1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個(gè)存在一個(gè)、至少有一個(gè)符號(hào)____??【思考】常見(jiàn)的全稱量詞、存在量詞還有哪些？提示：常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”“凡是”等.常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某些”“有的”等.(1)定義和表示方法全稱量詞命題存在量詞命題定義含有_________的命題，叫做全稱量詞命題.含有_________的命題，叫做存在量詞命題.表示全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：_____________.存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：_____________全稱量詞?x∈M，p(x)存在量詞?x∈M，p(x)(2)本質(zhì)：全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.(3)應(yīng)用：全稱量詞、存在量詞是數(shù)學(xué)和日常生活中使用頻率很高的一種邏輯用語(yǔ)，數(shù)學(xué)中存在大量的全稱量詞命題和存在量詞命題.【思考】全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達(dá)的含義分別是什么？提示：元素x可以表示實(shí)數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合M是這些元素的某一特定的范圍，p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質(zhì)，也可以用q(x)，r(x)等符號(hào)表示.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題.(

)(2)存在量詞命題是陳述某集合中存在一個(gè)或部分元素具有某種性質(zhì)的命題. (

)(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞. (

)提示：(1)√.全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具有某一性質(zhì)，無(wú)一例外，強(qiáng)調(diào)“整體、全部”.(2)√.存在量詞命題中的存在量詞表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外，強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”.(3)×.有些命題雖然沒(méi)有寫(xiě)出全稱量詞，但其意義具備“任意性”，這類命題也是全稱量詞命題，如“正數(shù)大于0”即“所有正數(shù)都大于0”，故(3)說(shuō)法是錯(cuò)誤的.2.給出下列命題：(1)所有一次函數(shù)的圖象都是直線；(2)對(duì)頂角相等；(3)?x∈R，x2-4x+4≤0；(4)對(duì)任意的整數(shù)x，5x-1是整數(shù).其中全稱量詞命題是_______，存在量詞命題是_______.(填序號(hào))

【解析】(1)含有全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題；(2)省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題；(3)含有存在量詞符號(hào)“?”，是存在量詞命題；(4)含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題.答案：(1)(2)(4)

(3)3.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)判斷下列全稱量詞命題或存在量詞命題的真假：(1)?x∈Q，方程x-2=0有解.(2)至少有一個(gè)x∈R，使x能被5和8整除.(3)對(duì)于任意一個(gè)x∈Z，2x都是偶數(shù).【解析】(1)方程x-2=0的解為x=∈Q，所以此命題是假命題.(2)因?yàn)?0能被5和8整除，所以此命題是真命題.(3)對(duì)于任意一個(gè)x∈Z，2x一定能被2整除，一定是偶數(shù)，所以此命題是真命題.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一全稱量詞命題與存在量詞命題的識(shí)別(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.下列命題：①至少有一個(gè)x，使x2+2x+1=0成立.②對(duì)任意的x，都有x2+2x+1=0成立.③對(duì)任意的x，都有x2+2x+1=0不成立.④存在x，使x2+2x+1=0不成立.其中是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為 (

)2.下列命題：①有的平行四邊形是菱形；②任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0；③有一個(gè)角α，使sinα=；④凸多邊形的外角和等于360°；⑤所有正數(shù)都是實(shí)數(shù).其中是全稱量詞命題的為_(kāi)______，是存在量詞命題的為_(kāi)____.(填序號(hào))

3.用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題.(1)所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x+1>0成立.(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax+b=0恰有一個(gè)解.(3)一定有整數(shù)x，y，使得3x-2y=10成立.(4)所有的有理數(shù)x都能使x2+x+1是有理數(shù).【解析】1.選B.只有②③含有全稱量詞，是全稱量詞命題.2.①含有存在量詞“有的”，故為存在量詞命題；②含有全稱量詞“任何一個(gè)”，故為全稱量詞命題；③含有存在量詞“有一個(gè)”，故為存在量詞命題；④可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”，含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題；⑤含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題.答案：②④⑤

