期末總復習第一部分向量代數與空間解析幾何1、向量的方向余弦（一）向量代數兩點間的距離模：方向余弦：2、數量積、向量積和混合積的幾何應用（1）數量積的幾何應用1）幾何表示：2）代數表示：2、數量積、向量積和混合積的幾何應用（1）數量積的幾何應用1）幾何表示：2）代數表示：3）幾何應用：a.求模：b.求夾角：c.判別兩個向量垂直：（2）向量積的幾何應用1）幾何表示：2）代數表示：（2）向量積的幾何應用1）幾何表示：2）代數表示：3）幾何應用：a.求同時垂直于兩個向量的向量：b.c.判別兩個向量平行：（3）混合積的幾何應用1）代數表示：（3）混合積的幾何應用1）代數表示：2）幾何應用：a.平行六面體體積：b.判別三向量共面：（二）直線與平面1、平面方程及轉換關系1）一般式：2）點法式：3）截距式：2、直線方程及轉換關系1）一般式：2）對稱式：3）對參數式：3、直線與平面間的位置關系1）兩平面之間：兩平面垂直：兩平面平行：2）兩直線之間：兩直線垂直：兩直線平行：3）平面和直線之間：直線與平面垂直：直線與平面平行：4）點到平面的距離：4）點到平面的距離：（三）曲面與空間曲線（1）曲面方程（2）旋轉曲面一條平面曲線C繞一條定直線旋轉一周而成的曲面.定義:1）2）（3）柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做定義:柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.（3）柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做定義:柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.一般地,在三維空間中,方程缺哪個變量,則方程代表母線平行于該變量所代表軸的柱面.（4）空間曲線一般式（4）空間曲線一般式參數式（5）

投影曲線

（四）必須熟練掌握的常見的二次曲面的方程及其圖形（1）球面（2）橢球面（3）圓錐面（4）旋轉拋物面（5）圓柱面第二部分多元函數微分法及其應用一、多元函數的極限、連續、偏導數與全微分（一）基本內容小結1、多元函數2、二元函數的極限與連續3、二元函數的偏導數與全微分3、二元函數的偏導數與全微分連續可偏導可微偏導數連續（二）重點、難點及易錯點解析1、求二元函數在分段函數的分界點或不連續點處的偏導數,需用偏導數定義.極限存在（三）常見的題型分析二、多元函數的微分法（一）基本內容小結1.復合函數的偏導數與全微分2.隱函數的偏導數與全微分（二）重點、難點及易錯點解析兩者區別區別類似把z=f(u,x,y)中的u

及y

看作不變而對x

求偏導數把復合函數z=f[(x,y),x,y]中的y

看作不變而對

x

求偏導數（三）常見題型分析1.求復合函數的偏導數與全微分（2）含有抽象函數的二階導數（二階混合偏）及全微分要點：含有抽象函數的二元復合函數二階偏導數的計算.要點：含有抽象函數的二元復合函數二階偏導數的計算.（2）含有抽象函數的二階導數（二階混合偏）及全微分2.求隱函數的偏導數與全微分例設是由方程所確定的二元函數，求較麻煩對定點處，較簡單三、多元函數微分學的幾何應用（一）基本內容小結1、空間曲線的切線及法平面2、空間曲面的切平面及法線（二）重點、難點、易錯點講解1、2、（三）

常見的題型分析

曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線1、曲面在某點處的切平面（1）設曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程（2）設曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程四、方向導數與梯度（一）基本內容小結1、方向導數2、梯度（二）常見的題型分析1、求函數在定點沿指定射線方向的方向導數.2、求函數在定點處的最大方向導數（梯度方向）.五、多元函數的極值與最值（一）基本內容小結1.無條件極值注意：駐點極值點即2.條件極值（二）常見的題型分析1.無條件極值問題（三）常見的題型分析1.無條件極值問題2.條件極值(最值)問題第三部分重積分一、

二重積分1.二重積分的定義及幾何意義（一）基本內容小結2.二重積分的性質3.二重積分的計算（二）重點、難點及易錯點解析1.直角坐標系下化二重積分為二次積分時,應注意事項2.直角坐標系下如何確定積分次序?2.直角坐標系下如何確定積分次序?3.利用對稱性簡化二重積分計算（三）常見的題型分析1.計算二重積分計算二重積分的一般步驟:1)畫出積分區域D的草圖,考察D是否具有對稱性,被積函數是否具有奇偶性，或被積函數中部分項是否具有奇偶性.2)根據D的形狀和被積函數的形式選取適當的坐標系.3)根據D的類型和被積函數的特點選取適當的積分次序.4)確定二次積分的積分限并計算二次積分.2.累次積分交換積分次序及計算交換積分次序的一般步驟:二、

三重積分（一）基本內容小結1.三重積分的概念與性質2.三重積分的計算法3.重積分的應用（二）重點、難點及易錯點解析1.坐標系及積分方法的選擇1.坐標系及積分方法的選擇2.對稱性和奇偶性的應用2.對稱性和奇偶性的應用（三）常見的題型分析1、三重積分化為三次積分問題2、利用對稱性計算三重積分3、在三種坐標系下計算三重積分的問題4、重積分的應用問題（主要是幾何應用）第四部分曲線積分與曲面積分1、第一類曲線積分（對弧長）一、曲線積分一代二換三定限2、第二類曲線積分(對坐標)一代二換三定限3.兩類曲線積分的關系3、兩類曲線積分的關系4、格林公式5、平面上第二類曲線積分與路徑無關的幾個等價命題5、平面上第二類曲線積分與路徑無關的幾個等價命題二、曲面積分1、第一類曲面積分（對面積）1、第一類曲面積分（對面積）二代三換一投2、第二類曲面積分（對坐標）2、

