第十三章軸對稱第11課時《軸對稱》單元復習目數學01知識要點02對點訓練03精典范例錄04變式練習知識點一:軸對稱及軸對稱圖形的相關知識(1)一個圖形沿著一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能夠

,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線叫做

.

(2)把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個圖形完全

,那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱.這條直線叫做

.折疊后重合的點是對應點,叫做

.

對稱點

對稱軸

重合

對稱軸

知識要點

互相重合

(3)如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的

.

(4)在平面直角坐標系中,關于x軸對稱的點的橫坐標

,縱坐標

;關于y軸對稱的點的橫坐標

,縱坐標

.

(5)方法指引:注意軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯系.軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應點所連線段的

.

垂直平分線

相等

互為相反數

互為相反數

相等

垂直平分線

1.(全國視野)(2020山西)自新冠肺炎疫情發生以來,全國人民共同抗疫,各地積極普及科學防控知識,下面是科學防控知識的圖片,圖片上有圖案和文字說明,其中的圖案是軸對稱圖形的是(

)對點訓練

D

2.如圖,∠A＝30°,∠C'＝60°,△ABC與△A'B'C'關于直線l對稱,則∠B的度數為(

)A.30° B.60° C.90° D.120°

C

3.(全國視野)(2021揚州模擬)如圖,點P為∠AOB內部的點,點P關于OA,OB的對稱點P1,P2的連線交OA,OB于M,N兩點,連接PM,PN,若P1P2＝2,則△PMN的周長為

.

2

4.點P(2,1)關于x軸對稱的點P'的坐標是

.

5.若點A關于y軸對稱的點是(2,3),則點A的坐標為

.

(－2,3)

(2,－1)

∵

,

∴直線m是線段AB的垂直平分線.知識點二:垂直平分線的性質及判定(1)定義:經過線段的

且與線段

的直線,叫做線段的垂直平分線.

如圖1,

CA＝CB,直線m⊥AB于C

垂直

中點

∵CA＝CB,直線m⊥AB于C,點P是直線m上的點,∴

.

(2)性質:線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離

.

如圖2,

PA＝PB

相等

∵PA＝PB,直線m是線段AB的垂直平分線,∴

.

(3)判定:與線段兩個端點距離相等的點在線段的

上.

如圖3,

點P在直線m上

垂直平分線

6.如圖,AC⊥BC,DE是AB的垂直平分線,∠CAE＝30°,則∠B＝

°.

30

7.如圖,在△ABC中,BC＝4,AB的垂直平分線交AC于點D,若AC＝6,則△BCD的周長為

.

10

8.如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,交BC于D,交AC于E,△ABD的周長為16cm,AC＝6cm,求△ABC的周長.解:∵△ABD的周長為16

cm,∴AB+BD+AD＝16

cm,又∵DE垂直平分AC,∴AD＝CD,又AC＝6

cm,∴△ABC的周長為AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝22

cm.知識點三:等腰三角形的性質及判定

等腰三角形的性質(1)等腰三角形的兩個底角

.(簡寫成“

”)

(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的

、底邊上的

互相重合.(簡寫成“

”)

三線合一

高

中線

等邊對等角

相等

等邊三角形的性質(5)等邊三角形是

的特殊的等腰三角形.

(6)等邊三角形的三個內角都

,并且每一個內角都等于

.

60°

相等

等腰三角形的判定(3)定義:有兩邊

的三角形叫做等腰三角形.

(4)判定定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也

.(簡寫成“

”)

三邊都相等

等角對等邊

相等

相等

含30°角的直角三角形的性質(10)在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于

.

等邊三角形的判定(7)由等邊三角形的定義判定:三邊都

的三角形是等邊三角形.

(8)三個角都

的三角形是等邊三角形.

(9)有一個角是

的等腰三角形是等邊三角形.

斜邊的一半

60°

相等

相等

9.(全國視野)(2021杭州模擬)如圖,在△ABC中,AC＝AD＝BD,∠B＝28°,則∠CAD的度數為

.

68°

10.如圖,在△ABC中,∠B＝90°,∠BAC＝60°,AB＝1,D是BC邊延長線上的一點,并且∠D＝15°,則CD的長為

.

