滬科版九年級上冊數學反比例函數的綜合應用探究反比函數的找規律問題有關循環規律的探索求數列：1，－2，－3，1，－2，－3，……第2020項是幾？∵數列按照：1，－2，－3三個數一個周期排列；解2020÷3＝673……1∴第2020項為第674個周期的第一個數為：1確定周期數列中第n項的方法：①找準周期；②取n除以周期長度的余數；③余幾就是周期的第幾個數．求出B點坐標分析確定點A、C、D坐標找周期確定最終位置如圖，正方形ABCD的對稱軸為坐標軸，反比例函數y＝

經過正方形的兩個頂點，一個粒子從點A開始，沿著A→B→C→D方向以2個單位每秒的速度循環運動，探索第2020秒時是否落在反比例函數上．例OxyABCD解答因為點B在反比例函數y＝

上，設B（b，b），b×b＝4，b＝2，根據正方形關于坐標軸對稱可知：A（2，－2），C（－2，2），D（－2，－2），第1秒，粒子運動到點：(2，0)；第2秒，粒子運動到點：(2，2)第3秒，粒子運動到點：(0，2)；第4秒，粒子運動到點：(－2，2)第5秒，粒子運動到點：(－2，0)；第6秒，粒子運動到點：(－2，－2)第7秒，粒子運動到點：(0，－2)；第8秒，粒子運動到點：(2，－2)B（2，2）（2，2）（2，－2）（-2，2）（-2，-2）如圖，正方形ABCD的對稱軸為坐標軸，反比例函數y＝

經過正方形的兩個頂點，一個粒子從點A開始，沿著A→B→C→D方向以2個單位每秒的速度循環運動，探索第2020秒時是否落在反比例函數上．例OxyABCD（2，－2）（2，2）（-2，2）（-2，-2）解答第9秒，粒子運動到點：(2，0)粒子的運動周期為8秒2020÷8＝252……4，所以第2020秒運動到點C的位置(－2，2)，不在反比例函數y＝

的圖象上．利用反比函數圖象上的點的特征求出題中點的坐標，解決點的循環規律，要先通過計算出前幾步操作的點坐標，然后找出內在規律，再利用商和余數求出點在第幾個周期，第幾個位置．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y＝－x－1，雙曲線y＝

，在l上取一點A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點B1，過B1作y軸的垂線交l于點A2，請繼續操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點B2，過B2作y軸的垂線交l于點A3，…，這樣依次得到l上的點A1，A2，A3，…，An，…．記點An的橫坐標為an，若a1＝2，則a2＝________，a2020＝_______．例解答yxOlA1B1A2B2A3∵點A1的橫坐標為2，且在一次函數y＝－x－1上又∵A1B1垂直x軸，∴點A1的坐標為（2，-3）∴點B1的橫坐標為2∵點B1在反比例函數y＝上∴點B1的坐標為尋找點的變化規律分析（2，-3）根據一次函數與反比例函數解析式求出前幾個點的坐標如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y＝－x－1，雙曲線y＝

，在l上取一點A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點B1，過B1作y軸的垂線交l于點A2，請繼續操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點B2，過B2作y軸的垂線交l于點A3，…，這樣依次得到l上的點A1，A2，A3，…，An，…．記點An的橫坐標為an，若a1＝2，則a2＝________，a2020＝_______．例解答2yxOlA1B1A2B2A3（2，-3）至此可以發現本題為循環規律，3次一循環，∵2020＝3×673＋1；∴a2020＝a1＝2；∵2020＝3×673＋1；∴a2020＝a1＝2；對于循環規律類型，要多求出幾種特殊情況從而發現循環規律并確定周期，再利用商和余數求出點在第幾個周期，第幾個位置．有關遞進規律的探索數列：1，

，

，2，

…的第2020項是幾？……第1個數為：1＝第2個數為：第3個數為：第4個數為：2＝第5個數為：第n個數為：第2020個數為：等差型：等比型：其它型：2，4，6，8……1，3，9，27……1，

