數理統計(工科研究生課程)主要內容:概率論基本內容復習(2學時)數理統計基本概念(4學時)參數估計(4學時)假設檢驗(6學時)回歸分析(8學時)方差分析(6學時)試驗設計初步（4學時）^7/20/20231目的和要求學習并掌握數理統計的基本內容,理論和方法學會用相應的統計方法分析和解決實際問題了解和掌握一些常用的統計工具^7/20/202321.概率的計算與性質2.常見的概率分布及其問題背景3.大數定律與中心極限定理第Ⅰ部分:概率論基本內容^7/20/202331.概率的計算與性質概率的計算途徑通常有以下幾種:古典概率計算幾何概率計算利用頻率（統計定義）主觀概率^7/20/202341.1古典概率計算計算公式:注意:1.使用該公式計算概率要求樣本空間具有等可能的有限個樣本點.2.n和m的計算通常需要利用排列組合知識.^7/20/20235經典古典概率問題主要有:德.梅爾(擲骰子)問題生日問題(分房問題)抽球問題產品抽樣等等^7/20/202361.2幾何概率計算計算公式:注意:

1.使用該公式計算概率要求樣本空間中的樣本點具有等可能性且充滿一個幾何體.2.分別表示相應幾何體的度量.^7/20/202371.3利用頻率用作為概率P(A)的近似值.注意:1.使用該公式得到的值只是概率的近似值,因此通常用于對隨機現象沒有更多了解時的情況.2.頻率與試驗次數n有關.但是頻率和概率不具備普通極限意義上的收斂關系,而是依概率收斂(大數定律).^7/20/202381.4主觀概率目前一個非常值得注意的研究方向,其哲學理念可以表述為”概率是人們對事件發生可能性的一種判斷,與人們的主觀意念有關”.對于隨機現象不能重復試驗的問題,可以利用專家經驗并根據對問題的觀察判斷給出事件發生可能性的估計.^7/20/202391.5概率的性質及常用公式前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年給出了概率的公理化定義,由此可以得到概率的諸多性質:如不可能事件的概率為零,有限可加性,逆事件的概率,單調性等等.在復雜事件的概率計算中,常用到加法公式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式等等.^7/20/2023102.常見的概率分布及其問題背景常用的概率分布有:二項分布泊松分布均勻分布指數分布正態分布^7/20/2023112.1二項分布

二項分布的實際背景是伯努利概型,即:每次試驗只有兩個結果A與,且P(A)=p,進行n次獨立重復的試驗,考慮事件A發生k次的概率.^7/20/202312一般來說,可以首先設則服從二項分布.這樣做的好處在于把二項分布變量分解為n個兩點分布變量的獨立和,在許多場合可以使得問題變得簡單.^7/20/202313例

某計算機主機有100個終端,每個終端有80%的時間被使用.若每個終端是否被使用是獨立的,求至少有15個終端空閑的概率.設則100個終端被使用的數目是由中心極限定理,至多有85個終端被使用的概率是^7/20/2023142.2泊松分布

