2023年7月22日第5章頻率特性法2023年7月22日5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩定判據5.5控制系統的相對穩定性5.6利用開環頻率特性分析系統的性能5.7閉環系統頻率特性2023年7月22日

控制系統的時域分析法是研究系統在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應曲線，從而利用時域指標直接評價系統的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優點。然而，工程實際中有大量的高階系統，要通過時域法求解高階系統在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統性能時，采用時域法難于確定該如何調整系統的結構或參數。2023年7月22日在工程實踐中,往往并不需要準確地計算系統響應的全部過程，而是希望避開繁復的計算，簡單、直觀地分析出系統結構、參數對系統性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統的頻率特性法。控制系統的頻率特性分析法是利用系統的頻率特性（元件或系統對不同頻率正弦輸入信號的響應特性）來分析系統性能的方法，研究的問題仍然是控制系統的穩定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經典控制理論的核心內容。2023年7月22日

頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統輸出的時域表達式，不需要求解系統的閉環特征根，具有較多的優點。如：①根據系統的開環頻率特性能揭示閉環系統的動態性能和穩態性能,得到定性和定量的結論，可以簡單迅速地判斷某些環節或者參數對系統閉環性能的影響,并提出改進系統的方法。②時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經驗公式，簡化控制系統的分析與設計。

頻率特性分析法的特點2023年7月22日③具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統的頻率特性，建立數學模型作為分析與設計系統的依據，這對難于用理論分析的方法去建立數學模型的系統尤其有利。④頻率分析法使得控制系統的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統中。本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩定判據、控制系統的相對穩定性、利用開環頻率特性分析系統閉環性能的方法。2023年7月22日5.1頻率特性的基本概念2023年7月22日5.1.1頻率響應頻率響應是時間響應的特例，是控制系統對正弦輸入信號的穩態正弦響應。即一個穩定的線性定常系統，在正弦信號的作用下，穩態時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩態輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數。下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應的概念：2023年7月22日示例：如圖所示一階RC網絡，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數為

RC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時間常數，單位為s。

2023年7月22日

在零初始條件下，當輸入信號為一正弦信號，即

ui(t)=UisintUi與分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：

Uo(s)=對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：2023年7月22日輸出與輸入相位差為：

=-arctanTω輸入信號為ui(t)=Uisint

二者均僅與輸入頻率，以及系統本身的結構與參數有關。穩態輸出與輸入幅值比為：2023年7月22日

實際上，頻率響應的概念具有普遍意義。對于穩定的線性定常系統（或元件），當輸入信號為正弦信號r（t）=sint

時，過渡過程結束后，系統的穩態輸出必為

Css（t）=Asin（ωt+），如圖所示。線性定常系統sintAsin（ωt+）tr（t）Css（t）

線性系統及頻率響應示意圖2023年7月22日5.1.2頻率特性1、基本概念

對系統的頻率響應作進一步的分析，穩態輸出與輸入的幅值比A與相位差只與系統的結構、參數及輸入正弦信號的頻率ω有關。在系統結構、參數給定的前提下，幅值比A與相位差僅是ω的函數，可以分別表示為A（ω）與（ω）。因此，頻率特性可定義為：

線性定常系統（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續變化時，系統穩態輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現的變化規律為系統的頻率特性。

頻率特性可以反映出系統對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內全面描述系統的性能。只與系統的結構、參數有關，是線性定常系統的固有特性。2023年7月22日A（ω）反映幅值比隨頻率而變化的規律，稱為幅頻特性，它描述在穩態響應不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A＞1）還是衰減（A＜1）。而（ω）反映相位差隨頻率而變化的規律，稱為相頻特性，它描述在穩態響應不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（＞0o）還是滯后（＜0o）。

系統的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強調頻率ω是一個變量。2023年7月22日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（ω）=（ω）=-arctanTωRC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2023年7月22日2、頻率特性的復數表示方法

對于線性定常系統，當輸入一個正弦信號

r（t）=Rsinωt時，則系統的穩態輸出必為Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+（ω））由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復數形式，則輸入輸出之比為可見，輸出輸入的復數比恰好表示了系統的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。2023年7月22日

若用一個復數G（jω）來表示，則有

G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej指數表示法

G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法

G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數。

當ω是一個特定的值時，可以在復平面上用一個向量去表示G（jω）。向量的長度為A(ω)，向量與正實軸之間的夾角為

(ω)，并規定逆時針方向為正，即相角超前；規定順時針方向為負，即相角滯后。2023年7月22日

另外還可以將向量分解為實數部分和虛數部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R（ω）稱為實頻特性，I（ω）稱為虛頻特性。由復變函數理論可知：2023年7月22日

