金融風險理論第4章波動率方法1單個資產的風險度量假設某種金融資產收益率r為隨機變量，其預期收益率即數學期望為μ，標準差為σ。σ也稱為波動系數，可反映資產收益率r偏離于其預期收益率即數學期望μ的幅度。所以，我們可用標準差σ來計量該資產的風險。σ越大，說明該資產收益率的波動性越大，從而面臨的市場風險越大。σ越小，說明該資產收益率的波動性越小，從而面臨的市場風險越小。2345波動率的定義某個變量的波動率σ定義為這一變量在單位時間內連續復利收益率的標準差.假設Si為市場變量的時間i的價格，每天的波動率為的標準差.研究證明在交易所開盤交易時的波動率比交易所關閉時的波動率要大很多，因此，當由歷史數據估計波動率時，分析員常常忽略交易所關閉的天數，在計算時通常假定每年有252個交易日.年波動率是日波動率的倍.方差被定義為波動率的平方.隱含波動率期權公式中唯一不能直接觀察到得一個參數就是股票價格的波動率。隱含波動率是交易員從期權價格隱含反推計算出的波動率。VIXIndex:AMeasureoftheImpliedVolatilityoftheS&P500VIX指數8匯率的日變化量是否服從正態分布RealWorld(%)NormalModel(%)>1SD25.0431.73>2SD5.274.55>3SD1.340.27>4SD0.290.01>5SD0.080.00>6SD0.030.00采用10年12種匯率的日變化來衡量是否服從正態分布。

計算每一個匯率的價格百分比變化的標準差；

計算有多少百分比變化超過1個標準差、2個標準差等。肥尾性匯率的每日變化量并不服從正態分布。所服從分布的尾部比正態分布的尾部要肥大；其峰值要比正態分布的峰值要高。肥尾分布所對應的極大及極小變化數量事件比在正態分布中相應數量要多。很多市場變量都有這種被稱為肥尾的特性。正態分布和肥尾分布正態分布的代替：冪律

Prob(v>x)=Kx-a

K和為常數。在分析很多市場變量的收益行為時，冪律似乎要比正態分布更好。因此可以畫出ln[Prob(v>x)]與lnx的關系曲線來快速檢驗等式的正確性。對應于匯率增量的log-log圖估計波動率的標準方法定義sn為第n-1天所估計的市場變量在第n天的波動率。定義Si為市場變量在第i天末的價格。定義第i天連續復利收益率波動率等于連續復利收益率的標準差簡化形式定義假定的均值為0；m-1被m代替；于是方差公式簡化為加權權重的格式對等權重進行改進

其中ARCH（m）模型在ARCH（m）模型中，我們也給長期平均方差設定權重：其中指數加權移動平均（EWMA）模型在指數加權移動平均模型中，其權重隨著回望時間加長而按指數速度遞減因此，更新波動率的公式為EWMA的誘人之處需要的數據相對較少。僅需記憶對當前波動率的估計以及市場變量的最新觀察值。對波動率進行跟蹤監測。RiskMetrics采用λ=0.94來更新每天波動率的估計。GARCH（1,1）在GARCH（1，1）中，我們賦予長期平均方差一定的權重因為權重之和為1，故有

令，可以將GARCH（1,1）模型寫成

其中這種模型的表達形式是為了估計參數。例10-8若每天長期平均方差為0.0002，對應的波動率為1.4%。假設對應于n-1天的日波動率估算值為1.6%，n-1天市場價格降低1%。則第n天的方差為新波動率的最新估計為每天1.53%。GARCH（p,q）廣義模型GARCH(p,q)中歷史波動率要用最近的q個，觀測值要用最近的p個，因此有其它模型許多其它的GARCH模型已被提出。比如，我們可以設計一個GARCH模型，使其賦予的權重依賴于的正負值。方差目標一種估計GARCH（1,1）參數的很好方法是所謂的方差目標。將長期平均方差設定為由數據計算出的抽樣方差。模型只需要估計兩個參數。最大似然估計法參數估計方法

巨估計法極大似然估計法選擇合適的參數使得數據發生的幾率達到最大構造似然函數對似然函數取對數對參數求導，并令其等于0解方程得到參數的最大似然估計例1隨機抽取某一天10只股票的價格，我們發現一只股票價格在這一天價格下降了，而其它9只股票的價格有所增加或至少沒有下跌，將任意股票價格下降的概率計為p。那么，一只股票價格下降的概率的最好估計為多少？概率為。使上式取最大值，觀察其最大似然估計：p=0.1。例2估計常數方差估計一個變量服從均值為0的正態分布的方差對求導，并令導數為0，得：GARCH（1,1）的應用在方差一定的條件下，ui的條件分布為正態分布。選擇參數，最大化下式其中日元匯率數據的計算DaySiuivi=si2-lnvi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568….24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833日元/美元日波動率：1988-1997EWMA模型的參數估計EWMA模型因為，我們只需估計一個參數。參數估計可以通過Excel軟件中的Solver功能實現。未來波動率的預測在n-1天結束時估算第n天得方差為因此在第n+t天的期望值為，因此經過一系列的代數過程，可得：估計一個期限為T天的期權的波動率，我們必須對即時方差求從0到T的積分。其中對于一個期限為T的期權，其年波動率為波動率期限結構期權的波動率和期權期限之間的關系被稱為波動率期限結構。