泊松分布主要用于描述單位時間內某種事件發生次數比較稀少的情況.某地區一年內重大自然災害發生的次數;某商店在一周內銷售的某種貴重商品數量;某電話總機一分鐘內接到的呼叫次數;某種放射性物質在一秒鐘內放射出的粒子數;等等另外應注意,二項分布問題當n很大,p比較小時,可以利用泊松分布來近似計算概率.^7/20/2023152.3均勻分布均勻分布的實際背景是幾何概率問題,要求的條件是隨機變量的取值充滿一個幾何空間,且取值其每一點的可能性相同.體現了”均勻”的性質.這是連續型分布中比較簡單的一種分布,也是一種基本的分布,許多分布都可以由均勻分布利用一些變換和中心極限定理得到.^7/20/2023162.4指數分布指數分布主要用于描述壽命問題,如電子產品的使用壽命,某些生物的壽命,服務臺的等待時間等問題,有著廣泛的應用.注意:指數分布與其他分布的關系,如分布,泊松分布,正態分布等.^7/20/2023172.5正態分布正態分布是所有分布中最為重要的一個分布,實際背景極為廣泛,如成績分布,身高(某個年齡)分布,測量誤差分布等等.在滿足一定條件下是許多分布的極限分布(中心極限定理).密度函數具有很好的性質,概率計算最終歸結為查表.^7/20/2023183.大數定律與中心極限定理大數定律主要揭示滿足一定條件的隨機變量序列,其平均的漸近性質.中心極限定理描述了滿足一定條件的隨機變量,其獨立和的極限分布.^7/20/2023193.1大數定律貝努利大數定律:設為n重貝努利試驗中事件A發生的次數,p為每次試驗中A出現的概率,則對任意的,有其意義是:頻率將以概率收斂與概率.^7/20/2023203.2中心極限定理林德貝格-勒維中心極限定理:設是獨立同分布的隨機變量序列,且則對任意實數y,有^7/20/202321隸莫夫-拉普拉斯中心極限定理:設為n重貝努利試驗中事件A發生的次數,p為每次試驗中A出現的概率,則對任意實數y,有^7/20/202322練習題1.已知某產品的合格率是98%,現有一檢查系統,它對合格品能以0.98的概率判斷正確,對不合格品檢查時,有0.05的概率會判錯.求該系統錯判的概率.^7/20/2023232.一學生接連參加同一課程的兩次考試.第一次及格的概率是p,若第一次及格則第二次及格的概率也為p;若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2.(1)如果至少有一次及格他就能獲得某種資格,求他取得該資格的概率.(2)如果已知他第二次已經及格,求他第一次及格的概率.^7/20/2023243.有一大批產品,其驗收方案如下:先作第一次檢驗,從中任取10件產品,經檢驗無次品接受這批產品,次品數大于2拒收;否則作第二次檢驗,其做法是再從中任取5件產品,僅當其中無次品時接收.若產品的次品率是10%,求(1)這批產品經第一次檢驗就能接收的概率.(2)需做第二次檢驗的概率.(3)這批產品若按第二次檢驗的標準能被接收的概率.(4)產品在第一次檢驗未能作出決定且第二次檢驗時通過的概率.(5)這批產品被接收的概率.^7/20/2023254.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分計)服從指數分布,密度函數為Fx(x)=0.2exp(-x/5)(x>0)某顧客在窗口等待服務,若超過10分鐘,他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數.寫出Y的分布律并求P(Y>1).^7/20/2023265.一家公司在招收職員時,首先要通過兩項能力測試,在A項測試中,平均分是100分,標準差是15分;在B項測試中,平均分是400分,標準差是50分.一位應試者在A項測試得分115分,B項得分425分,問他的哪一項成績更好一些?注意:這類問題要轉化為標準分才可以比較.A項的標準分為1分,B項的標準分為0.5分.故A項成績要好一些.^7/20/2023276.某公司決定給職員發放“銷售代表獎”,計劃根據過去一段時期內的銷售狀況對月銷售額最高的5%的職員發放獎金.已知這段時期職員的月銷售額服從均值40000,方差360000的正態分布.問應把“銷售代表獎”的最低發放標準定為多少元?(相當于劃分數線)^7/20/2023287.某中外合資公司準備通過考試招工200名，其中180名正式工,，20名臨時工.報考人數為1684名，考試滿分為300分.閱卷后人事部門公布了如下信息：平均成績是178分，270以上的高分有32名.考生小王成績是233分，他能否被錄取？如被錄取能否是正式工？^7/20/2023298.電視臺需作節目A收視率的調查.每天在播電視的同時,隨機地向當地居民打電話詢問是否在看電視.若在看電視,再問是否在看節目A.設回答看電視的居民戶數為n.若要保證以95%的概率使調查誤差在10%之內,n應取多大？若使調查誤差在1%之內,n又取多大？每晚節目A播出一小時,調查需同時進行,設每小時每人能調查20戶,每戶居民每晚看電視的概率為70%,電視臺需安排多少人作調查.

^7/20/2023309.倉庫有100件商品，市場需求服從U[80,120]，(1)求供應量不能滿足