以上函數都是ω的函數，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規律，使用曲線表示系統的頻率特性，具有直觀、簡便的優點，應用廣泛。

并且A(ω)與R（ω）為ω的偶函數，

(ω)與I（ω）是ω的奇函數。2023年7月22日三、頻率特性的實驗求取方法

向待求元件或系統輸入一個頻率可變的正弦信號

r（t）=Rsinωt

在0→∞的范圍內不斷改變ω的取值，并測量與每一個ω值對應的系統的穩態輸出

Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+（ω））測量并記錄相應的穩態輸出輸入幅值比與相角差。根據所得數據繪制出幅值比與相角差隨ω的變化曲線，并據此求出元件或系統的幅頻特性A(ω)與相頻特性（ω）的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。2023年7月22日5.1.3由傳遞函數求取頻率特性（重要）

實際上，由于微分方程、傳遞函數、頻率特性為描述系統各變量之間相互關系的數學表達式，都是控制系統的數學模型。和微分方程與傳遞函數之間可以相互轉換類似，系統的頻率特性也可以由已知的傳遞函數通過簡單的轉換得到，這種求取方法稱為解析法。

系統的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態分量，對應特征根；第二部分為穩態分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩定系統，系統所有的特征根的實部均為負，瞬態分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統響應正弦信號的穩態分量必為同頻率的正弦信號。

2023年7月22日輸出信號的拉氏變換為：對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統的特征根全為不相等的負實根。輸入信號為r(t)=Rsinωt設n階系統的傳遞函數為2023年7月22日css(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系數Kc和K-c由留數定理確定，可以求出css(t)=A(ω)·R·sin[ωt+(ω)]

A(ω)=|G（s）|s=jω

=|G（jω）|

(ω)=∠G（jω）

輸入信號為r(t)=Rsinωt

A(ω)是系統的輸出與輸入幅值比，為系統的幅頻特性表達式。

(ω)是系統的輸出與輸入幅值比，為系統的相頻特性表達式。系統的頻率特性為

G（jω）=G（s）|s=jω=A(ω)·ej

重要2023年7月22日線性定常系統，傳遞函數為G（s）G（jω）=G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性

可推得一個十分重要的結論：系統的頻率特性可由系統的傳遞函數G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數的復變量s=σ+jω。當σ=0時，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時的G（s）。即當傳遞函數的復變量s用jω代替時，傳遞函數轉變為頻率特性，這就是求取頻率特性的解析法。

因此，在求已知傳遞函數系統的正弦穩態響應時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。2023年7月22日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2023年7月22日頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數值，不是頻率特性。當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續變化時，則系統輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規律將反映系統的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統本身性能，取決于系統結構、參數，與外界因素無關。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關。4.頻率特性表征系統對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。2023年7月22日頻率特性的數學意義

頻率特性是描述系統固有特性的數學模型,與微分方程、傳遞函數之間可以相互轉換。

以上三種數學模型以不同的數學形式表達系統的運動本質，并從不同的角度揭示出系統的內在規律，是經典控制理論中最常用的數學模型。

微分方程（以t為變量）

傳遞函數（以s為變量）

頻率特性（以ω為變量）

控制系統數學模型之間的轉換關系2023年7月22日5.1.4常用頻率特性曲線

頻率特性是穩態輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規律。在實際應用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應的坐標系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點來判斷系統的穩定性、快速性和其它品質以便對系統進行分析與綜合。系統(或環節)的頻率響應曲線的表示方法很多,其本質都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：2023年7月22日1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標系為極坐標。奈氏圖反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規律。2.對數頻率特性曲線，包括：對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線。圖形常用名為對數坐標圖或波德圖，坐標系為半對數坐標。波德圖反映L(ω)=20lgA(ω)與

(ω)隨lgω變化的規律。3.對數幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或對數幅相圖，坐標系為對數幅相坐標。尼柯爾斯圖反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規律，主要用于求取閉環頻率特性。2023年7月22日5.2幅相頻率特性及其繪制2023年7月22日5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念

繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合。取極點為直角坐標的原點,極坐標軸為直角坐標的實軸。由于系統的頻率特性表達式為

