編高等數(shù)學(xué)高

等數(shù)學(xué)Higher

Derivatives一、高階導(dǎo)數(shù)的定義、實(shí)例、定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例、直接法、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、間接法三、小結(jié)1、定義及物理意義;2、運(yùn)算法則(萊氏公式);3、求導(dǎo)法:直接法,間接法練習(xí):第103頁(yè).1.⑴⑺;2.5.7.8(4)。思考題設(shè)一階導(dǎo)函數(shù)g￠(x)連續(xù),且f

(x)=(x

-a)2

g(x),求f

￠(x).作業(yè):第103

頁(yè).1.⑷⑿;

9.

10(2).課前練習(xí).11.

若f

(xx x

-

1)=(

)2，則f

￠(x)=若y

=

3

x

3

arcsin

x

+

(

x

2

+

2)

1

-

x

2，則y￠=

.若y

=

f

(

x

2

y)，

則y￠=

.44.

xy2

+

arctan

y=

p

，則y￠(0)

=

.x令t

=1

,t則

x

=

11t

-

1f

(t

)

=

(

t

)2=12(1

-

t

)21(1

-

x)21\

f

(

x)

=\f

￠(

x)

=

-

2(1

-

x) (-1)

=

2(1

-

x)4

(1

-

x)3x

-

1)2，則f

￠(

x)

=

(1

-

x)3

.)

=

(11.

若f

(xx￠則y

=

.2.

若y

=

3

x

3

arcsin

x

+

(

x

2

+

2)

1

-

x

2，y￠=

9

x

2

arcsin

x

+

3

x

31

-

x

2+

2

x

1

-

x

2

+

(

x

2

+

2)

-

x

1

-

x

2=

9

x

2

arcsin

x19

x

arcsin

x23.

若y

=

f

(

x

2

y)，

則y￠=

1

-

x

2

f

￠(

x

2

y)

.y￠=

f

￠(

x

2

y)

(

x

2

y)￠=

f

￠(

x

2

y) (2

xy

+

x

2

y￠)2

xyf

￠(

x

2

y)\

y￠=1

-

x

2

f

￠(

x

2

y)2

xyf

￠(

x

2

y)44.

xy2

+

arctan

y

=

p

，則y￠(0)

=

-

2

.y(0)=

1y

2

+

2

xyy￠+y￠=

01

+

y

21x

=0,y(0)=1代入上式則

y￠(0)

=

-2、實(shí)例⑴政治問(wèn)題:1998年４月底，印度的《人民報(bào)》頭

版頭條報(bào)道了印度國(guó)防部長(zhǎng)提出的：中國(guó)威脅論，并抱怨議會(huì)削減了國(guó)防預(yù)算。但是，正如印度在

野黨的議員在1998年5月27日所反駁的：議會(huì)僅僅只是削減了國(guó)防預(yù)算增長(zhǎng)的變化率。用數(shù)學(xué)的話來(lái)說(shuō)，預(yù)算的一階導(dǎo)數(shù)仍然是正的（即預(yù)算仍舊是增長(zhǎng)的），只是二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)了（即預(yù)算的增長(zhǎng)率變緩了）。同樣，在2003年非典時(shí)期，4月20日前用的詞語(yǔ)是“控制”，4月20日后用的詞語(yǔ)是“遏制”，請(qǐng)問(wèn)您理解這兩個(gè)詞語(yǔ)的差別嗎？⑵經(jīng)濟(jì)問(wèn)題:另外，薩繆爾遜在《經(jīng)濟(jì)學(xué)》中的一段話（設(shè)“總效用”指的是對(duì)消費(fèi)某些商品的總的滿意程度）：當(dāng)消費(fèi)同類商品時(shí)，總效用（心理上）就會(huì)增加，但是，……，隨著新的商品的不斷涌現(xiàn)，你的總效用會(huì)按照越來(lái)越慢的速度增長(zhǎng)，這是一個(gè)根本傾向促成的，即你鑒賞更多的商品的心理能力變的更遲鈍。⑶物理問(wèn)題：變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。Dv

