黑龍江省哈爾濱市萬隆第一中學2021年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則為()A．B．C．D．參考答案：C試題分析：由題可知，，解得或，即集合，當時，集合，因此；考點：集合的運算2.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，則A等于()．A．30°

B．45°

C．60°

D．75°參考答案：C3.若，則成立的一個充分不必要的條件是A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.己知拋物線方程為（），焦點為，是坐標原點，是拋物線上的一點，與軸正方向的夾角為60°，若的面積為，則的值為（

）A．2

B．

C．2或

D．2或參考答案：A略5.若a為實數，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，則a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：B考點： 復數相等的充要條件．

專題： 數系的擴充和復數．分析： 首先將坐標展開，然后利用復數相等解之．解答： 解：因為（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故選：B．點評： 本題考查了復數的運算以及復數相等的條件，熟記運算法則以及復數相等的條件是關鍵．6.如果執行右面所示的程序框圖，那么輸出的（A）2352（B）2450（C）2550（D）2652參考答案：C略7.設等比數列{}的前n項和為

，若

=3，則

=(

)

A．2

B．

C．

D．3參考答案：B8.已知向量，若共線，則m的值為A. B.2 C. D.參考答案：D略9.已知實數x，y滿足的圖象與坐標軸所圍成的封閉圖形的內部的概率為

A．

B．

C．

D．

參考答案：10.若集合，，則（）（A）{0,5}

（B）{1,2,4}

（C）{1,2,3,4}

（D）{0,1,2,3,4,5}參考答案：D，本題選擇D選項.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實數，滿足，目標函數的最大值為

．參考答案：-1如圖區域為開放的陰影部分，可求，函數過點時，.

12.若不等式|x﹣1|＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則實數a的取值范圍是．參考答案：[3，+∞）考點：絕對值不等式的解法．專題：計算題．分析：先求出不等式|x﹣1|＜a的解集為集合B，再根據條件可知{x|0＜x＜4}?B，建立關于a的不等式組，解之從而確定a的取值范圍．解答：解：|x﹣1|＜a?1﹣a＜x＜a+1由題意可知﹣≤x＜00＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要條件∴解得a≥3∴實數a的取值范圍是[3，+∞）故答案為：[3，+∞）點評：本題考查充分不必要條件的應用，解題時要注意含絕對值不等式的解法和應用，屬于基礎題．13.函數的最小正周期=

．參考答案：2π14.在中，若，則的面積的最大值為___________.參考答案：15.中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為__________.

參考答案：略16.設是上的奇函數,.當時有,則

.參考答案：17.如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分，且AE=2，則AC=

；

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知曲線C：．（1）由曲線C上任一點E向軸作垂線，垂足為F，點P分所成的比為，求點P的軌跡.P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；（2）如果直線l的斜率為，且過點M（0，），直線l交曲線C于A、B兩點，又，求曲線C的方程．參考答案：解析：（1）設，則，∵點P分所成的比為

∴

∴

∴

代入中，得為P點的軌跡方程.

當時，軌跡是圓。……6分（2）由題設知直線l的方程為，

設聯立方程組

，消去得：.∵方程組有兩解

∴且

∴或且

…………8分又已知

，M、A、B三點共線，由向量知識得或

，而

∴又∵

∴

解得（舍去）或

∴曲線C的方程是.

……………１2分19.幾何證明選講

如圖6，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的點，OC垂直于弦AB，過F點作⊙O的切線交AB的延長線于D，連結CF交AB于E點。

（I）求證：DE2=DB·DA.

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的長.參考答案：略20.2018年4月全國青少年足球超級聯賽火爆開啟，這是體育與教育的強強聯手，這是培養足球運動員的黃金搖籃，也是全國青少年足球的盛宴．組委會在某場聯賽結束后，隨機抽取了300名觀眾進行對足球“喜愛度”的調查評分，將得到的分數分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值并估計這300名觀眾評分的中位數；（2）若評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現從“足球迷”中按區間[88，94)與[94，100]兩部分按分層抽樣抽取5人，然后再從中任意選取兩人作進一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評分在區間[94，100]的概率．參考答案：解：（1）因為(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．設y為觀眾評分的中位數，由前三組的概率和為0.40，前四組的概率和為0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，則y＝84．（2）以樣本的頻率作為概率，評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現從“足球迷”中按分層抽樣抽取5人，則從評分在區間[88，94)的“足球迷”中抽取3人，記為A，B，C，從評分在區間[94，100]的“足球迷”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進一步的訪談的所有事件為AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個基本事件，這兩人中至少有1人的評分在區間[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7個基本事件，則選取的2人中至少有1人的評分在區間[94，100]上的概率．

21.已知P-ABC為正三棱錐，底面邊長為2，設D為PB的中點，且，如圖所示.（Ⅰ）求證：PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）以中點為空間直角坐標系的原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用法向量證明平面；（Ⅱ）求出平面和平面的法向量，利用空間向量數量積，可以求出二面角的平面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）以中點為空間直角坐標系的原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：，由于點在平面的射影為三角形的中心，設，所以，，而，，平面，所以平面；（Ⅱ）由中點坐標公式可知：，由可知:，解得，設平面的法向量為，因為，所以，取，解得，平面的法向量為，所求二面角的平面角為，則，二面角的平面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的證明，