G（jω）=A（ω）·ej

對于某一特定頻率ωi下的G（jωi）總可以用復平面上的一個向量與之對應，該向量的長度為A（ωi），與正實軸的夾角為（ωi）。2023年7月22日

由于A()和()是頻率的函數，當ω在0→∞的范圍內連續變化時，向量的幅值與相角均隨之連續變化，不同ω下的向量的端點在復平面上掃過的軌跡即為該系統的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)

極坐標圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時，常把ω作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統頻率特性的變化規律。2023年7月22日

前面已經指出，系統的幅頻特性與實頻特性是ω的偶函數，而相頻特性與虛頻特性是ω的奇函數，即G（jω）與G（-jω）互為共軛。因此，假定ω可為負數，當ω在-∞→0的范圍內連續變化時，相應的奈氏圖曲線G（jω）必然與G（-jω）對稱于實軸。ω取負數雖然沒有實際的物理意義，但是具有鮮明的數學意義，主要用于控制系統的奈氏穩定判別中。2023年7月22日

當系統或元件的傳遞函數已知時，可以采用解析的方法先求取系統的頻率特性，再求出系統幅頻特性、相頻特性或者實頻特性、虛頻特性的表達式，再逐點計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用jω代替s，求出頻率特性G（jω）2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性（ω）的表達式，也可求出實頻特性與虛頻特性，幫助判斷G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范圍內選取不同的ω，根據A(ω)與（ω）表達式計算出對應值，在坐標圖上描出對應的向量G（jω），將所有G（jω）的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。也可以用實驗的方法求取。2023年7月22日5.2.2典型環節的奈氏圖

1、比例環節用j替換s，可求得比例環節的頻率特性表達式為

G(j)=KImRe0K→0→

比例環節的幅相頻率特性傳遞函數為：G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性（ω）=0o2023年7月22日

比例環節的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關。所以當由0變到,G(j)始終為實軸上一點，說明比例環節可以完全、真實地復現任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2023年7月22日2、積分環節積分環節的傳遞函數為積分環節的頻率特性為幅頻特性為A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性為()=-90o→0→0Re

積分環節的幅相頻率特性Im2023年7月22日

積分環節的幅相頻率特性如圖所示，在0＜＜的范圍內,幅頻特性與負虛軸重合。積分環節的奈氏圖表明積分環節是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。2023年7月22日3、微分環節理想微分環節的傳遞函數為

G(s)=s頻率特性為

G(j)=j故幅頻特性為:A()=||=，與成正比。相頻特性為：

()=90o。2023年7月22日

理想微分環節的奈氏圖如圖所示，在0＜＜的范圍內,其奈氏圖與正虛軸重合。可見，理想微分環節是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。2023年7月22日4、慣性環節

根據實頻特性與虛頻特性表達式，可以判斷出實頻特性恒≥0，而虛頻特性恒≤0，由此可見慣性環節的奈氏圖必在坐標系的第四象限。2023年7月22日

當從0變到時,可以根據幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，例如可以繪出三個點，

是一個位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。若慣性環節的比例系數變為K，則幅頻特性成比例擴大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2,0),直徑為K。由慣性環節的奈氏圖可知，慣性環節為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。2023年7月22日5、一階微分環節

可見一階微分環節的實頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。當從0變到時,可以根據幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，可以繪出三個點，見表G(s)=(s+1)()=arctan()2023年7月22日

由一階微分環節的奈氏圖可知，一階微分環節具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。

一階微分環節的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統的動態性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。根據這些數據繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。2023年7月22日6、二階振蕩環節

以為參變量,計算不同頻率時的幅值和相角,其中幾個重要的特征點見表。可以判斷出虛頻特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。2023年7月22日

在極坐標上畫出由0變到時的矢量端點的軌跡,便可得到振蕩環節的幅相頻率特性,如圖所示，且1＞2。且振蕩環節與負虛軸的交點頻率為=1/T，幅值為1/(2)。

由奈氏圖可知，振蕩環節具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

2023年7月22日1.