GARCH(1,1)模型允許我們預測波動率期限結構的改變。當σ(0)的變化量為Δσ(0)，GARCH(1,1)預測的σ(T)的相應變化量為波動性方法的優點含義清楚。應用比較簡單。波動性方法的不足對資產組合未來收益率概率分布的準確估計比較困難，普遍使用的正態分布常常偏離實際。波動性方法僅僅描述了資產組合未來收益的波動程度，并不能說明資產組合價值變化的方向。同靈敏度方法一樣，波動性方法也不能給出資產組合價值變化的具體數值。協方差和相關系數變量和的相關系數被定義為協方差為獨立性兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統計上被定義為獨立。如果成立，式中代表變量的概率密度函數，則V1和V2是相互獨立的。獨立性并不等同于0相關假定變量=-1，0，+1（等可能）；如果=-1或=+1，那么=1；如果=0，那么=0；可以清楚地看到和有某種關聯性，但是其相關系數為0。相關系數只是用于表達變量之間的某種相關性，這種相關性只是一種線性的關聯關系，而變量之間可以由許多不同形式的關聯關系。幾種不同的關聯形式a)線性關系；b)V形狀關聯關系；c)金融變量的相關性市場正常變化時，變量之間的關聯性很弱；在市場危機狀態時，所有的相關性趨向于1。監測相關系數定義及并且，：以第n-1天估計的X的日方差：以第n-1天估計的Y的日方差：以第n-1天估計的協方差相關系數為協方差第n天的協方差為經常被簡化為用m個觀察值為估計方差的估計第n天相關系數的估計值監測相關系數（continued）EWMA：GARCH（1,1）：和的二元正態分布假定兩個變量及服從二元正態分布，變量的某個觀察值為，在的條件分布為正態分布，期望值為標準差為其中及分別為及的期望值；及分別為及的標準差，為及的相關系數。多變量正態分布很容易處理。方差-協方差矩陣定義了方差和變量間的相關系數。要滿足內部一致性條件方差-協方差矩陣就必須是半正定的。生成隨機樣本在Excel中，采用指令=NORMSINV(RAND())來生成服從正態分布隨機數。首先生成兩個服從正態分布并且相互獨立的速記抽樣z1和z2然后，定義

就是二元正態隨機變量的隨機抽樣。對于產生多元聯合正態分布的隨機抽樣要采用Cholesky分解的方法。

因子模型對N個變量之間的相關性進行估計，我們需要估計N(N-1)/2個參數。采用因子模型進行估計，我們就可以減少估計參數的數量。單因子模型假設服從標準正態分布，可設其中共同因子和特異因子均服從標準正態分布，且相互獨立，Zi之間也相互獨立。和的相關系數為。多因子模型單因子模型可以推廣到M個因子其中共同因子

和特異因子均服從標準正態分布，相互獨立。和的相關系數為。高斯Copula模型假設我們希望在不服從正態分布的兩變量和

之間定義一種相關結構。我們將變量和映射到及上，這里的及均服從標準正態分布。這種映射為分位數與分位數之間的一一映射。假定和的聯合分布為二元正態分布。V間的相關結構是通過U間的相關結構定義的-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionV1V2-6-4-20例子V1和V2的邊際分布均為三角分布，兩個變量均介于0與1之間。V1V2V1到U1的映射進行分位數之間的一一映射，V1分布上1%的分位數被映射到U1分布上得1%分位數，2%映射到2%，等等。V1PercentileU10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2到U2的映射進行分位數之間的一一映射，V2分布上1%的分位數被映射到U2分布上得1%分位數，2%映射到2%，等等。V2PercentileU20.28?1.410.432?0.470.6680.470.8921.41計算聯合概率分布的例子和都小于0.2的概率等于和的概率。當Copula相關系數等于0.5時，

M（-0.84,-1.41，0.5）=0.043M是二元正態分布的累積分布函數。Copula函數的表達形式假定G1和G2分別為V1和V2的邊際概率分布函數，我們將V1=v1映射到U1=u1，V2=v2映射到U2=u2，映射方式如下

G1(v1)=N(u1)及G2(v2)=N(u2)

其中N為累積正態分布函數。因此，有變量U1和U2被假設為服從二元正態分布，Copula函數的主要特征就是在定義其相關結構時，V1和V2的邊際分布沒有改變。

其它Copula模型還有許多其它Copula函數可以用于描述相關結構。一種可能是二元學生t-分布。二元正態分布用二元學生t-分布代替。二元正態分布的5000個隨機樣本二元學生t-分布的5000個隨機樣本二元t-分布中兩個變量同時出現尾部值的情形要多于在二元正態分布中兩個變量同時出現尾部值的情形。二元t-分布的尾部的相關性要大于二元正態分布的尾部相關性。多元Copula函數類似地，我們可以對V1，V2，…，Vn定義Copula函數。我們將Vi映射到Ui，其中Ui服從標準正態分布（這里的映射是分位數之間的一一對應）。假定Ui服從多元正態分布。因子Copula模型在因子Copula模型中，變量Ui之間的相關結構通常被假定由一個或多個因子來決定。其中共同因子F和特異因子Zi均服從標準正態分布，且相互獨立，Zi之間也相互獨立。CreditDefaultCorrelationThecreditdefaultcorrelationbetweentwocompaniesisameasureoftheirtendencytodefaultataboutthesametime.Defaultcorrelationisimportantinriskmanagementwhenanalyzingthebenefitsofcreditriskdiversification.Itisalsoimportantinthevaluat