自動控制第八章第1頁，課件共47頁，創作于2023年2月第八章線性離散控制系統的分析與綜合8.1離散控制系統概述8.2連續信號的采樣與復現8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統的數學模型8.5離散控制系統穩定性分析8.6離散控制系統的穩態誤差分析8.7離散控制系統的動態性能分析8.8數字控制器的模擬化設計8.9數字控制器離散化設計第2頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.1離散控制系統概述一、離散控制系統特點：從系統結構上看，含有采樣開關；從信號傳遞上看，系統中某一處或數處信號是脈沖序列或數字序列傳遞。二、離散控制系統的二種典型結構1、采樣控制系統e﹡(t)是e(t)連續誤差信號經過采樣開關后，獲得的一系列離散的誤差信號。e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經控制器對信號進行處理，在經過保持器（或濾波器）恢復為連續信號，對受控對象實施控制。采樣系統中既有離散信號，又有連續信號。采樣開關接通時刻，系統處于閉環工作狀態。而在采樣開關斷開時刻，系統處于開環工作狀態。

第3頁，課件共47頁，創作于2023年2月2、數字控制系統

計算機作為系統的控制器，其輸入和輸出只能是二進制編碼的數字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續信號，故需要A/D,D/A實現兩種信號的轉換。三、離散控制系統的分析方法

建立在Z變換的數學基礎上，采用脈沖傳遞函數，并利用類似連讀控制系統的分析方法進行分析、研究。第4頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.2連續信號的采樣與復現一、連續信號的采樣、數學描述1、采樣過程把一連續信號轉換成一串脈沖序列或數碼信號的過程，稱為

采樣過程。例如下圖中，采樣器可用一個周期性閉合的采樣開關表示，設采樣開關每隔T秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續信號，則經采樣開關后，f*(t)為定寬度等于τ的調幅脈沖序列，在采樣瞬時nt(n=0.1.2.3…）時出現。由于采樣開關閉合時間τ很小，τ<<T，分析可認為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號，等于輸入于采樣器的連續信號在采樣時刻的數值。第5頁，課件共47頁，創作于2023年2月2、數學描述為了對采樣過程和采樣信號進行數學描述，往往把它看成是一個幅值調制的過程，如下圖所示。

幅值調制的過程，數學上表示為兩個信號函數相乘，即f*(t)可以認為是輸入連續信號f(t)調制在理想脈沖δT（t）上的結果。第6頁，課件共47頁，創作于2023年2月

δ（t-nT）

則采樣脈沖序列的數學表達式：

二、信號的復現及裝置

1、信號的復現

使采樣信號f*(t)大體上回復為原連續信號f(t)的變化規律，稱信號的復現。問題提出：怎樣才能使采樣信號f*(t)大體上回復原連續信號f(t)的變化規律呢？

分析方法：從連續信號和其采樣后的離散信號的頻譜特性看：=+++……+=第7頁，課件共47頁，創作于2023年2月

(1)、對于一個有限頻譜的連續信號進行采樣，當采樣頻率時，采樣信號才可能無失真的復現原來的連續信號。(香農采樣定理)(2)、系統中有一低通濾波器。

觀察上圖，信號的復現需滿足兩個條件：第8頁，課件共47頁，創作于2023年2月2、信號的復現裝置

復現裝置有0階、1階、2階保持器。常用的為0階保持器。(1)0階保持器：使采樣信號在每一個采樣瞬時的采樣值一直保持到下一個采樣瞬時，這樣，離散信號變成了一連續的階梯信號。第9頁，課件共47頁，創作于2023年2月(2)0階保持器的數學模型：

分析：0階保持器輸入一單位理想脈沖，其輸出應為幅值為1，寬度為一個采樣周期的脈沖。其輸出的脈沖可分解為二個單位階躍函數之和。用式子表示：第10頁，課件共47頁，創作于2023年2月0階保持器的傳遞函數：0階保持器的頻率特性：第11頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數學上表示：對上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復變量s表示的函數。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個復變量，稱為Z變換子；----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節指出，一個連續函數經采樣后，其采樣函數式中：第12頁，課件共47頁，創作于2023年2月

上式收斂時，被定義為采樣函數的Z變換。即注意：

1、上面三式均為采樣函數的拉氏變換式；2、是的Z變換式；3、只表征連續函數在采樣時刻上的特性，不能反映。間的信號特性。出采樣時刻之第13頁，課件共47頁，創作于2023年2月(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級數求和法。以例說明例求單位價躍函數1（t）的Z變換.解：因為或者，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

第14頁，課件共47頁，創作于2023年2月2)部分分式法方法是，先求出連續函數的拉氏變換式，并部分分式展開。

；然后逐項進行Z變換。例巳知原函數的拉氏變換式為，求其Z變換。解：對拉氏變換式用部分分式展開逐項進行Z變換(查Z變換表)有第15頁，課件共47頁，創作于2023年2月(3)Z變換的主要性質1)線性性質2)延遲定理