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調減小，如圖5-12中1所對應曲線，此刻環節有低通濾波作用。當＞1時，振蕩環節有兩個相異負實數極點，若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態響應影響很小），奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環節近似于慣性環節，如圖所示。2023年7月22日2.0≤≤0.707當增大時，幅頻特性A()并不是單調減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應的頻率為諧振頻率r，所對應的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統對頻率r下的正弦信號的放大作用最強。2023年7月22日可得振蕩環節的諧振角頻率諧振峰值為

可見隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統的阻尼比越小，系統的相對穩定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環節處于等幅振蕩狀態。

由幅頻特性A()對頻率求導數,并令其等于零,可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，2023年7月22日7、延遲環節幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-單位為弧度（rad）。或者()=G(s)=e-sG(j)=e-j2023年7月22日=時，()=-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當從0連續變化至時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉，τ越大，轉動速度越大。故延遲環節的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓。即延遲環節可以不失真地復現任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環節的輸出滯后就越大。2023年7月22日在低頻區，頻率特性表達式根據泰勒公式展開為當很小時，有即在低頻區，延遲環節的頻率特性近似于慣性環節。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區基本重合。2023年7月22日

延遲環節與其他典型環節相結合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統傳遞函數是慣性環節與延遲環節相結合，傳遞函數為單位為度（°）2023年7月22日

可見隨的增大，幅頻特性A()單調減小，而相位滯后單調增加，相頻特性()從0°一直變化到負無窮大。故該系統的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉次，最后終止于原點，與實軸、虛軸分別有無數個交點。2023年7月22日5.2.3開環奈氏圖的繪制1.定義：系統的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環頻率特性Ф（jω）與開環頻率特性Gk（jω），分別對應于系統的閉環傳遞函數Ф（s）與開環傳遞函數Gk（s）。由于系統的開環傳遞函數較易獲取，并與系統的元件一一對應，在控制系統的頻率分析法中，分析與設計系統一般是基于系統的開環頻率特性。2023年7月22日

對于由多個典型環節組合而成的系統（延遲環節除外），其頻率特性應該滿足下面的規律（重要）

系統的開環頻率特性為2023年7月22日

控制系統是由典型環節組成的，則系統頻率特性的繪制與典型環節的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據復變函數的性質求出系統開環頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達式，或由分母有理化求出實頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統的開環奈氏圖。

2023年7月22日2.開環奈氏圖基本繪制規律當系統開環傳遞函數為多個典型環節組合時，其開環奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規律。可以先根據開環傳遞函數的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達式描點，在曲線的重要部分修正。2023年7月22日(1)低頻段的確定（→0）Gk（jω）的低頻段表達式為()=-v90°

根據向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達式分別為2023年7月22日可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統的型別v與開環傳遞系數K有關。1.0型系統，v=0：A(0)

=K，(0)=0o低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2.Ⅰ型系統，v=1：A(0)=∞，(0)=-90o3.Ⅱ型系統，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o2023年7月22日(2)高頻段（→∞）不失一般性，假定系統開環傳遞函數全為不相等的負實數極點與零點。m為分子多項式的階數，

n為分母多項式的階數，且一般m＜n

2023年7月22日

故A()=0,高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90，

由n-m確定特性以什么角度進入坐標原點。2023年7月22日①(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。②(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。③(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。2023年7月22日(3)奈氏圖與實軸、虛軸的交點將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2023年7月22日(4)開環零點對曲線的影響1）如果系統的開環傳遞函數沒有開環零點，則在由0增大到過程中,特性的相位單調連續減小（滯后連續增加）,特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續變化最后終于原點。2）如果系統的開環傳遞函數有開環零點，則在由0增大到過程中,特性的相位不再是連續減小。視開環零點的時間常數的數值大小不同,特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內呈增加趨勢，此時,特性曲線出現凹部。

2023年7月22日

根據以上繪制規律，可以方便地繪制系統的開環概略奈氏圖。

在０＜＜的區段，奈氏曲線的形狀與所有典型環節及其參數有關，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統的開環傳遞函數的結構與參數。2023年7月22日若該系統增加一個開環零點，開環頻率特性表達式為此系統仍為Ⅱ型系統，當→0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點基本未變。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。

由于增加了開環零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減小（即相位增加），整條曲線出現了凹凸。概略繪制極坐標圖例概略繪制極坐標圖)2)(1(5)()(++=ssssHsG2023年7月22日下圖列出了常見系統的開環傳遞函數與開環概略奈氏圖。2023年7月22日2023年7月22日5.3對數頻率特性及其繪制2023年7月22日5.3.1對數頻率特性曲線基本概念（重點）

對數頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數分度運算，使系統的分析和設計變得十分簡便。

1.伯德（Bode）圖的構成

對數幅頻特性圖的橫坐標是對

取以10為底的對數進行分度的。2023年7月22日

標注角頻率的真值,以方便讀數。每變化十倍,橫坐標1gω就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec,稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標對于ω是不均勻的，但對1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。

