二元一次方程組應用題經典題

實用文檔：實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題的基本思想是將未知量轉化為已知量。關鍵在于找到已知量和未知量之間的聯系，并找出題目中的相等關系。一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程。所列方程必須滿足以下條件：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統一；(3)方程兩邊的數值要相等。知識點二：列方程組解應用題中常用的基本等量關系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關系式是：兩者的行程差=開始時兩者相距的路程。(2)相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和=總路程。(3)航行問題：①船在靜水中的速度+水速=船的順水速度；②船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度；③順水速度-逆水速度=2×水速。注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2.工程問題：工作效率×工作時間=工作量。3.商品銷售利潤問題：(1)利潤=售價-成本（進價）；(2)利潤率=利潤÷成本（進價）；(3)成本（進價）=利潤÷利潤率；(4)標價=成本（進價）×(1+利潤率)；(5)實際售價=標價×打折率。注意：“商品利潤=售價-成本”中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4.儲蓄問題：(1)基本概念：①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數：存入銀行的時間叫做期數。⑤利率：每個期數內的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。(2)基本關系式：①利息=本金×利率×期數。②本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)。③利息稅=利息×利息稅率=本金×利率×期數×利息稅率。④稅后利息=利息×(1-利息稅率)。⑤年利率=月利率×12。注意：免稅利息=利息。5.配套問題：解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6.增長率問題：行程問題是數學中常見的實際問題，解決這類問題需要列二元一次方程組。具體步驟如下：1.審題：仔細閱讀題目，理解問題中的數量關系。2.設未知數：設行程的速度為v，行程的時間為t。3.找出等量關系：根據題目中的信息，可以得出兩個等量關系：行程的路程為s，行程的時間為t。4.列出方程組：根據等量關系，列出方程組：v*t=s，s=2*(v+10)*t。5.解方程組：將第一個方程中的t用第二個方程中的s代替，得到v*(2*(v+10)/v)=2s，化簡得到v^2+10v-2s=0，解得v=(-10±√(100+8s))/2。6.檢驗解的正確性：將求得的v代入第一個方程中，檢驗是否符合題意。7.寫出答案：根據求得的v和t，可以得出行程的速度和時間。在解決行程問題時，需要注意單位的書寫和轉換，以及檢查解是否符合題意。只有在確保解是正確的情況下，才能得出正確的答案。甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇。相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發半小時后追上了拖拉機。這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？解題思路：首先畫出直線型示意圖，設汽車的速度為v1（km/h），拖拉機的速度為v2（km/h），則有以下等量關系：1.相向而行時，汽車行駛1.33v1km，拖拉機行駛1.33v2km，總路程為160km；2.同向而行時，汽車行駛t1小時的路程等于拖拉機行駛t1小時的路程。根據以上等量關系列出方程組：1.33v1+1.33v2=160v1t1=v2(t1+1.5)+85將第二個方程中的v2代入第一個方程中，得到：1.33v1+1.33(v1(t1+1.5)-85)/t1=160化簡后得到：2.66v1t1-212.67=0解得t1=79.8/2.66=30將t1代入第一個方程中，得到：v1=60km/hv2=25km/h最終答案為：汽車行駛了165km，拖拉機行駛了85km。總結升華：通過畫圖和列方程組的方法，可以解決行程問題。在列方程組時，需要注意將已知條件轉化為等量關系，并進行化簡和代入求解。【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？解題思路：同樣畫出直線型示意圖，設甲、乙兩人的速度分別為v1（km/h）、v2（km/h）。根據題意列出以下等量關系：1.相向而行時，甲、乙兩人行駛的總路程為36km；2.甲比乙先走2小時，所以在乙出發2.5小時后，甲、乙兩人行駛的時間相等；3.乙比甲先走2小時，所以在甲出發3小時后，甲、乙兩人行駛的時間相等。根據以上等量關系列出方程組：v1(2.5+t)+v2t=36v1t+v2(2+t)=36將第一個方程中的t代入第二個方程中，得到：v1+2v2=12將v2用v1表示，代入第一個方程中，得到：2.5v1+3.5v2=18解得v1=3km/h，v2=4.5km/h。最終答案為：甲、乙兩人每小時各走3km、4.5km。【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。解題思路：同樣畫出直線型示意圖，設船在靜水中的速度為v（km/h），水流速度為u（km/h）。根據題意列出以下等量關系：1.順流時，船行駛的速度為v+u（km/h），航行時間為14小時，所以船行駛的總路程為14(v+u)km；2.逆流時，船行駛的速度為v-u（km/h），航行時間為20小時，所以船行駛的總路程為20(v-u)km；3.船在靜水中行駛的速度為v（km/h）。根據以上等量關系列出方程組：14(v+u)=28020(v-u)=280解得v=20km/h，u=6km/h。最終答案為：船在靜水中的速度為20km/h，水流速度為6km/h。總結升華：列二元一次方程組解決工程問題時，需要將已知條件轉化為等量關系，并注意方程組的個數與變量的個數相等。在解方程時，可以采用消元法、代入法等方法。小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25%的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）解題思路：設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，根據題意可列出表格：||利率|存款|利息||---|----|----|----||教育儲蓄|2.25%|x|0||一年定期存款|2.25%|y|0|一年后可取出2042.75元，根據利息所得稅公式，可得：2042.75=x(1+2.25%)+y(1+2.25%)-0.045x-0.045y化簡得：2042.75=1.0225x+1.0225y-0.045x-0.045y整理得：0.9775x+0.9775y=2000又因為x+y=2000，所以可列出二元一次方程組：0.9775x+0.9775y=2000x+y=2000解得：x=1500，y=500因此，教育儲蓄存1500元，一年定期存款存500元。變式1：李明分別以2000元和1000元的形式儲蓄，一年后取出，扣除利息所得稅后得到43.92元利息。已知兩種儲蓄的年利率之和為3.24%，求這兩種儲蓄的年利率各是多少？