第二類曲面積分（對坐標）二代三定號一投3、兩類曲面積分之間的關系4、高斯公式4、高斯公式三、重點、難點、易錯點解析2、利用格林公式計算第二類曲線積分常見的錯誤3、利用高斯公式計算曲面積分常見的錯誤4、一個重要的結論四、常見的題型分析1、第一類曲線積分（對弧長）的計算一代二換三定限方法：化為定積分一代二換三定限注意：1）可用曲線方程簡化被積函數;2）可用對稱性簡化計算（同二重積分）.2、第二類曲線積分（對坐標）的計算方法：（1）化為定積分1）直接法一代二換三定限一代二換三定限2）舍舊取新法2）舍舊取新法兩個路徑都可選擇（2）利用格林公式,化為二重積分注意格林公式的條件及挖補法的應用.3、第一類曲面積分（對面積）的計算方法：化為二重積分二代三換一投注意：（1）可用曲面方程簡化被積函數;（2）可用對稱性簡化計算（同三重積分）.4、第二類曲面積分（對坐標）的計算方法：（1）化為二重積分1）直接法二代三定號一投2）轉化為第一類曲面積分3）轉化為對同一坐標的曲面積分（不推薦）（2）利用高斯公式，轉化為三重積分（2）利用高斯公式，轉化為三重積分注意高斯公式的條件.5、積分與路徑無關的判定（二元函數全微分求積）5、積分與路徑無關的判定（二元函數全微分求積）取特殊路徑完成計算（圖1）取特殊路徑完成計算（圖2）L第五部分無窮級數1、數項級數收斂性判別（1）利用級數收斂的必要條件比值判別法，根值判別法，比較判別法2、幾個常見的級數（3）

交錯級數：萊布尼茨定理（4）

任意項級數：絕對收斂和條件收斂一、基本內容小結（2）

正項級數（判別發散）（1）幾何級數：（2）調和級數：（3）P

級數：任意項級數收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數審斂法檢驗是否收斂？則原級數絕對收斂，從而收斂，（4）若發散，但是用比值或根值法判斷的，則原級數也發散。是否成立？若否，則原級數發散。若是或難求，則進行下一步；若是，否則，進行下一步；（2）若原級數為正項級數或交錯級數，則可用正項級數或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質或其它方法。3、冪級數的收斂半徑和收斂域求冪級數（1）利用極限（3）判定冪級數在端點（2）確定收斂半徑R及收斂區間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（4）收斂域等于收斂區間加收斂的端點。說明（1）冪級數中不能出現“缺項”。（2）對冪級數要先做變換轉化為性質2：冪級數且逐項積分后所得級數的和函數s(x)

在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數相同。4、冪級數和函數的分析性質性質1：冪級數的和函數s(x)

在收斂域I上連續.性質3：冪級數的和函數s(x)

在收斂區間內可導，并有逐項求導公式逐項求導后所得級數其收斂半徑與原級數相同。函數展開成冪級數5、函數展開成冪級數1）直接法2）間接法

利用已知的冪級數展開式，通過變量替換、四則運算、逐項求導或逐項積分等方法，得到函數的冪級數展開式。6、傅里葉級數的收斂定理說明：上述結論同樣適用l=的情形。二、重點、難點、易錯點解析1、絕對收斂判別法判別級數斂散性問題若正項級數收斂,則級數絕對收斂，當然收斂.若正項級數發散,級數一定發散.但是如果用比值法（根值法）判別級數發散,則級數一定發散.2、冪級數收斂點（發散點）的分布律（Abel定理）3、缺項冪級數的收斂半徑求法4、滿足收斂定理條件的以2l為周期的函數f(x)與其傅里葉展式的和函數S(x)的關系三、常見的題型分析1、常數項級數斂散性的判別（包括絕對收斂與條件收斂性）.2、求冪級數的收斂半徑、收斂域.3、求冪級數的和函數.4、把函數展開成冪級數.5、傅里葉級數的收斂定理.6、確定傅里葉展開式中指定項的傅里葉系數.7、把函數展開成傅里葉級數（包括正余弦級數）.典型例題例1：設求解：例2：設求解：例3：設求解：例4：設是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數，求整理并解得例4：設是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數，求整理并解得例5：曲線在點（A）xoy

面；（B）yoz

面；（C）zox

面；的切線一定平行于（）。（D）平面解：取C例6：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設切點為例7：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉化為下面的等價問題問題2：在條件下，求函數的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組求得兩個駐點：對應的距離為例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為答案:例9：試證：例10:計算由直線y=x

及曲線所圍平面區域。利用對稱性和被積函數的奇偶性計算二、三重積分；在二重、三重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區域三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例12：提示：再對用“先二后一”的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結果。例13：提示：利用對稱性、被積函數奇偶性及“先二后一”法（5）利用柱面坐標計算三重積分例14：繞z

軸旋轉一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體例15：設橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例16：設則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。例17：設f(x)在(0,+)上有連續的導數，L是由點提示：利用積分與路徑無關，并取新路徑：A(1,2)到點B(2,8)的直線段，計算（30）例18：計算由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標例19：計算再由坐標原點沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點A(1,1)沿曲線到坐標原點，分析：應用格林公式補充：例20：若冪級數在x=-2處收斂，則此冪級數在x=5

處（

）