若橫軸上有兩點ω1與ω2，則該兩點的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。2023年7月22日0.1110100/(rad·s-1)確定Bode圖坐標系232023年7月22日對數頻率特性曲線坐標系如圖所示，在繪制函數關系時，相當于lgω為自變量。

縱坐標是對幅值分貝(dB)數進行分度，用L()=20lgA(ω)表示。對數相頻特性圖的橫坐標分度方法同對數幅頻特性，而縱坐標則對相角進行線性分度，單位為度（o）

,仍用

()表示。2023年7月22日G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

式中A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

在極坐標中繪制幅相頻率特性,要花較多時間，而在繪制對數幅頻特性時,有

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()2023年7月22日2．Bode圖法的特點（1）橫坐標按頻率取對數分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統（一般為低頻系統）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數［20Lg|GH|］后，使各因子間的乘除運算變為加減運算，在Bode圖上則變為各因子幅頻特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統設計和分析變得容易。2023年7月22日（3）可采用由直線段構成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統的設計和調試中,開環放大系數K是最常變化的參數。而K的變化不影響對數幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。81注意縱坐標是以幅值對數分貝數刻度的，是均勻的；橫坐標按頻率對數標尺刻度，但標出的是實際的值，是不均勻的。

——這種坐標系稱為半對數坐標系。在橫軸上，對應于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。為了說明對數幅頻特性的特點，引進斜率的概念，即橫坐標每變化十倍頻程（即變化）所對應的縱坐標分貝數的變化量。2023年7月22日5.3.2典型環節的伯德圖1.比例環節（K）

2023年7月22日

說明比例環節可以完全、真實地復現任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2023年7月22日2.積分環節(1/s)

402000.010.111020100.010.11

頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環節的對數幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。2023年7月22日

表明積分環節是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。積分環節積分環節的頻率特性是

其幅頻特性為

對數幅頻特性是

相頻特性是2023年7月22日3.微分環節（s）

1

微分環節的對數幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。2023年7月22日

積分環節與理想微分環節的對數幅頻特性相比較，只相差正負號，二者以軸為基準，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。可見，理想微分環節是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。微分環節微分環節的頻率特性是

其幅頻特性為

對數幅頻特性是

相頻特性是2023年7月22日4.慣性環節(1)對數幅頻特性

為簡化對數頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數幅頻特性曲線（特別是在初步設計階段）。2023年7月22日1.低頻段在T<<1(或<<1/T)的區段,可以近似地認為T0,從而有

故在頻率很低時,對數幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。2023年7月22日2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區段,可以近似地認為L()為因變量，lg為自變量，因此對數頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為T

=1/T，T稱為轉折頻率，是繪制慣性環節的對數頻率特性時的一個重要參數。2023年7月22日

同時，如需由漸近對數幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉折頻率的一個十倍頻程范圍內對漸近對數幅頻特性曲線進行修正就足夠了。2023年7月22日（2）對數相頻特性

精確相頻特性為:()=-arctan(ωT)；

對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-45°這一點斜對稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個頻率范圍內，()程滯后持續增加的趨勢，極限為-90。2023年7月22日

當慣性環節的時間常數T改變時，其轉折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數幅頻特性及對數相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。2023年7月22日97可編輯2023年7月22日5．一階微分環節（Ts＋1）

1.

低頻段

在T<<1(或<<1/T)的區段,對數幅頻特性可以近似用零分貝線表示,為低頻漸近線。2.高頻段在T>>1(或>>1/T)的區段,可以近似地認為高頻漸近線是一條斜線,斜率為20dB/dec,當頻率變化10倍頻時,L()變化20dB。轉折頻率為T=1/T。2023年7月22日

可知,一階微分環節的對數幅頻特性和相頻特性與慣性環節的相應特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環節相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉折頻率處T對應的精確值是L（T）=0+3=3dB。2023年7月22日

一階微分環節具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。

一階微分環節的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統的動態性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。2023年7月22日

6．二階振蕩環節（1）對數幅頻特性

1.低頻段T<<1(或<<1/T)時，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。0≤≤12023年7月22日2.高頻段T>>1(或>>1/T)時,并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉折頻率，也就是環節的無阻尼自然振蕩頻率n。2023年7月22日2023年7月22日

可見0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統的阻尼比越小，系統的相對穩定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環節處于等幅振蕩狀態。

2023年7月22日2023年7月22日（2）相頻特性

可知，當ω=0時，()=0；ω=1/T時，()=-90°；ω→∞時，()→-180°。與慣性環節相似，振蕩環節的對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-90°這一點斜對稱。