=

v(t

+

Dt

)

-

v(t

)已知一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為v

=v(t

)求t

時(shí)刻的加速度a(t

)tt

+

Dttv

=

v(t

)

v

=

v(t

+

Dt

)Dv

=

v(t

+

Dt

)

-

v(t

)Dt

Dt平均加速度t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度

v(t

)

=

s

(t

)\

a(t

)

=

v

(t

)

=

[s

(t

)]

=

s

(t

)2例如:對(duì)自由落體而言s(t

)=1

gt

2v(t

)

=

s

=

gta(t

)

=

s

=

gDt

fi

0

Dta(t

)

=

lim

Dv

=

v

(t

)存在,則稱(f

￠(x))￠為f

(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù).1.2、定義⑴二階導(dǎo)數(shù)

若f

(

x)的導(dǎo)數(shù)f

￠(

x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),即(

f

￠(

x))￠=

lim

f￠(

x+

Dx)

-

f￠(

x)Dx

fi

0Dx記作.d

2

f

(

x)f

￠(

x),

y￠,dx

2d

2

ydx

2或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),.y￠,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),f

￠(x),dx

3d

4

yd

3

y.dx

4(

4

)(

4

)f

(

x),

y

,⑵三、四階導(dǎo)數(shù)的n階導(dǎo)數(shù),記作f

(

n

)

(

x),

y(

n

)

,dxn

dxnd

n

y

d

n

f

(

x)或

.⑶n

階導(dǎo)數(shù)一般地,

f

(

x)的n

-

1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為f

(

x)=

(n-1

)d

n-1

ydxn

dx

dxd

n

y

d求高階導(dǎo)數(shù)的類型：⑴求具體階導(dǎo)數(shù)⑵求n階導(dǎo)數(shù){二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)地,f(x)稱為零階導(dǎo)數(shù),f'(x)稱為一階導(dǎo)數(shù).①一般函數(shù)高階導(dǎo)②隱函數(shù)高階導(dǎo)*③抽象函數(shù)高階導(dǎo){2.1、直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)。⑴基本初等函數(shù)①冪函數(shù)y

=x

n的高階導(dǎo)數(shù).y￠=

nx

n-1

y￠=

n(n

-

1)

xn-2y￠

=

n(n

-

1)(n

-

2)

xn-3y(

n)

=

n(n

-

1)3

2

1x0

=

n!y(

n+1)

=

0(

xn

)(

n+1)

=

0(

xn

)(

n)

=

n!如：(

x8

)(8)

=

8!(

x8

)(9)

=

0(

x8

)(10)

=

0(n

?

1)特別:

(

xa

)(

n

)

=

a

(a

-

1)(a

-

n

+

1)

xa

-n②指數(shù)函數(shù)的y

=a

x

的高階導(dǎo)數(shù).y￠=

a

x

ln

ay￠=

a

x

(ln

a)2y￠

=

a

x

(ln

a)3y(

n)

=

a

x

(ln

a)n特別地,

(e

x

)(

n

)

=

e

x

.例如:由①②有函數(shù)中的不倒翁..y

=

x8

+

2x

,則y(10)

=2

x

(ln

2)10③對(duì)數(shù)函數(shù)y

=ln(1

+x)的高階導(dǎo)數(shù).1

+

xy￠=1(1

+

x)21y￠=

-(1

+

x)32!y￠

=(1

+

x)4y(4)

=

-3!(n

?

1, 0!=

1)(1

+

x)ny(

n)

=

(-1)n-1

(n

-

1)!注意:求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫(xiě)出n

階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)④三角函數(shù)sin

x,cos

x的高階導(dǎo)數(shù).若y

=sin

x,則y

=

cos

x

=

sin(

x

+

p)2y￠=

cos(

x

+

)p

=2

2p2sin(

x

+

+2p)=

sin(

x

+

2

p)22y￠

=

cos(

x

+

2

p)

=

sin(

x

+

3

p)2y(

n)

=

sin(

x

+

n

p)2(cos

x)(

n)