說明：原函數在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數上乘以z-n,算子z-n的含義可表示時域中時滯環節，把脈沖延遲n個周期。3)超前定理若則4）復數位移定理第16頁，課件共47頁，創作于2023年2月5）終值定理若，在平面上以原點為圓心的單位圓上和圓外沒有極點或（z-1）F(z)全部極點位于Z平面單位圓內。則例設的Z變換函數為求的終值。解：用終值定理第17頁，課件共47頁，創作于2023年2月二、Z反換

Z反變換是已知Z變換表達式F（Z），求離散序列f（nT）或的過程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，

②兩端乘以Z。F（Z）=

③查Z變化表。=例巳知，求其原函數。解寫成第18頁，課件共47頁，創作于2023年2月兩邊同乘z查z變換表

2、冪級數法（長除法）將表達式直接用長除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達式第19頁，課件共47頁，創作于2023年2月用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實際應用中，常常只需要計算有限的幾項就夠了，是開放形式。第20頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.4線性離散系統的數學模型一、脈沖傳遞函數的概念定義：線性定常離散系統，在零初始條件下，系統輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比。用式子為二、開環脈沖傳遞函數的求法

系統由串聯環節組成時，脈沖傳遞函數與采樣開關的位置和數目有關。1.串聯環節之間有采樣開關(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯環節間無采樣開關(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)第21頁，課件共47頁，創作于2023年2月結論:

有采樣開關斷開的線性環節串聯時，系統脈沖傳遞函數等于各環節脈沖傳遞函數的積；

無采樣開關斷開的線性環節串聯時，系統脈沖傳遞函數等于兩個連續環節傳遞函數串聯之后的Z變換。本結論可推廣到n個環節。

例：設G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分別求上述兩種連接時的脈沖傳遞數。解：(1)二環節間有采樣器G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環節間無采樣器第22頁，課件共47頁，創作于2023年2月三、閉環脈沖傳遞函數

由于采樣開關在閉環系統中可以有多種配置的可能性，故閉環離散系統脈沖傳遞函數沒有唯一的結構形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號變量求出閉環轉遞函數。

例求下圖所示系統的閉環脈沖轉遞函數解由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統的閉環傳遞函數：第23頁，課件共47頁，創作于2023年2月注意：1、典型系統的傳遞函數或輸出表達式見表8.1

2、元部件相同但采樣開關的位置或個數不同，系統的傳遞函數不同；

3、有些結構的系統只有輸出表達式但求不出閉環傳遞函數。第24頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.5離散控制系統穩定性分析S平面Z平面左半平面單位園內虛軸單位園上右半平面單位園外一、S平面與Z平面的對應(映射)關系注：

對應關系的證明見P196；第25頁，課件共47頁，創作于2023年2月二、離散控制系統閉環穩定的充分、必要條件離散控制系統閉環穩定的充分、必要條件是，系統的特征方程的根全部位于Z平面以原點為園心的單位園內。例某離散控制系統如右圖所示，采樣周期為1s，系統能否穩定工作？解：系統的開環脈沖傳遞函數為系統的閉環脈沖傳遞函數為特征方程=0特征方程根由于在Z平面的單位園外，所以該系統是不穩定。第26頁，課件共47頁，創作于2023年2月三、離散系統的穩定性判據勞斯判據。具體方法、步驟；

1、求出特征方程式，

2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到

3、對方程，用第三章勞斯判據的方法判穩。例8-12(p197)第27頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.6離散控制系統的穩態誤差分析

離散系統中誤差信號是指采樣時刻的誤差，其穩態誤差是指系統到達穩定后誤差脈沖序列。由于離散系統沒有唯一的典型結構圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數的計算公式,其穩態誤差需要針對不同形式的離散系統來求取。離散系統穩態誤差的分析、計算與連續系統的相類似，計算方法同樣有兩種。一、用Z變換的終值定理計算

若系統穩定,即全部極點位于z平面單位圖內,則可用z變換終值定理求出采樣瞬時終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計算第28頁，課件共47頁，創作于2023年2月二、誤差系數方法(只適用于給定輸入信號；與連續系統的方法相似)

其中含有的z=1重極點個數為n(相當于連續系統中的積分個數)，表征系統的無差度。n=0，稱為有差系統；n=1，稱為一階無差系統；n=2，稱為二階無差系統。

分析：

稱為位置誤差系數。且有設單位反饋系統，開環傳遞函數為（1）階躍輸入時

由終值定理有N=0,

N=0,

N=0,

N=0,

n=0n>1第29頁，課件共47頁，創作于2023年2月(2)斜坡輸入

，速度誤差系數當n=0時，當n=1時，有限值，當n=2時，(3)加速度輸入第30頁，課件共47頁，創作于2023年2月，稱為加速度誤差系數，且：例：(t)r(t)求下列系統單位階躍、斜波、拋物線信號共同作用下的穩態誤差。其中采樣周期扛0.2s。第31頁，課件共47頁，創作于2023年2月解開環傳遞函數開環脈沖傳函特征方程W變換誤差系數穩態誤差第32頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.7離散控制系統的動態性能分析