振蕩環節具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大。2023年7月22日8．延遲（滯后）環節（e-Ts）

()是呈指數規律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加，2023年7月22日

系統的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環頻率特性Ф（jω）與開環頻率特性Gk（jω），分別對應于系統的閉環傳遞函數Ф（s）與開環傳遞函數Gk（s）。由于系統的開環傳遞函數較易獲取，并與系統的元件一一對應，在控制系統的頻率分析法中，分析與設計系統一般是基于系統的開環頻率特性。控制系統的開環頻率特性為：

由除延遲環節之外的典型環節組成5.3.3開環伯德圖的繪制2023年7月22日1.基本規律（1）由于系統開環幅頻特性的漸近線是由各典型環節的對數幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統Bode圖時，應先將系統傳遞函數分解為典型環節乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環節的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點或疊加求取。2023年7月22日（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定Gk（jω）的低頻段表達式為()=-v90°2023年7月22日對數頻率特性的低頻漸近線表達式為可見低頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與積分環節的個數v有關。

低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時，低頻漸近線（及其延長線）上在=1時,有L(1)=20lgK。2023年7月22日（3）轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環節的個數v

及開環傳遞系K有關，而其他典型環節的影響是在各自的轉折頻率處使L()的斜率發生相應的變化。在慣性環節的轉折頻率1/T處，斜率－20dB/dec；在一階微分環節G(s)=(s+1)的轉折頻率1/處，斜率＋20dB/dec；在振蕩環節的轉折頻率1/T處，斜率－40dB/dec2023年7月22日（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關系當→時,由于n＞m，所以高頻段的近似表達式為()=-（n-m）·90°2023年7月22日對數頻率特性的高頻漸近線表達式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。說明高頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關。()=-（n-m）·90°2023年7月22日2．繪制步驟利用規律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環傳遞函數寫成標準的時間常數表達式，確定各典型環節的轉折頻率。

2．選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉折頻率。

3．確定低頻漸近線（由積分環節個數v與開環傳遞系數K決定），找到橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。

4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉折頻率,斜率根據具體環節作相應的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。2023年7月22日5．如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數幅頻特性，其方法與典型環節的修正方法相同。通常只需修正各轉折頻率處以及轉折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。

系統開環對數幅頻特性L()通過0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設計時的重要參數。2023年7月22日6．在對數相頻特性圖上，分別畫出各典型環節的對數相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統的對數相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。

7.若系統串聯有延遲環節，不影響系統的開環對數幅頻特性，只影響系統的對數相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數相頻特性曲線。例繪制開環傳遞函數為的零型系統的伯德圖。解系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為伯德圖

實際上,在熟悉了對數幅頻特性的性質后,不必先一一畫出各環節的特性,然后相加,而可以采用更簡便的方法。由上例可見,零型系統開環對數幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著ω的增加,每遇到一個交接頻率,對數幅頻特性就改變一次斜率。綜上所述,可以將繪制對數幅頻特性的步驟歸納如下:(1)將開環頻率特性分解,寫成典型環節相乘的形式;(2)求出各典型環節的交接頻率,將其從小到大排列為ω1,ω2,ω3,…并標注在ω軸上;(3)繪制低頻漸近線(ω1左邊的部分),這是一條斜率為-20νdB/dec的直線,它或它的延長線應通過(1,20lgK)點;(4)隨著ω的增加,每遇到一個典型環節的交接頻率,就按上述方法改變一次斜率;(5)必要時可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對交接頻率附近的曲線進行修正,以求得更精確的曲線。對數相頻特性可以由各個典型環節的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數φ(ω)直接計算。例

已知系統的開環傳遞函數為試繪制系統的伯德圖。解將開環傳遞函數寫成如下典型環節乘積形式:可見,此系統由一個比例環節、一個積分環節、一個慣性環節、一個一階微分環節和一個二階振蕩環節組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比ζ=0.354。在確定了各個環節的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統的伯德圖:(1)通過點(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環節的作用;(3)由于一階慣性環節的影響,從ω2=2起,漸近線斜率應減少20dB/dec,即從原來的－60dB/dec變為－80dB/dec;(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環節的作用;(5)根據相頻特性φ(ω),求出若干點的相頻特性曲線角度值,如表5-6所示,將各點光滑連接,可以繪制系統的相頻特性。開環系統的伯德圖如圖所示(虛線為漸近線)。繪制程序如下：

bode(［1030］,conv(conv(［10］,［12］),［112］))系統對數相頻特性曲線角度值伯德圖2023年7月22日0.1110100204060[-20][-40][-60]確定Bode圖坐標系2023年7月22日2812502023年7月22日(2)將各環節的轉角頻率由低到高依次標于ω軸上,如下圖所示。(3)繪制低頻漸近線。由于是I型系統,ω=1處的幅值為20lg100=40(dB)。以此點為基準繪制系統低頻部分漸近線,是一條斜率為-20dB/dec