①③3.(1)?x∈R，x2+x+1>0.(2)?a，b∈R，ax+b=0恰有一解.(3)?x，y∈Z，3x-2y=10.(4)?x∈Q，x2+x+1是有理數(shù).【解題策略】判斷一個(gè)語(yǔ)句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.下列命題中為全稱量詞命題的是 (

)D.?x∈R，x2+x≤2【解析】選B.A、C、D是存在量詞命題，B可改寫(xiě)為“所有矩形都有外接圓”，是全稱量詞命題.2.下列命題中為存在量詞命題的是 (

)A.存在實(shí)數(shù)x>1，使x2>1D.?x∈N*，(x-2)2>0【解析】選A.A是存在量詞命題，B、C、D是全稱量詞命題.3.判斷下列語(yǔ)句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.(1)對(duì)任意的n∈Z，2n+1是奇數(shù).(2)有些三角形不是等腰三角形.(3)有的實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).(4)所有的正方形都是矩形.【解析】(1)含有全稱量詞“任意”，故為全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題.(3)含有存在量詞“有的”，故為存在量詞命題.(4)含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題.類型二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(邏輯推理)【典例】1.(2020·淄博高一檢測(cè))下列各命題中，真命題是(

)A.?x∈R，1-x2<0 B.?x∈N，x2≥1C.?x∈Z，x3<1 D.?x∈Q，x2=22.以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是(

)B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使>23.指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷真假.(1)有的集合中存在兩個(gè)相同的元素.(2)?a，b∈R，(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)存在一個(gè)x∈R，使=0.(4)對(duì)任意直角三角形的兩個(gè)銳角A，B，都有sinA=cosB.【思路導(dǎo)引】1.弄清R，N，Z，Q的含義，對(duì)于全稱量詞命題(選項(xiàng)A，B)，每個(gè)元素都滿足條件，才是真命題；對(duì)于存在量詞命題(選項(xiàng)C，D)，存在一個(gè)元素滿足條件，就是真命題.2.對(duì)于存在量詞命題，只要存在一個(gè)元素滿足條件，就是真命題.3.對(duì)于全稱量詞命題，必須每個(gè)元素都滿足條件，才是真命題；對(duì)于存在量詞命題，只要存在一個(gè)元素滿足條件，就是真命題.【解析】1.選C.A是假命題，例如當(dāng)x=0∈R時(shí)，1-x2=1>0；B是假命題，例如當(dāng)x=0∈N時(shí)，x2=0<1；C是真命題，例如當(dāng)x=0∈Z時(shí)，x3=0<1；D是假命題，x2=2解得x=±?Q.2.選B.A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x=0時(shí)，x2=0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因?yàn)?(-)=0，所以C是假命題；D中對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有<0，所以D是假命題.3.(1)是存在量詞命題，由集合中元素的互異性可知，此命題是假命題.(2)是全稱量詞命題，?a，b∈R，(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3是真命題.(3)是存在量詞命題.因?yàn)椴淮嬖趚∈R，使=0成立，所以該命題是假命題.(4)是全稱量詞命題，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，對(duì)任意直角三角形的兩個(gè)銳角A，B，都有sinA=cosB，是真命題.【解題策略】全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷的技巧(1)全稱量詞命題的真假判斷.要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”).(2)存在量詞命題的真假判斷.要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個(gè)x，使p(x)成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題.【題組訓(xùn)練】1.給出下列四個(gè)命題：(1)?x∈N*，(x-1)2>0.(2)?x∈R，x+2019<1.(3)有一個(gè)銳角α，使sinα=.(4)對(duì)任意非正數(shù)c，若a≤b+c，則a≤b.其中的真命題的個(gè)數(shù)是 (

