等腰三角形(二)觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來.圖中的三角形都是什么三角形？你是如何判定它們是等腰三角形的？我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm探究

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關系嗎？如何證明AB=AC？事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內角和的性質得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點B與點C重合，于是AB=AC.結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.由此并且結合三角形內角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).舉例例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形.證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動腦筋如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.結論由此得到另一條等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形例2

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形例3

如圖，⊿ABC中,∠ACB的平分線交AB于點E,過點E作FE//BC,交AC于點O,交∠ACD的平分線于點F,求證：EO=FO.證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF∥BC,∴∠2=∠5，∠3=∠6,∴∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.ABCDEOF123456練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明:∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠ABD=∠DBC=

，又∵△ABC是等腰三角形，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.∴∠ABC=∠ACB，∠ACE=∠ECB=2、如圖，在△ABC中，∠ACB和∠ACB的平分線相交于點D，且DB=DC，請說明AB=AC的理由.ABCD3.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延長線于點E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.4、已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC。求證：AB=ADADBC1235.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，6、求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。ABCED12已知：∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，求證：AB=AC中考試題

1、等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形周長為（）A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關系定理，故選5.∴周長為5+5+2=12cm.

2、若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°解析

因為50°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D1、如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊,重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？由折疊可知：∠EBD=∠CBD，在矩形ABCD中，AD∥BC，則∠CBD=∠FDB,所以∠FDB=∠EBD

所以BF=DFABCDEF2、如圖，在△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，DE過點O，且DE∥BC.（1）圖中共有幾個等腰三角形？選其一加以說明.（2）試說明△ADE的周長與AB+AC的關系.（3）若AC=13cm，AB=10cm，求△ADE的周長.ABCDEO動腦筋小