，BE/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BE/DF=AB/FC。因為DF=1/4BF，所以BE/BF=4/3。因為△BEM∽△DFC，所以BM/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BM/DF=AB/FC。因為AE=1/4AB，所以AB=4AE。因此，BM/DF=4AE/FC=AE/FC，因此，BM=AE×DF/