《圓》章節知識點總結

一、圓的概念圓是平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，其中定點稱為圓心，定長稱為半徑。以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”。確定圓的基本條件有兩個：圓心和半徑。兩個半徑相等的圓叫做等圓，它們能夠完全重合。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧。在同圓或等圓中，能過重合的兩條弧叫做等弧。不在同一直線上的三個點確定一個圓且唯一一個。三角形的三個頂點確定一個圓，經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。三角形的內切圓是三角形內面積最大的圓，圓心是三個角的角平分線的交點，它到三條邊的距離相等。內心到三頂點的連線平分這三個角。圓的集合概念有三種：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合。軌跡形式的概念有五種：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；到直線的距離相等的點的軌跡是平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；到兩條平行線距離相等的點的軌跡是平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關系點與圓的位置關系是由這個點到圓心的距離d與半徑r的大小關系決定的。如果d<r，則點在圓內；如果d=r，則點在圓上；如果d>r，則點在圓外。解題時需要注意點和圓的位置不確定性。圓具有對稱性，即圓上任意一點關于圓心的對稱點在圓上。ircleisasymmetricalshapewithcountlessaxesofsymmetry.Everystraightlinepassingthroughthecenterofthecircleisitsaxisofsymmetry.Acircleisacentralsymmetryfigurewithitscenterasthesymmetrycenter.Whenacirclerotatesanyanglearounditscenter,itcancoincidewiththeoriginalfigure.Thispropertyiscalledtherotationalsymmetryofacircle.Acircleisbothanaxissymmetryfigureandacentralsymmetryfigure.Thepositionrelationshipbetweenalineandacirclecanbedividedintothreetypes:intersection,tangent,andseparation.IftheradiusofcircleOisrandthedistancefromcenterOtolinelisd,then:1.Ifthelineisseparatefromthecircle,thend>r,andtherearenointersectionpoints.2.Ifthelineistangenttothecircle,thend=r,andthereisoneintersectionpoint.3.Ifthelineintersectswiththecircle,thend<r,andtherearetwointersectionpoints.WhentwocircleshaveradiiofRandr,andthedistancebetweentheircentersisd,then:1.Ifthecirclesareexternallyseparated(Figure1),therearenointersectionpoints,andd>R+r.2.Ifthecirclesareexternallytangent(Figure2),thereisoneintersectionpoint,andd=R+r.3.Ifthecirclesintersect(Figure3),therearetwointersectionpoints,andR-r<d<R+r.4.Ifthecirclesareinternallytangent(Figure4),thereisoneintersectionpoint,andd=R-r.5.Ifthecirclesareinternallyseparated(Figure5),therearenointersectionpoints,andd<R-r.Theperpendicularbisectortheoremisveryimportant.Itstatesthatthediameterperpendiculartoachordbisectsthechordandthearcitspans.Thetheoremhasfourcorollaries:1.Thediameterperpendiculartoachord(notthediameteritself)isalsoperpendiculartothechordandbisectsthetwoarcsitspans.2.Theperpendicularbisectorofachordpassesthroughthecenterofthecircleandbisectsthetwoarcsitspans.3.Thediameterthatbisectsoneofthearcsalsobisectsthechordandisperpendiculartoit,anditalsobisectstheotherarc.4.IfABisadiameter,ABisperpendiculartoCD,CE=DE,andarcBC=arcBD,thenarcAC=arcAD.Whensolvingproblemsrelatedtochordsinacircle,itisoftennecessarytouse"thediameterperpendiculartothechord"asanauxiliaryline.Acirclewithitscenterasthevertexofanangleiscalledacentralangle.Thedegreeofacentralangleisequaltothedegreeofthearcitspans.Thecentralangletheoremstatesthatinthesameorequalcircles,equalcentralanglescorrespondtoequalchords,equalarcs,andequalchorddistances.Thistheoremisalsocalledthe1-to-3theorem,whichmeansthatifoneofthefourconclusionsisknowntobeequal,theotherthreecanbededuced.Thatis,if∠AOB=∠DOE,thenAB=DE,OC=OF,andarcBA=arcBD.Ananglewithitsvertexonacircleandbothsidesintersectingthecircleiscalledacircumferentialangle.Thecircumferentialangletheoremstatesthatthecircumferentialanglecorrespondingtothesamearcisequal,regardlessofthecentralangleitcorrespondsto.八、圓內接四邊形一個多邊形如果所有頂點都在同一個圓上，那么這個多邊形就是圓的內接多邊形，這個圓就是多邊形的外接圓。圓的內接四邊形定理指出，圓內接四邊形的對角互補。另外，圓內接四邊形的任何一個外角都等于他的內對角。九、切線的性質與判定定理當一條直線和圓有唯一公共點（即直線和圓相切）時，這條直線就是圓的切線，這個唯一的公共點就是切點。切線的判定定理指出，過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。切線的性質定理指出，圓的切線垂直于過切點的半徑。此外，還有兩個推論：過圓心垂直于切線的直線必過切點，過切點垂直于切線的直線必過圓心。這三個定理及推論也稱為二推一定理。在解圓的切線問題時，連接圓心與切點間的線段是常用的輔助線，而作過切點的半徑則是常需要補充的線。切線長定理也是與圓的切線有關的重要定理。圓的切線長是指從圓外一點引出的與圓相切的線段長度。根據切線長定理，從圓外一點引出的兩條切線相等，且圓心和圓外這一點的連線平分兩條切線的夾角。圓冪定理是指在圓內兩條相交的弦上，交點所分的兩條線段的乘積相等。如果弦與直徑垂直相交，則弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。從圓外一點引出的切線和割線的長度比可以根據切割線定理來計算。如果引出的是兩條割線，則根據割線定理，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長度的積相等。當兩個圓相切時，連心線必過切點，且垂直平分兩圓的公共弦。根據兩圓公共弦定理，