，

，2，……解題方法：先將數列的形式統一，然后注意前一項和后一項在數字部分上的差別，注意數和形的特征，找出遞進規律.如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，過A1，A2，A3，A4，A5…分別作x軸的垂線與反比例函數y＝

的圖象交于點P1，P2，P3，P4，P5…并設△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面積分別為S1，S2，S3…Sn，按此作法進行下去，則Sn的值為___（n為正整數）例OxyA1A2A3A4A5P1P2P3P4P5分析觀察面積變化規律找到遞推公式解答因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，又因為OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…以此類推，本題為反比函數比例系數k求面積的典型例題，其中抓住面積不變，以及求三角形面積時，當高不變，底縮小到原來的幾分之幾，面積也縮小到原來的幾分之幾．如圖，點P1（x1，y1），點P2（x2，y2），c，點Pn（xn，yn）在函數y＝

（x＞0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x軸上（n是大于或等于2的正整數），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例分析尋找點P1、P2、P3……Pn橫縱坐標之間的變化規律分別過點P1、P2

…Pn作x軸垂線解答如圖，過點P1作P1M⊥x軸OyxA1A2A3P1P2P3M∵△OP1A1是等腰直角三角形，N∴P1M＝OM＝MA1設P1的坐標是（a，a），∴A1的坐標是（6，0）.把（a，a）代入解析式y＝

（x＞0）中，得a＝3，（6，0）如圖，點P1（x1，y1），點P2（x2，y2），…，點Pn（xn，yn）在函數y＝

（x＞0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x軸上（n是大于或等于2的正整數），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例解答又∵△P2A1A2是等腰直角三角形，OyxA1A2A3P1P2P3M設P2的縱坐標是b，則P2的橫坐標是6＋b，N把（6＋b，b）代入函數解析式得b＝，解得b＝

－3，∴A2的橫坐標是6＋2b＝6＋

－6＝

，（6，0）

如圖，點P1（x1，y1），點P2（x2，y2），…，點Pn（xn，yn）在函數y＝

（x＞0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x軸上（n是大于或等于2的正整數），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例解答OyxA1A2A3P1P2P3MN根據等腰三角形的性質得到：y1＋y2＋…＋yn等于An點橫坐標的一半，故答案為：同理可以得到A3的橫坐標是

，An的橫坐標是∴y1＋y2＋…＋yn＝本題考查了反比例函數的綜合應用，涉及了點的坐標的規律變化，解答本題的關鍵是根據等腰三角形的性質結合反比例函數解析式求出P1，P2，P3的坐標，從而總結出一般規律.（6，0）

反比例函數在跨學科中的應用行程類路程＝速度×時間在路程不變的情況下，速度與時間成反比工程類工作總量＝工作效率×工作時間工作量一定時，工作效率與工作時間成反比銷售類總價＝單價×數量總價一定時，單價和數量成反比物理使勁踩氣球時，氣球為什么會爆炸？

Q化學氣體的壓強P（Pa）氣體的體積V(m3)×＝k（k為常數，k>0）PV＝k（k為常數，k＞0）反比例函數如果用力踩氣球，氣球的體積會變小，壓強會變大．當壓強大到一定程度時，氣球便會爆炸.在化學的試驗中，溶質質量＝溶液質量×濃度，在溶質質量不變的情況下，加的水越多，濃度越低，這也能解釋，為什么在杯子里放入同等質量的糖，加的水越多，越不甜的道理．例一定質量的氧氣，它的密度ρ（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數，當V＝10m3時，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ與V的函數關系式；（2）求當V＝2m3時求氧氣的密度ρ．分析將V和ρ的數值代入設解答當V＝10m3時，ρ＝1.43kg/m3，即m＝，（1）設ρ＝

，所以1.43＝

，所以ρ與V的函數關系式是ρ＝

；求m值例一定質量的氧氣，它的密度ρ（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數，當V＝10m3時，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ與V的函數關系式；（2）求當V＝2m3時求氧氣的密度ρ．解答（2）當V＝2m3時，所以當V＝2m3時