的直線。(4)由低頻到高頻順序繪出對數幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎上,每遇到一個環節的轉折頻率,根據該環節的性質作一次斜率變化,直至最后一個環節完成為止。(5)必要時對漸近線進行修正,畫出精確的對數幅頻特性。

2023年7月22日

分析對數幅頻特性可見，系統L()由3段折線構成，而且在=10與

=100之間穿過0dB線。

曲線穿過0dB線時所對應的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以通過坐標系直接讀出，也可根據簡單的計算求出。2023年7月22日1.由低頻漸近線可求得L（1）=L（1）=20lgK=40（dB）2.由于1點與2點位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L（2）可如下求得3.同理，c可如下求取2023年7月22日5.3.4最小相位系統和非最小相位系統

“最小相位”這一概念來源于網絡理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環節,其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環節;反之,其中相角位移大于最小可能值的環節稱為非最小相位環節。1.基本概念控制系統的開環傳遞函數一般是關于s的有理真分式，系統的性質是由開環傳遞函數的零點與極點的性質決定的。根據零極點的不同，一般分為以下兩種系統2023年7月22日（1）如果系統傳遞函數在右半S平面上沒有極點和零點，則稱該系統為最小相位系統（由除延遲環節之外的典型環節組成），如（2）系統傳遞函數在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統；

2023年7月22日

顯然G1（s）屬于最小相位系統。這兩個系統幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統的慨念。2023年7月22日兩者的對數幅頻特性是相同的，而相頻特性則有1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT2023年7月22日

從傳遞函數看,這二者均有相同的儲能元件數,但是由于G2(s)的零點在右半s平面,它產生了附加的相位滯后位移,因而

G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°）,為最小相位環節；而G2(s)為非最小相位環節，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從波德圖上看,最小相位系統為具有相同幅頻特性的許多系統中其相移范圍為最小可能值的系統。2023年7月22日2、性質☆

(1)最小相位系統的對數相頻特性和對數幅頻特性是一一對應的。也就是說，對于最小相位系統，一條對數幅頻特性只有一條對數相頻特性與之對應，知道其對數幅頻特性，也就知道其對數相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統進行分析時，往往只分析其對數幅頻特性L()。2023年7月22日(2)最小相位系統的對數相頻特性和對數幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內,對數幅頻特性L()的斜率保持不變,則在這些范圍內,相位也幾乎保持不變。2023年7月22日由前面的分析可知：1）對數頻率特性的低頻漸近線為斜率為-20vdB/dec的斜線。()=-90v°，低頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與積分環節的個數v有關。2）在

→

時,由于n＞m，所以高頻漸近線為斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。()=-90（n-m）°，高頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關。2023年7月22日1.在低頻區的漸近線斜率為-20dB/dec，相位起點約為-90。

2.在頻率1=1附近，L()斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率2=2附近，微分環節的作用使L()斜率為-20dB/dec,()，相位有增大的趨勢。

3.最終L()斜率為-20dB/dec；而()相位最大滯后為-90。2023年7月22日

可以推出如下結論：若系統只包含除延遲環節之外的典型環節，并且無局部正反饋回路時，開環傳遞函數的分子、分母必無正實根，該系統必定為最小相位系統。原因為：

由于延遲環節按冪級數分解之后，其各項系數有正負，因而必定有具有正實部的零點，所以延遲環節屬于非最小相位系統。同樣，若系統有局部正反饋回路，則必有具有正實部的開環極點。2023年7月22日小結：最小相位系統的性質給出了一個重要的結論：

對于最小相位系統，可以通過實驗的方法測量并繪制出開環對數幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統，推出相應的()，寫出其開環傳遞函數。2023年7月22日5.3.5由實測波德圖求傳遞函數☆由實測開環波德圖求開環傳遞函數是由已知的開環傳遞函數求開環波德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內，給被測系統輸入不同頻率的正弦信號，測量相應輸出的穩態幅值與相位，作出對數幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統為最小相位系統，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數；3.根據對數幅頻特性曲線，由0、±20、±40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統積分環節的個數v與開環傳遞系數K

