等差數列的性質51、山氣日夕佳，飛鳥相與還。52、木欣欣以向榮，泉涓涓而始流。53、富貴非吾愿，帝鄉不可期。54、雄發指危冠，猛氣沖長纓。55、土地平曠，屋舍儼然，有良田美池桑竹之屬，阡陌交通，雞犬相聞。等差數列的性質等差數列的性質51、山氣日夕佳，飛鳥相與還。52、木欣欣以向榮，泉涓涓而始流。53、富貴非吾愿，帝鄉不可期。54、雄發指危冠，猛氣沖長纓。55、土地平曠，屋舍儼然，有良田美池桑竹之屬，阡陌交通，雞犬相聞。等差數列的性質．2．等差數列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．等差數列{}的一些性質：3．等差中項如果在a與b中間插入一個數A，使 ，那么A叫作a與b的等差中項，且A＝a，A，b成等差數列性質一、任意兩項的關系

在等差數列中，有性質二、性質三、數列{an}是等差數列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，則am+an=ap+aq。特別地對任意正整數p、q、r若p＋q＝2r，則ap＋aq＝___

判斷：可推廣到三項，四項等注意：等式兩邊作和的項數必須一樣多性質四、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）將前m項去掉，其余各項組成的數列是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？am+1，am+2，……an是等差數列首項為am+1，公差為d，項數為n-m性質五、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）取出數列中的所有奇數項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a1，a3，a5，……是等差數列首項為a1，公差為2d（2）取出的是所有偶數項呢？a2，a4，a6，……是等差數列首項為a2，公差為2d性質五、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（3）取出數列中所有項是7的倍數的各項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a7，a14，a21，……是等差數列首項為a7，公差為7d（4）取出的是所有k倍數的項呢？ak，a2k，a3k，……是等差數列首項為ak，公差為kd性質六、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）數列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數列。a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數列，公差為4d

（2）

數列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數列。a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數列，公差為3d。例：性質七、若數列{an}為等差數列，公差為d，則{kan}也為等差數列，公差為kd。若數列{an}與{bn}都為等差數列，則{an+bn}也為等差數列，

{an-bn}也為等差數列，

{pan+qbn}也為等差數列。

{an＋k}也為等差數列性質八練習1、等差數列{an}的前三項和為12，前三項積為48，求an。三個數等差的設法：a-d，a，a+d練習2、成等差數列的四個數之和為26，第二個與第三個數之積為40，求這四個數。四個數等差的設法：a-3d，a-d，a+d，a+3d公差為2d。性質九1、已知：數列的通項公式為an=6n-1問這個數列是等差數列嗎？若是等差數列，其首項與公差分別是多少？分析：由等差數列定義只需判斷an-an-1(n≥2，n∈N)的結果是否為常數。解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常數)∴{an}是等差數列，其首項為a1=6×1-1=5,公差為6.例題分析性質十、1、若一個數列的通項公式為n的一次函數an=pn+q,則這個數列為等差數列,p是公差d.2、非常數列的等差數列通項公式是關于n的一次函數.常數列的等差數列通項公式為常值函數。an=3n+5a1=8，d=313414811217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x1．下列說法中，正確的是()A．若{an}是等差數列，則{|an|}也是等差數列B．若{|an|}是等差數列，則{an}也是等差數列C．若存在自然數n使2an＋1＝an＋an＋2，則{an}是等差數列D．若{an}是等差數列，則對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2答案：

D3．方程x2＋6x＋1＝0的兩根的等差中項為________．答案：

－34．在等差數列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2＝__________.答案：

32.等差數列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-3a+2，則a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B5．在等差數列{an}中：(1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13；(3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15.解析：

(1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7，而a2＋a3＋a10＋a11＝48，∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2，即2a8－3a8＝2.∴a8＝－2.∴a3＋a13＝2a8＝－4.(3)∵a3＋a11＝2a7＝10，∴a7＝5.又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15.∴a2＋a4＋a15＝15.等差數列性質的應用(1)在等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求數列的通項公式；(2)設{an}為等差數列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.(1)先利用等差數列的性質轉化為求a2、a6，再求出首項a1和公差d，得出通項公式；(2)既可以先求a5，也可以通過首項與公差求解．[解題過程](1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5，∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9.∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的兩根若a2＝1，a6＝9,則d＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，則d＝－2.∴an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.方法二：因為{an}為等差數列，設首項為a1，公差為d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.[題后感悟]

求等差數列的通項公式，必須求出首項a1與公差d，為此，利用等差數列的性質，轉化為等差數列的兩項的方程組求解.等差數列的項與項數有著密切的聯系，由m＋n＝k＋l＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解決等差數列的有關問題中應用非常簡便．1．在等差數列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：

(1)根據已知條件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.[題后感悟]

(1)到目前為止，判斷一個數列{an}為等差數列的方法有：①定義法，即an＋1－an＝d；②通項公式法，即an＝An＋B；③等差中項法(無窮數列)，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)．(2)要證三個數a，b，c成等差數列，只需證2b＝a＋c即可，若已知三個數a，b，c成等差數列，則有2b＝a＋c.(1)三個數成等差數列，和為6，積為－24，求這三個數；(2)四個數成遞增等差數列，中間兩數和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數．[策略點睛][規范作答](1)方法一：設等差數列的等差中項為a，公差為d，則這三個數分別為a－d，a，a＋d，依題意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化簡得d2＝16，于是d＝±4，故這三個數為－2,2,6或6,2，－2.方法二：設首項為a，公差為d，這三個數分別為a，a＋d，a＋2d，依題意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，這三個數為－2,2,6或6,2，－2.(2)方法一：設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個數成遞增等差數列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個數為－2,0,2,4.即1－d2＝－8，化簡得d2＝4，所以d＝2或－2.又四個數成遞增等差數列，所以d＞0，所以d＝2，故所求的四個數為－2,0,2,4.[題后感悟]

利用等差數列的定義巧設未知量，從而簡化計算．一般地有如下規律：當等差數列{an}的項數n為奇數時，可設中間一項為a，再用公差為d向兩邊分別設項：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當項數