初等數學§93直線和平面的位置的關系36、如果我們國家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進憲法，總體上來說，法律就會更好。——馬克·吐溫37、綱紀廢棄之日，便是暴政興起之時?！ての锾?8、若是沒有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒有力量的?！屏ζ账?9、一個判例造出另一個判例，它們迅速累聚，進而變成法律?！炷岫蛩?0、人類法律，事物有規律，這是不容忽視的。——愛獻生初等數學§93直線和平面的位置的關系初等數學§93直線和平面的位置的關系36、如果我們國家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進憲法，總體上來說，法律就會更好。——馬克·吐溫37、綱紀廢棄之日，便是暴政興起之時。——威·皮物特38、若是沒有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒有力量的?！屏ζ账?9、一個判例造出另一個判例，它們迅速累聚，進而變成法律?！炷岫蛩?0、人類法律，事物有規律，這是不容忽視的?！獝郢I生§9.3直線和平面的位置關系一.直線和平面的三種位置關系3、下圖是一個長方體，則B′B所在的直線與D′D所在的直線的位置關系是，則A′A所在的直線與C′D′所在的直線所成的角是度；若∠BA′B′=30o,則A′B所在的直線與D′D所在的直線所成的夾角是度。一、課前練習1、空間中兩條直線的位置關系有、、。2、相交直線的特點是①共面；②有且只有一個公共點，則平行直線的特點是：①②；異面直線的特點是：①②。ABCDA′B′C′D′30o相交平行異面共面沒有公共點異面沒有公共點平行9060③直線與平面平行——沒有公共點；1、交流歸納:直線與平面的位置關系有且只有三種：①直線在平面內——有無數個公共點（交點）；②直線與平面相交——有且只有一個公共點；α2、如何用圖形語言表示直線與平面的三種位置關系?aa①α③二、新課aα②錯誤畫法：αaα②①aaα③3、如何用符號語言表示直線與平面的位置關系。①直線a在平面α內，記作aα；②直線a與平面α相交于A點，記作a∩α=A；③直線a與平面α平行，記作a∥α；④若直線L與平面α平行，則L與平面α內的任意一條直線都沒有公共點；()②若直線L與平面α平行，則L與平面α內的任意一條直線都平行；()4、判斷正誤①若直線L上有無數個點不在平面α內，則L∥α；()③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；()lααlbcαlb⊙如果平面外的兩條平行直線中的一條直線與平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；（）××√√×三、隨堂練習1、若直線a不平行于平面α

，且aα，則下列結論成立的是（）：(A)α內的所有直線與a異面(B)α內不存在與a平行的直線；(C)α內存在唯一的直線與a平行；(D)α內的直線與a都相交；2、判斷題：（1）a∥α，bα，則a∥b；（）（2）aα，則a∥α或a和α相交；（）（3）a∩α=A，aα；（）（4）若aα，bα，則a、b無公共點。（）B×√√×aαbαbabaαc四、小結：1、空間中直線與平面的三種位置關系：直線在平面內——有無數個公共點（交點）；直線在平面外相交——有且只有一個公共點；平行——沒有公共點；2、用圖形語言表示空間中直線與平面的三種位置關系：3、用符號語言表示空間中直線與平面的三種關系：①aα②a∩α=A③a∥αααa①②aα③a二、直線與平面平行

1、直線和平面有哪幾種位置關系？平行、相交、直線在平面內

2、反映直線和平面三種位置關系的依據是什么？公共點的個數復習1：直線和平面的位置關系1.直線在平面內——有無數個公共點；2.直線與平面相交——有且只有一個公共點；3.直線與平面平行——沒有公共點。定義：一條直線和一個平面沒有公共點，叫做直線與平面平行.

怎樣判定直線與平面平行呢？怎樣判定直線與平面平行呢？問題引入新課

根據定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點．但是，直線無限延長，平面無限延展，如何保證直線與平面沒有公共點呢？a二、

門扇轉動的一邊與門框所在的平面之間的位置關系．操作確認觀察操作確認

將一本書平放在桌面上，翻動書的硬皮封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關系？如果平面內有直線與直線平行，那么直線與平面的位置關系如何？是否可以保證直線與平面平行？思考操作確認抽象概括：直線與平面平行的判定定理：

若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡述為：線線平行線面平行ababa//b//a直線與直線平行關系直線與平面間平行關系平面問題空間問題判定定理的證明已知：,，求證：證明：所以經過a、b確定一個平面．

與是兩個不同的平面．

所以=b因為b，b

下面用反證法證明a與沒有公共點：假設a與有公共點P，而=b，得Pb，所以點P是a、b的公共點，這與a//b矛盾.所以a//a

（1）定義法：證明直線與平面無公共點；

（2）判定定理：證明平面外直線與平面內直線平行．直線與平面平行判定怎樣判定直線與平面平行？例1.如圖正方體中，P是棱

的中點，過點P畫一條直線使之與截面平行.A1AB1D1CBPC1D應用鞏固：1．如圖，長方體中，（1）與AB平行的平面是

；（2）與平行的平面是

；（3）與AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面隨堂練習B2.如圖，四面體ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.試指出圖中滿足線面平行位置關系的情況.BADEFGHC例2.空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，試判斷EF與平面BCD的位置關系，并予以證明.AEFBDC解：EF∥平面BCD。證明：如圖，連接BD。在△ABD中，E，F分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD,∴EF∥平面BCD。解后反思：通過本題的解答，你可以總結出什么解題思想和方法？BD平面BCD,又EF平面BCD，反思1：要證明直線與平面平行可以運用判定定理；線線平行線面平行反思2：能夠運用定理的條件是要滿足六個字，“面外、面內、平行”。反思3:運用定理的關鍵是找平行線。找平行線又經常會用到三角形中位線定理。aba//a//b3、如圖，在正方體ABCD——A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1的中點。求證：EF//平面BDD1B1.MNM隨堂練習如何證明線面平行？線線平行線面平行關鍵：找平行線條件面內面外平行(1)平行公理(2)三角形中位線(3)平行四邊形對邊平行(4)平行線分線段成比例4、如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點。試判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由。