低頻漸近線的表達式為L()=20lgK-20vlg。可首先由低頻段的斜率確定v，再由低頻段上的一個具體點的坐標確定K，如可代L(1)=20lgK；2023年7月22日5.由漸近線的每個轉折點確定各典型環節的轉折頻率；并由漸近線在轉折點斜率的變化量確定串聯的各典型環節。如若在轉折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環節；若在轉折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環節G(s)=(s+1)；若在轉折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環節；二階系統的阻尼比ζ可由諧振峰值的大小查表求取2023年7月22日小結：☆1低頻段確定K、V

斜率確定積分、微分環節個數起始段（或延長線）在

=1處高度為20lgK，

L()=20lgK-20Vlga.對一型v=0{起始斜率[0]}b.對一型v=1{起始斜率[-20]}c.對二型v=2（起始斜率[-40]）2．轉折頻率對應斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。

2023年7月22日5.4奈奎斯特穩定判據2023年7月22日

系統穩定的充分必要條件是系統閉環特征根都具有負實部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統的穩定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞思-赫爾維茨穩定判據（代數判據）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統，非常困難且費時,也不便于研究系統參數、結構對穩定性的影響。特別是，如果知道了開環特性，要研究閉環系統的穩定性，還需要求出閉環特征方程，無法直接利用開環特性判斷閉環系統的穩定性。而對于一個自動控制系統，其開環數學模型易于獲取，同時它包含了閉環系統所有環節的動態結構和參數。

2023年7月22日

除勞斯判據外，分析系統穩定性的另一種常用判據為奈奎斯特（Nyquist）判據。Nyquist穩定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內容，簡稱奈氏判據。奈氏判據的主要特點有1.根據系統的開環頻率特性，來研究閉環系統穩定性，而不必求閉環特征根；2.能夠確定系統的穩定程度（相對穩定性）。3.可用于分析系統的瞬態性能，利于對系統的分析與設計；4.基于系統的開環奈氏圖，是一種圖解法。

2023年7月22日5.4.3簡化奈奎斯特穩定判據1.繪制由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)

由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)順時針包圍(-1,j0)點的圈數為N，已知系統開環右極點數為P

，則系統閉環右極點個數為Z

（不包括虛軸上的極點）：

Z=P+2N’

當Nyquist曲線G(jω)通過(-l,j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環極點，系統處于臨界穩定狀態，屬于不穩定。2023年7月22日

開環頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。反之，開環頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N’-。頻率特性曲線包圍(-1,j0)點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負實軸（-∞，-1）區間的正、負穿越來表達。2.采用穿越的概念簡化復雜曲線包圍次數的計算由0變到+

時開環頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區間一次。2023年7月22日

由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)對(-1,j0)點的總包圍次數為

N=（N’--

N’+

）利用正、負穿越情況的奈奎斯特穩定判據敘述為：

Z=P+2（N’--

N’+

）

注意奈氏曲線在(-1,j0)點以右負實軸上相位有變化不算穿越。2023年7月22日3.半次穿越

奈氏曲線始于或至于(-1,j0)點以左負實軸，稱為一個半次穿越，如圖所示。[例5.9]某系統開環傳遞函數如下，試判斷閉環系統的穩定性。由于曲線始于（-3，j0）點，故順時針包圍（-1，j0）點的次數為1/2，N’-=1/2。由于開環右極點數為P=0，故

Z=P+2（N’--0）=P+2N’-=1閉環系統有一個右極點，閉環不穩定。2023年7月22日[例5.10]經實驗測得某最小相位系統的開環奈氏圖如圖所示，判斷閉環穩定性。由圖可以看出,當由0變到+時,G(j)矢量在(-1,j0)點以左負實軸上正負穿越次數各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏穩定判據知該閉環系統是穩定的。

由于為最小相位系統，開環右極點數P=0，且為0型系統，故直接利用開環頻率特性G(j)的軌跡判斷穩定性。2023年7月22日4.型別v≥1系統開環頻率特性G(j)曲線的處理

在=0附近,幅相特性以為半徑,逆時針補畫=v·90°的圓弧，添加圓弧后相當于得到新的開環頻率特性G(j)曲線。此圓弧與實軸或虛軸的交點相當于新的起點，對應=0，原有曲線的起點對應于=0+。注意所指曲線仍為由0變到+時的開環幅相頻率特性