=

cos(

x

+

n

p)同理可得⑤反三角函數(shù)y

=arctan

x的高階導(dǎo)數(shù).例如設(shè)y

=arctan

x,求f

￠(0),f

￠(0).1

+

x

21y￠=)￠1

+

x

21y￠=

(-

2

x=(1

+

x

2

)2-

2

x2(3

x

2

-

1)y￠

=

(

2

)￠=(1

+

x

2

)

(1

+

x

2

)3x

=0

=

0;(1

+

x

2

)2-

2

x\

f

￠(0)

=x

=02(3

x

2

-

1)f

￠(0)

=(1

+

x

2

)3=

-2.⑵抽象函數(shù)★例1

已知y

=xf

(),其中f二階可導(dǎo),求y￠.1x解y￠=

f

(

1

)

+

xf

￠(

1

)

(-

1

)x

x

x2=

f

(

1

)

-

1

f

￠(

1

)x

x

xf

￠(

1

)

-

1

f

￠(

1

)(-

1

)x

x

x

x2y￠=

f

￠(

1

)

(-

1

)

+

1x x

2

x2f

(

)xx3=

1

￠

1例2解設(shè)y

=e

-x

sin

x,求y￠.y￠=

-e-

x

sin

x

+

e-

x

cos

x=

e-

x

(cos

x

-

sin

x)y￠=

-e-

x

(cos

x

-

sin

x)

+

e-

x

(-

sin

x

-

cos

x)=

-e-

x

(2

cos

x)=

-2

cos

xe-

x⑶函數(shù)四則運(yùn)算例3

設(shè)

y

=

eax

sin

bx

(a,

b為常數(shù)),

求y(

n

)

.解

y

=

ae

ax

sin

bx

+

be

ax

cos

bx=

e

ax

(a

sin

bx

+

b

cos

bx))a

2

+

b2

sin(bx

+

j)

(j

=

arctanba=

e

ax[aeax

sin(bx

+j)

+

beax

cos(bx

+j)]y￠=

a2

+

b2=

a2

+

b2a2

+

b2

sin(bx

+

2j)eaxeax

sin(bx+nj)

(j

=

arctanny(n)

=(a2

+b2

)2)ba2.2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)u和v具有n階導(dǎo)數(shù),則(u

–

v)(

n)

=

u(

n)

–

v

(

n)(Cu)(

n)

=

Cu(

n)(3)

(u

v)(

n

)2!=

u(

n

)

v

+

nu(

n-1)v￠+

n(n

-

1)

u(

n-2

)v￠+

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

u(

n-k

)v

(

k

)

+

+

uv

(

n

)k!nk

=0nC

u

vk

(

n-k

) (

k

)=萊布尼茲公式例4

設(shè)y

=x

2e

2

x

,求y(20).解設(shè)u

=e

2

x,v

=x

2

,則由萊布尼茲公式知(

x

2

)￠+

0+

20(20

-

1)

(e2

x

)(18

)2!(

x

2

)y(

20

)

=

(e

2

x

)(

20

)

x

2

+

20(e

2

x

)(19

)2+

20

19

218

e

2

x2!x

2

+

20 219

e

2

x

2

x=

220

e

2

x=

220

e

2

x

(

x

2

+

20

x

+

95)2.3、間接法利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過(guò)四則運(yùn)算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù)。常用高階導(dǎo)數(shù)公式xn(n)(5)

(lnx)

=(-1)n-1

(n-1)!)2(2)

(sinkx)(n)

=

kn

sin(kx

+

np2(4)(xa

)(n)

=a(a-1)(a-n+1)xa-n(3)

(cos

kx)(

n)

=

kn

cos(kx

+

n

p)(1)(ax

)(n)

=ax

lnn

a

(a

>0)特別(ex

)(n)=exn+1n!1n(n)(

)

=(-1)xx例5

設(shè)

y

=1,求y(5).x

2

-

11解1-

)1=

1

(x

2

-

1

2

x

-

1

x

+

1

y

=]-

5!-

5!\

y(

5

)-=

1

[