第五節 向量積 混合積~

兩向量的向量積二 兩向量的混合積設O

為一根杠桿L的支點，有一力F

作用于這杠桿上P

點處。力F

與OP

的夾角為q

，力F對支點O

的力矩是一向量M

，它的模

|

M

|=|

OQ

||

F

|=|

OP

||

F

|

sinqM

的方向垂直于OP

與F

所決定的平面,

指向符合右手系。實例LPQOFq一、兩向量的向量積

向量a

與b

的向量積為c

=a

·b

1.

定義

(1)

a

·

a

=

0

(q

=

0

sinq

=

0)

(2)

a//

b

a

·

b

=

0

(a

?

0,

b

?

0)|

c

|=|

a

||

b

|

sinq

(其中q

為a

與b

的夾角)c

的方向既垂直于a

，又垂直于b

，指向符合右手系。向量積也稱為“叉積”、“外積”。關于向量積的說明：

a

·

b

=

-b

·

a（1）（2）

(a

+

b

)·

c

=

a

·

c

+

b

·

c（3）若l

為數：

(l

)·

b

=

a

·(lb

)

=

l(a

·

b

)a|

a

·

b

|=|

a

||

b

|

sinq

=

02.

向量積符合下列運算規律證：(|

b

|?

0

()

//ba\

sinq

=

0,)

·b

=

0, |

|?

0,a

aq

=

0,a

b//

\

sinq

=

0\q

=0或p

a

=

axi

+

ay

j

+

azk

,b

=

bxi

+

by

j

+

bzk設x

y

zx

y

z

a

·b

=

(a i

+

a j

+

a

k

)·(b i

+

b j

+

b

k

)i

·

i

=

j

·

j

=

k

·

k

=

0i

·

j

=

k

,

j

·

k

=

i

,

k

·

i

=

jj

·

i

=

-k

,

k

·

j

=

-i

,

i

·

k

=

-

j

=

(aybz

-

azby

)i

+

(azbx

-

axbz

)

j

+

(axby

-

aybx

)k3.

向量積的坐標表達式向量積還可用三階行列式表示

i

j

ka

·b

=

ax

ay

azbx

by

bza

b//

axbx

by

bza=

zay=由上式可推出z0

0

bx

yay

az=

=

a

=

0,

a

=

0例如，ax補充|

a

·b

|表示以a

和b

為鄰邊的平行四邊形的面積。bx

、by

、bz

不能同時為零，但允許兩個為零。ab

c

=

a

·

b例1

設a

=

{2,3,-1}，b

=

{1,2,3}求a

·

b解：=

{11,

-

7,

1}a

·

b

=

2

i

j

k3

-

1

=

11i

-

7

j

+

k1

2

3例

2

在頂點為A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C(1,3,-1)的三角形中，求AC

邊上的高BDABC解：DAC

=

{0,4,-3}AB

=

{4,-5,0}三角形ABC的面積為152

+

122

+

162S

=

1

|

AC

·

AB

|

=

12=

252

2|AC

|=

42

+

(-3)2

=

52S

=

1|

AC

|

|

BD

|25

=

1

5

|

BD

|2

2\

|

BD

|=

5

1.

定義

設已知三個向量a

、b

、c

，數量(a

·b

)

c[abc

]稱為這三個向量的混合積，記為

二、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義

的一個數，它的絕對值表示以向量a

、b

、c

為棱的平行六面體的體積關于混合積的說明ab

[abc

]=(a

·b

)

c

是這樣a

·

b

c

y

zxa

a

a[abc

]

=

(a

·

b

)

c

=

bx

by

bzcx

cy

cza

=

axi

+

ay

j

+

azk b

=

bxi

+

by

j

+

bzkc

=

cxi

+

cy

j

+

czk2.

混合積的坐標表達式

（3）三向量a

、b

、c

共面

abc

]

=

0[

（2）[abc

]=

(a

·b

)

c

=

(b

·

c

)

a

=

(c

·

a

)

b解:

[(a

+

b

)·(b

+

c

)] (c

+

a

)

[a

·b

+

a

·c

+

b

·b

+

b

·c

)] (c

+

a

)=

=

(a

·b

)

c

+

(a

·c

)

c

+

0

c

+

(b

·c

)

c

+

(a

·b

)

a

+

(a

·c

)

a

+

0

a

+

(b

·c

)

a=

0=

0=

0=

0

=

(a

·

b

)

c[abc

]

=

2已知

計算

[(a

+

b

)·(b

+

c

)]

(c

+

a

)例3=

2(

a

·b

)

c

=

2[abc

]

=

4例

4

已知空間內不在一平面上的四點A(x1

,y1

,z1

)、B(x2

,y2

,z2

)、C(x3

,y3

,z3

)、D(x4

,y4

,z4

),

求四面體的體積。解：由立體幾何知，四面體的體積等于以向量AB、AC

、AD為棱的平行六面體的體積的六分之一6V

=

1

[

AB

AC

AD]

AB

=

{

x2

-

x1

,

y2

-

y1

,

z2

-

z1

}AC

=

{

x3

-

x1

,

y3

-

y1

,z3

-

z1

}x4

-

x1

y4

-

y