F隨堂練習五、小測：（一）填空。1、如果一條直線和一個平面

，那么我們就說這條直線和這個平面平行。2、直線a在平面α外，是指直線a和平面α

或

。3、直線與平面的位置關系按三種分為

或

或

。按兩種分為

或

。（二）判斷正誤。1、直線l平行于平面α內的無數條直線，則l∥α；（）2、若直線a在平面α外，則a∥α；（）3、若直線a∥b，直線bα，則a∥α；（）4、若直線a∥b，bα，那么直線a就平行于平面α內的無數條直線；（）（三）畫出滿足下列條件的圖形。aα，A∈α，A∈a，b∩α=A沒有公共點相交平行相交平行直線在平面內直線在平面內直線在平面外×

×

×

√A1.練習。P49-p501．證明直線與平面平行的方法：（1）利用定義；（2）利用判定定理．2.數學思想方法：轉化的思想空間問題平面問題知識小結線線平行線面平行直線與平面有沒有公共點三、直線與平面垂直

將書頁打開直立在桌面上，觀察書脊AB和桌面的位置關系，給人以什么感覺？AB

書脊AB和每頁書與桌面的交線的位置關系如何？

此時，書脊AB和桌面內的每條直線都垂直嗎？如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直，記作l⊥

。直線與平面垂直的定義Pl直線

l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面。直線和平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。思考：如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，則嗎？問題討論：

1、根據定義判定直線與平面垂直方便嗎？為什么？

2、若直線與平面內的一條直線垂直，能保證嗎？

3、若直線與平面內的兩條直線垂直，能保證嗎？動手探究準備一塊三角形的紙片，做實驗（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？容易發現：直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。APl(1)、若一條直線與一個三角形的兩條邊垂 直，則這條直線垂直于三角形所在的 平面。()(2)、若一條直線與一個平行四邊形的兩條 邊垂直，則這條直線垂直于平行四邊 形所在的平面。()(3)、若一條直線與一個梯形的兩腰垂直， 則這條直線垂直于梯形所在的平面。 ()√×

√判斷下列命題是否正確？想一想例題1如圖，已知,求證：因為直線,根據直線與平面垂直的定義知:證明:在平面內作兩條相交直線又因為所以又是兩條相交直線所以證明ABCDE例2.在空間四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求證:AC⊥BD

練習:已知平面，是⊙的直徑，是⊙上的任一點，求證：．

直線與平面的夾角四、直線和平面所成的角異面直線所成角的范圍：

思考：結論：1、線線角：斜線與平面所成的角平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角AOB2、線面角當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角是90°當直線在平面內或與平面平行時，直線與平面所成的角是0°斜線與平面所成的角（0°,90°）直線與平面所成的角〔0°,90°〕異面直線所成的角（0°,90°〕若斜線段AB的長度是它在平面內的射影長的2倍，則AB與所成的角為

。60°ABO最小角原理AOBM斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角。AOBM如圖,直線OA與平面所成的角為1,平面內一條直線OM與OA的射影OB所成的角為2,設∠AOM為求證:cos=cos1×cos2若直線l1與平面所成的角為60°，則這條直線與平面內的直線所成的一切角中最小的角為

，最大的角為

。90°60°Ol1例題、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1OSACBOFE如圖，ACB=90，S為平面ABC外一點，SCA=SCB=60，求SC與平面ACB所成的角例：

的棱長為1.正方體xyz直線與平面所成角的范圍：

思考：結論：2、線面角：例1：

的棱長為1.正方體xyz設正方體棱長為1，例2如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC證明：(1)取BC中點O，連接OA、OS。(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為例3、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設正方形邊長為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點3.三垂線定理及其逆定理PCBAA1B1C1ADD1BC如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面AC,DD1為平面AC的垂線，BD1為平面AC的斜線。思考：1、直線BD,AC和BD1之間有怎樣的位置關系？2、總結：三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。OaAP已知：PO、PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥pAOaAP證明：a⊥PAa⊥平面PAOPA平面PAOPO⊥

a

AO⊥aPO⊥aPO∩AO=O小結：OaAP定理中需要“一面、四線、三垂直”三垂線定理的實質是空間兩直線垂直的判定定理（思想的轉化）垂線最重要線射垂直線斜垂直PAOaα問題：三垂線定理中包含那些垂直關系？線面垂直線斜垂直線射垂直

注意：直線a一定要在平面內，如果a不在平面內，定理就不一定成立。a例如：當b⊥時，

b⊥OA探討：如果將定理中“在平面內”的條件去掉，結論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP

bPAOαPCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC三垂線定理解題的關鍵：找“三垂”一、找線面垂直二、找平面的斜線在平面內的射影和平面內的一條直線垂直解題回顧PAOaα線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內的一條直線和平面的一條斜線在平面內的射影垂直平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理

在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內的射影，則a⊥b