一元積分學一、不定積分

原函數：不定積分：性質：內容提要

可積條件：若f(x)在區間I上連續，則f(x)在I上可積不定積分的計算方法：第一換元法：第一換元法中函數u=φ(x)應根據被積函數的特點來選取：

第二換元法：常用的第二換元法：注意還原1.三角代換：2.倒代換:被積函數的分母中含x.3.無理函數積分:注:借助三角形還原

分部積分法：U(x)和v(x)的選取方法：1.若被積函數含反函數(反三角函數,對數函數),則取反函數為u(x)2.若被積函數是多項式與三角函數或指數函數之積,則取多項式為u(x)3.若被積函數是三角函數(sinx,cosx)與指數函數之積,則取誰為u(x)均可,分部兩次

有理函數的積分：有理函數=多項式+四種簡單部分分式之和1.根據分母多項式因式分解的結果確定簡單部分分式的待定形式注:2.用待定系數法、特殊值法及綜合法確定待定系數3.不必死套公式，可根據被積函數的特點選擇適當方法，如：對分子加一項再減一項進行化簡、變量替換等

三角有理函數的積分（萬能代換）：注:不必死套公式，可根據被積函數的特點，利用三角公式進行恒等變形，然后再進行變量替換、分部積分等二、定積分

性質（7條）

中值定理：

兩類積分之間的聯系

廣義積分：分部積分：換元積分：三、定積分的應用

微元法設量U與區間[a,b]有關，且對區間[a,b]具有可加性。將[a,b]分為若干個小區間，對應于子區間[x,x+dx]的部分量為：

ΔUf(x)dx則U可用定積分表示。

用微元法解決實際問題的步驟：1.根據問題的具體情況，建立坐標系，選取積分變量x，并確定x的變化區間[a,b]，即為積分區間。2.任取小區間[x,x+dx][a,b],估計相應這個小區間的部分量U的近似值dU,即UdU=f(x)dx3.則U=

幾何上的應用abx0yX－型區域1.面積Y－型區域cdx0y參數方程情形abx0y極坐標方程情形x0y2.體積繞x軸旋轉體的體積abx0yabx0y繞y軸旋轉體的體積平行截面面積已知的立體的體積3.曲線的弧長

物理上的應用1.變力所做的功2.水壓力3.引力4.質量(應用微元法解決問題)

平均值要求1.熟練掌握不定積分和定積分的概念及性質(包括中值定理)2.熟練掌握不定積分和定積分的計算(換元法和分部積分法)3.熟練掌握N－L公式4.熟練掌握變上限積分的導數5.熟練掌握定積分的應用(微元法幾何、物理)6.掌握廣義積分的定義(收斂、發散）客觀題一、填空2.由曲線y=lnx與兩直線y=e+1－x及y=0圍城的平面圖形的面積S＝————，二、選擇填空11.廣義積分（）是收斂的一般計算題幾個注意事項：1.利用對稱性；2.開方時要加絕對值，并去絕對值；3.分段函數的積分計算；4.變上限函數積分的計算；5.原函數的概念；6.判別積分是否是廣義積分。證明題及綜合練習題將定積分與介值定理、中值定理、泰勒公式綜合運用，證明等式或不等式定積分的應用一、幾何應用（面積、體積、弧長）1.在第一象限內求曲線一點,使該點的切線與所給曲線及兩坐標軸所圍圖形面積最小，并求此最小面積常常與曲線、法線、最大值和最小值結合，形成綜合問題注２.設D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0,x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞ox軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積3.過點P(1,0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉一周所形成旋轉體的體積。10.兩個半徑為R的圓柱中心軸垂直相交，求這兩個圓柱公共部分的體積V.二、物理應用（變力作功、水壓力、引力）注意直接用微元法將其轉化為定積分。1.引入參數,建立坐標系;2.確定積分變量和積分區間3.建立微元;4.計算定積分.1.一個半球形容器，其半徑為R，容器中盛滿了水，現將容器中的水全部從容器口抽出，需作功多少？解：取x為積分變量，任取[x，x+dx]［０,R］2.一密度為2.5,底半徑為Rm,高為Hm的圓柱體沉入水中,上底與水面平齊,求把它撈出水面所做的功,其中為水的密度.3.用錘子將一鐵釘擊入木板,設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時,將鐵釘擊入木板1cm.如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等,問錘擊第二次時,鐵釘又擊入多少?4.有一等腰梯形閘門，其上底長10m，下底長6m，高20m，該閘門所在的面與水面垂直，且上底與水面平齊，求該閘門一側所受到的壓力。說明：可將梯形換為：圓、橢圓、三角形、矩形等其他圖形，也可將薄板放入水下離水面a的地方，還可斜放。5.一底為8m，高為6m的等腰三角薄板鉛直沉入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3m，求薄板每面所受的壓力。6.設有一長為、線密度為ρ的均勻直棒，在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質量為m