一、閉環極點（根的位置）與時間響應的關系

在連續系統里，如果已知閉環極點在S平面上的位置，可知系統對應的瞬態響應的情況。

在離散系統中，若己知閉環脈沖傳函的極點在Z平面上的位置與系統響應之間關系，這對系統設計、分析會有重要意義。

分析：設閉環脈沖傳遞函數為)當r(t)=1(t),離散系統輸出的z變換C(z)=Φ(z)R(z)=第33頁，課件共47頁，創作于2023年2月展成部分分式為了方便討論，假設無重極點A=式中反Z變換，輸出的脈沖序列：第34頁，課件共47頁，創作于2023年2月根據Pj在單位圓的位置，可以確定C*(t)的動態響應形式(1)單極點位于Z平面實軸上①Pj>1；閉環極點位于Z平面單位圓外的正實軸上：脈沖響應單調發散②Pj=1；單位圓上：動態響應為等幅（常值）脈沖序列。③0<Pj<1；單位圓正實軸上：單調遞減。④-1<Pj<0；單位圓內負實軸：正負交替遞減脈沖序列。⑤Pj=-1；正負交替的等幅脈沖序列⑥Pj<

-1；正負交替發散脈沖序列用圖表示第35頁，課件共47頁，創作于2023年2月(2)極點（共軛復數極點）位于Z平面復平面上①|P|>1,單位園外：振蕩發散序列、|P|越大，發散越快；

②|P|=1，單位園上：等幅振蕩脈沖序列；

③|P|<1，單位園內：收斂振蕩，|P|越小，收斂越快。用圖表示設系統具有一對復數極點則單位階躍信號輸入下，系統輸出可表示為分析：第36頁，課件共47頁，創作于2023年2月離散控制系統的動態性能計算復雜。P203頁提供式(8-39)、(8-39)作為離散控制系統的動態性能估算公式。二、離散控制系統的動態性能估算結論：想要獲得優良的動態性能，閉環極點最好位于Z平面上單位園內的右半平面的正實軸上，且盡可能靠近原點的地方。第37頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.8數字控制器的模擬化設計

一、設計原理

先把數字調節器的脈沖傳遞函數看成為模擬調節器的傳遞函數，把離散系統視為一連續系統，再按連續系統的校正方法(例如第六章)求出校正網絡；最后對求出的模擬調節器的傳遞函數進行數字化。二、模擬調節器的傳遞函數進行數字化常用方法：

1、直接差分法(后向差分法)

令傳遞函數中的s等于：例：己知如下傳函，求對應的數字化式解：用直接(后向)差分法第38頁，課件共47頁，創作于2023年2月三、數字控制器的模擬化設計方法的步驟：

1、求出帶零階保持器的被控對象傳函，依靜態性能指標作未校正前對數頻率特性；

2、根據動態性能要求，用第六章開環對數頻率特性的博德圖法，求出校正網絡的傳遞函數；

3、選擇采樣頻率；

4、校正網絡傳遞函數的離散化處理；

5、求出差分方程，計算機程序實現。2、雙線性變換法令傳遞函數中的s等于：第39頁，課件共47頁，創作于2023年2月四、例題(P207；例題8-17)

某計算機控制系統如圖所示。設計數字控制器，使系統的開環截止頻率大于或等于15(1/s)，相位裕度大于或等于45度，開環增益(控制精度)大于或等于30。解:(1)未校正前的開環頻率特性根據靜態性能要求，取開環放大系數為30；把零階保持器近似為一個慣性環節，設取采樣周期為0.01秒，于是未校正前系統的開環傳遞函數為校正前系統的開環頻率特性如圖中實線所示第40頁，課件共47頁，創作于2023年2月由圖可知，開環截止頻率約等于10(1/s)，相位裕度約等于14度，相位裕度也可以通過下式計算：(2)根據第六章，采用串聯超前校正。串聯校正傳函取為

采用串聯校正后，系統開環頻率特性如圖中虛線所示。由圖有開環截止頻率等于19(1/s)，相位裕度等于60度，開環增益(控制精度)大于或等于30。滿足性能要求值。(3)選取采樣頻率采樣頻率值己選為0.01秒。第41頁，課件共47頁，創作于2023年2月(4)模似校正裝置的離散化

采用雙線性變換的離散化方法，令傳遞函數中s等于于是，數字控制器的脈沖傳遞函數為(5)化數字控制器的脈沖傳遞函數為差分方程第42頁，課件共47頁，創作于2023年2月代入各時間常數的值，有

為了避免運算過程中出現溢出，因此將控制量中誤差項的傳遞系數縮小20倍，其增益的補償將由系統中的功放實現。于是數字調節器的輸入輸出表達式為根據上式編制計算機控制算法程序。第43頁，課件共47頁，創作于2023年2月8.9數字控制器的離散化設計

數字控制器的離散化設計方法有Z平