（注：公民應繳利息所得稅=利息金額×20%）改寫：李明分別以2000元和1000元的形式儲蓄，一年后取出，扣除利息所得稅后得到43.92元利息。已知兩種儲蓄的年利率之和為3.24%，求這兩種儲蓄的年利率分別是多少？變式2：小敏的爸爸為了籌備她上高中的費用，在銀行用兩種方式共存了4000元。第一種方式是一年期整存整取，共存了3次，每次存款數相同，銀行利率為年息2.25%；第二種方式是三年期整存整取，銀行年利率為2.70%。三年后取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸爸分別存了多少元？改寫：小敏的爸爸為了籌備她上高中的費用，在銀行用兩種方式共存了4000元。第一種方式是一年期整存整取，共存了3次，每次存款數相同，銀行利率為年息2.25%；第二種方式是三年期整存整取，銀行年利率為2.70%。三年后取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸爸分別存了多少元？類型五：列二元一次方程組解決——生產中的配套問題某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只。現計劃用132米這種布料生產這批秋裝（不考慮布料的損耗），應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？改寫：某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只。現計劃用132米這種布料生產這批秋裝（不考慮布料的損耗），應該分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？解：設用x米布料做衣身，用y米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套。根據題意，得到兩個方程：3x+5y=1322x=y解得：x=60，y=72答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。總結升華：在解決一些涉及到行程、收入、支出、增長率等實際問題時，有時不容易找出其等量關系。這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數量關系，從而得出題目中的相等關系。確定等量關系是解題的關鍵。變式1：現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底。一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？變式2：某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個。應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套？一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成。已知1立方米木料可以做50個桌面或300條桌腿。現有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌，能配多少張方桌？解：設用x立方米木料做桌面，用y立方米木料做桌腿，則有以下關系：50x=4z300y=zx+y=5其中，z表示可以做出的方桌數量。將第一個等式化簡得：x=z/200代入第三個等式得：z/200+y=5解之得：y=5-z/200代入第二個等式得：300(5-z/200)=z化簡得：z=750/7所以，用約2.04立方米木料做桌面，用約2.96立方米木料做桌腿，可以恰好配成750/7張方桌。總結升華：在解決問題時，可以通過列方程的方式將問題轉化為數學模型，從而更加直觀地理解問題。同時，化簡方程和代入等式也是解決問題的重要方法。【變式1】若條件不變，今年的總產值為多少萬元？總支出為多少萬元？解：設今年的總產值為x萬元，則有：x=1.2x-0.9y+780-200化簡得：0.1x+0.9y=980又因為去年的總產值為x，總支出為y，所以去年的總產值為2000萬元，總支出為1800萬元。代入上述方程解之得：今年的總產值為9800萬元，總支出為8200萬元。【變式2】這個城市的城鎮人口與農村人口分別是多少？解：設這個城市的城鎮人口為x人，農村人口為y人，則有：x+y=4200001.008x+1.011y=1.01(x+y)化簡得：0.002x=0.003y代入第一個等式得：y=280000代入第二個等式得：x=140000所以，這個城市的城鎮人口為140000人，農村人口為280000人。【變式3】“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產帳篷共9千頂，現某地震災區急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷。全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務。求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？解：設原計劃“愛心”帳篷廠生產帳篷x千頂，“溫暖”帳篷廠生產帳篷y千頂，則有以下關系：x+y=91.6x+1.5y=14化簡得：x=6y=3.5所以，“愛心”帳篷廠生產帳篷6千頂，“溫暖”帳篷廠生產帳篷3.5千頂。“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的倡議，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活。活動號召個人、社區、企業和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時。去年和今年共有119個中國內地城市參加了此項活動，今年參加活動的城市個數比去年的3倍少13個。因此，去年有39個城市參加了此項活動，今年有106個城市參加了此項活動。在游泳池中，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。設男孩人數為x，女孩人數為y。因為每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，所以女孩人數比男孩人數多一倍。因此，列出方程組：x+y=總人數y=2x將y代入第一個方程式中，得到x+2x=總人數，即3x=總人數。因為總人數為偶數，所以x必須為偶數。假設男孩人數為2a，則女孩人數為4a。因此，總人數為6a，而6a=68，解得a=11。因此，男孩人數為22，女孩人數為44。設這個兩位數為10a+b，其中a為十位上的數字，b為個位上的數字。根據題意，列出方程組：10a+b-3a-3b=2310a+b=15b+5將第二個方程式化簡為10a=14b+5，代入第一個方程式中，得到4b=32，解得b=8。因此，這個兩位數為18。設這個兩位數為10a+b，其中a為十位上的數字，b為個位上的數字。根據題意，列出方程組：10a+b-10b-a=199a-9b=19化簡得到a-b=2，即a=b+2。因為這個兩位數是三位數減去各位數字之和的3倍的結果，所以它的各位數字之和為10a+b-3a-3b=7a-2b。根據題意，列出方程式：10a+b=5(7a-2b)+1化簡得到a=3，b=1。因此，這個兩位數為31。設這個兩位數為10a+b，其中a為十位上的數字，b為個位上的數字。根據題意，列出方程組：10a+b=2(10b+a)-910a+b=20b+2a-98a-19b=-9因為a和b都是整數，所以8a-19b必須是負數。因此，假設a=1，2，3，...，9，計算出對應的b，發現只有a=5時，b為整數。因此，這個兩位數為59。現有甲、乙兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1。設甲、乙兩種酒精溶液分別取xkg和ykg，列出方程組：