)【解析】選C.(1)為假命題，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，(x-1)2=0.(2)為真命題，當(dāng)x=-2019時(shí)，x+2019=0<1.(3)為真命題，當(dāng)α=30°時(shí)，sinα=.(4)為真命題，對(duì)任意非正數(shù)c，總有b+c≤b，所以由a≤b+c，可得a≤b.2.指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.(1)存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使x2+y2=0.(2)所有有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形.(3)能被5整除的整數(shù)末位數(shù)是0.(4)所有的二次函數(shù)的圖象都是開(kāi)口向上的拋物線.【解析】(1)是存在量詞命題，因?yàn)楫?dāng)x2+y2=0時(shí)，x=y=0，所以不存在x，y為正實(shí)數(shù)，使x2+y2=0，故此命題是假命題.(2)是全稱量詞命題，有兩個(gè)角是45°的三角形，第三個(gè)角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命題是真命題.(3)是全稱量詞命題，因?yàn)?5能被5整除，但末位數(shù)不是0，因此該命題是假命題.(4)是全稱量詞命題，有的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，所以該命題是假命題.【補(bǔ)償訓(xùn)練】指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷真假.(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn).(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù).(3)任何數(shù)的0次方都等于1.【解析】(1)全稱量詞命題.在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題.(2)存在量詞命題.存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題.(3)全稱量詞命題.0的0次方無(wú)意義，所以該命題是假命題.類型三根據(jù)含有量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】1.已知集合A={x|1≤x≤2}，若命題“?x∈A，一次函數(shù)y=x+m的圖象在x軸上方”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.

2.若命題“?x∈R，使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路導(dǎo)引】1.先求出x+m的取值范圍，根據(jù)題意求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2+2x-1=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】1.當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1+m≤x+m≤2+m，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=x+m的圖象在x軸上方，所以1+m>0，即m>-1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m>-1}.答案：{m|m>-1}2.由題意得，關(guān)于x的方程ax2+2x-1=0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)a=0時(shí)，方程為2x-1=0，顯然有實(shí)數(shù)根，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0.綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥-1}.【變式探究】將本例2的方程改為“x2+2x+2=m”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】依題意，方程x2+2x+2-m=0有實(shí)數(shù)解，所以Δ=4-4(2-m)≥0，解得m≥1.【變式探究】利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí)，常與不等式恒成立有關(guān)，可根據(jù)有關(guān)代數(shù)恒等式(如x2≥0)，確定參數(shù)的取值范圍.(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問(wèn)題來(lái)處理，可借助根的判別式等知識(shí)解決.【變式探究】1.已知命題p：“?x∈R，mx2≥0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______

.

【解析】當(dāng)x∈R時(shí)，x2≥0，若“?x∈R，mx2≥0”是真命題，則有m≥0.答案：m≥02.若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.

【解析】當(dāng)m≤5時(shí)，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題.答案：m≤5【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知命題p：“?x≥3，使得2x-1≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______

.

【解析】因?yàn)楫?dāng)x≥3時(shí)，2x-1≥5，所以若“?x≥3，使得2x-1≥m”是真命題，則m≤5.答案：m≤5課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列命題不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是(

)A.有一個(gè)x∈R，使得x2>3成立B.對(duì)有些x∈R，使得x2>3成立C.任選一個(gè)x∈R，使得x2>3成立D.至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3成立【解析】選C.原命題是存在量詞命題，而選項(xiàng)C中的命題是全稱量詞命題.2.下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是 (

)①?x∈R，x2>0；②?x∈R，x2≤0；③平行四邊形的對(duì)邊平行；④矩形的任一組對(duì)邊相等.

【解析】選C.①含有全稱量詞符號(hào)“?”，為全稱量詞命題，②含有存在量詞符號(hào)“?”，為存在量詞命題，③隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題，④隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題.3.下列存在量詞命題中，是假命題的是 (

)A.?x∈Z，x2-2x-3=0B.至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除D.?x∈R，=x【解析】選C.A中，x=-1滿足題意，是真命題；B中，x=6滿足題意，是真命題；C中，所有的三