2

11.如圖,已知AB∥CD,AC平分∠DAB.求證:△ADC是等腰三角形.證明:∵AB∥CD,∴∠BAC＝∠DCA,∵AC平分∠DAB,∴∠BAC＝∠DAC,∴∠DAC＝∠DCA,∴AD＝CD,∴△ADC是等腰三角形.12.【例1】下列英文字母中,是軸對稱圖形的是(

)精典范例

B

21.下列交通標志,不是軸對稱圖形的是(

)變式練習

C

小結:利用角平分線和垂直平分線得到∠B的度數,再運用30°角所對直角邊等于斜邊的一半求解.13.【例2】如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠CAB的平分線交BC于D,DE是AB的垂直平分線,垂足為E.若BC＝3,則DE的長為(

)A.1

B.2

C.3

D.4

A

22.如圖,在△ABC中,AB＝AC,AB的垂直平分線交AC于點E,交AB于D,若△BCE的周長為8,且AC－BC＝2,則AB＝

.

5

小結:關于y軸對稱的點的坐標特征是縱坐標相同,橫坐標相反.14.【例3】若點M(a,－3)與點N(1,b)關于y軸對稱,則a＝

,b＝

.

－3

－1

23.若點(m+3,－4)和點(－4,n+1)關于x軸對稱,則m+n＝

.

－4

小結:求出各個角的度數可得答案.A.3個

B.4個C.5個

D.6個15.【例4】如圖,在△ABC中,AB＝AC,D,E是BC上兩點,∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°,等腰三角形有(

)

D

A.①③④

B.①②③④

C.①②④

D.①③24.如圖,在三角形中,AB＝AC,則經過三角形的一個頂點的一條直線能夠將這個三角形分成兩個小等腰三角形的是(

)

A

小結:利用等邊對等角可以得到角相等,再利用等角對等邊得到答案.16.【例5】如圖,在△ABC中,AB＝AC,點E在CA的延長線上,EP⊥BC于點P,交AB于點F,若AF＝2,BF＝3,則CE的長度為

.

7

25.如圖,在△ABC中,BE平分∠ABC,過點E作DE∥BC交AB于點D,若AE＝3cm,△ADE的周長為10cm,則AB＝

.

7

cm

小結:充分運用30°角所對直角邊等于斜邊的一半求解.17.【例6】如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,CD⊥AB,垂足是D,若AB＝8cm,則AD＝

cm.

2

26.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,AD⊥AC交BC于點D,AD＝3,則BC＝

.

9

18.【例7】如圖,在△ABC中,AC＝4,BC＝8,AB的垂直平分線交BC于點D,點E是垂足,求△ACD的周長.解:∵AB的垂直平分線交BC于點D,∴DA＝DB,∵△ADC的周長＝DA+DC+AC,∴△ADC的周長＝DB+DC+AC＝BC+AC,而AC＝4,BC＝8,∴△ADC的周長＝8+4＝12.小結:運用線段垂直平分線的性質定理求解.27.如圖,∠ACB＝90°,DE垂直平分AB,∠CAE＝∠EAB,求∠B的度數.解:∵DE垂直平分AB,∴AE＝BE,∴∠EAB＝∠B,∵∠CAE＝∠EAB,∴∠CAB＝2∠B,∵∠C＝90°,∴∠CAB+∠B＝90°,∴∠B＝30°.19.【例8】如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點D,DE∥BC.求證:△EBD是等腰三角形.證明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC.∵DE∥BC,∴∠EDB＝∠DBC,∴∠EDB＝∠ABD,∴BE＝ED,即△EBD是等腰三角形.小結:角的平分線和平行線結合可得等腰三角形.28.如圖,在△ABC中,AB＝4cm,AC＝6cm.(1)作圖:作BC邊的垂直平分線分別交AC,BC于點D,E;(用尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,連接BD,求△ABD的周長.解:(1)如圖,DE即為所求作.答案圖(2)∵DE是BC邊的垂直平分線,∴BD＝DC.∵AB＝4

cm,AC＝6

cm,∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC＝4+6＝10

cm.20.【例9】如圖,△ABC是等邊三