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第6章多元函數微積分第1節多元函數的概念第2節多元函數的偏導數和全微分第3節多元復合函數、隱函數的求導法則第4節多元函數微分法的應用第5節二重積分的概念第6節二重積分的計算第7節二重積分的應用§61多元商數的概念二元函數的定義二元函數的幾何意義二元函數的極限二元函數的連續性小結思考與練習■二元函數的定義定義1設有三個變量,y和,如果當變量,y在某一給定的二元有序實數勸內任取一對值x,y時,變量按照一定的規律總有唯一確實的數值和們對應,則變量叫做變量,y的二元函數,記傳=f(x,y)其中x,y為自變量,z為因變量(x,y)變化的范圍稱為函數的定義域。設點xn,y)∈D,則,z=f(x,y)稱為對應(xn,y)的函數值,函數值的總體稱為函數的值域。類似地,可定義三元函數及其他多元函數。例1正圓錐體體積和它的底半徑,高h之間具有關系Trh這里,ν隨著r,h的變化而變化,當,h在一定范圍(r>0,h>0內取定一隊值時,ν的值就隨之確定,即當定二元有序數組r,h)時,1便有確定的值與之對應這時底半徑r和高h是相互獨立的,它們淘不存在依賴關系,體積是半徑和高h的二元函數例2一個有火爐的房間內在同一時刻的溫度分布在選定空間直角坐標系后,房間內每一點x,y,x)處都有唯一的溫度u與之對應,這時溫度是x,y,z的一個三元函數,故可表為=u(x,y,z)若考慮房間不同時刻的溫度分布,則溫度就是x,y,,t的一個四元函數=l(x,y,,1)類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數■二元函數的幾何意義般地講,二元函數的幾何意義表示空間直角坐標系中的個曲面。設二元函數=f(x,y)(x,y)∈D在定義域D內每取一點p(x,y),根據函數的關系式就得到相應的值,空間中的M(x,y,f(x,y)的坐標滿足關系式=f(x,y),當點p(x,y)跑遍定義域D)時,相應的點M(x,y,f(x,y)就在空間描繪出一個曲面,這個曲面就是二函數=f(x,y)的圖形。(2)二元函數z=f(x2y)的圖形—一空間點集{(xry,f(x,y)(x,y)eD通常是一張曲面(函數曲面)f(x,y)二元函數的極限設函數f(x,y)在開區域(或閉區域)D內有定義,P(x0,y)是D的內點或邊界點,如于任意給定的正數E,總存在正數δ,使得對于適合不等式0<|P=y(x-x0)2+(y-y0)2<8的一切點p(xy)∈D,都有f(x,y)-A<c成立,則稱常數為函數f(x,y)當x→>x,y→>y時的極限,記作imf(x,y)=A或f(x,y)→A(P→0,這里P=Pl小結(1)(x,y)趨于(xy)是指點p(x,y)與點(x,y舶距離√(x-xn)2+(y-y)2趨于零。這一點與一元函數相類似。(2)當(x,y)趨于(xn,y)時,函數(x,y)以A為極限,是指p(x,y)以任何方式趨于0(x,y肘時,函數都無限接近例3數(x1)=(x2+y)sn12(x2+y2≠0)求證limf(x,y)=0證明(

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