高考大題研究課五數列的綜合題型一等差數列、等比數列的綜合問題例1[2023·河北衡水模擬]設等比數列an的前n項和為Sn，已知Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝(1)求數列an(2)已知數列cn是等差數列，且c1＝a1，c3＝S2，設bn＝an·cn，求數列bn的前n項和T[聽課記錄]題后師說等差數列、等比數列的綜合問題是新高考命題的熱點之一，對這類問題應重點分析等差、等比數列項之間的關系．數列的求和主要是等差、等比數列的求和、裂項相消法求和及錯位相減法求和．鞏固訓練1[2023·河南洛陽模擬]已知數列an是公差大于1的等差數列，前n項和為Sn，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比數列(1)求數列an(2)若bn＝n2Sn+nan，求數列b題型二數列與不等式的綜合問題例2[2023·山東煙臺模擬]已知數列an的前n項和為Sn，a1＝12，當n≥2時，Sn2＝anS(1)求Sn；(2)設數列2nSn的前n項和為Tn，若λTn≤n2+9·2n恒成立[聽課記錄]題后師說鞏固訓練2[2022·安徽十校聯考]已知數列an滿足a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2n≥2且n∈N*，且a(1)求數列an(2)設數列2nan-1an+1-1的前n項和為Tn題型三數列中的結構不良試題例3[2023·河北滄州模擬]已知數列an滿足a1＝2，前n項和為Sn，且an＋1＋an＝3×2n(1)寫出a2，a3，并求出數列an(2)在①bn＝log2anan+1+λ；②bn＝log2(Sn＋λ)這兩個條件中任選一個補充在下面橫線中，并加以解答．若數列bn滿足________，求實數注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分．[聽課記錄]題后師說結構不良試題是近幾年新高考命題的新題型，對這類題型的解法是：先定后動，先對題目中確定的條件進行分析推斷，再觀察分析“動”的條件，結合題干要求選出最適合自己解答的條件求解．鞏固訓練3[2023·山東濟南歷城二中模擬]在“①an＋1>an，a3a10＝44，a4＋a9＝15；②S7＝5a6，a2＝3；③2Sn＝n(n＋3)”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數列an的前n項和為Sn，且________(1)求an(2)若bn＝1anan+1，求bn的前n項和為Tn，求證：真題展臺1.[2022·新高考Ⅱ卷]已知{an}是等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個數．2．[2021·全國甲卷]已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列{an}是等差數列；②數列{Sn}是等差數列；③a2＝3a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．3．[2021·浙江卷]已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝－94，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．高考大題研究課五數列的綜合例1解析：(1)因為Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，所以Sn－1＋Sn＝3an－2(n≥2)，兩式相減可得an＋an＋1＝3an＋1－3an(n≥2)，整理得an＋1＝2an(n≥2)，∵n＝1時，a1＋S2＝3a2－2?2a1＋a2＝3a2－2?2a2＝4?a2＝2，∴a2＝2a1，所以公比q＝2，即數列an是以1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝2n－1(2)易知c1＝a1＝1，c3＝S2＝3，所以公差d＝3-12＝1，所以cn＝n，所以bn＝an·cn＝n·2n－1，因為Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，則2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，兩式相減可得Tn＝n·2n－20+21+…+2n-1＝n·2n－1-2n1-2＝(n－1)·2n＋1.鞏固訓練1解析：(1)設等差數列的公差為d，由a2＝a1＋d＝3，得a1＝3－d，所以a1＋1＝4－d，a3－1＝a1＋2d－1＝d＋2，a6－3＝a1＋5d－3＝4d，由題意有(d＋2)2＝4d(4－d)，得5d2－12d＋4＝0且d>1，得d＝2，∴a1＝3－2＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)所以Sn＝a1+anbn＝n2Sn+nan＝所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13+13-15例2解析：(1)當n≥2時，Sn2＝anSn－an，所以Sn2＝Sn-Sn-1Sn－Sn-Sn-1，整理得：SnSn－1＝Sn－1－Sn，即1Sn-1Sn-1＝1.所以數列1Sn是以1S(2)由(1)知，2nSn＝(n＋1)·2n，所以Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n①，所以2Tn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1②，①－②得，－Tn＝4＋22+23+…+2n－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，所以Tn＝n·2n＋1，所以λTn≤n2+9·2n，即λn·2n＋1≤n2+9·2n，即λ≤n2+92n＝n2+9鞏固訓練2解析：(1)因為a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2，所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－2，兩式相減得an＋1＝2an(n≥2)，當n＝2時，a1－a2＝－2，又a2＝4，所以a1＝2，a2＝2a1，所以an＋1＝2ann∈N所以an是首項為2，公比為2的等比數列所以an＝2nn∈N(2)證明：2nan-1a所以Tn＝12-1-122-1+122-1-123-1＋…＋12n-1所以1－12綜上，23≤Tn例3解析：(1)由an＋1＋an＝3×2n得：a2＝3×2－a1＝4；a3＝3×22－4＝8；猜想可得：an＝2n；當n＝1時，a1＝2滿足an＝2n；假設當n＝k時，ak＝2k成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝3×2k－ak＝3×2k－2k＝2k·(3－1)＝2k＋1成立，綜上所述：當n∈N*時，an＝2n.(2)若選條件①，bn＝log22n·2n+1+若bn為等差數列，則bn＋1＋bn－1＝2bn即log222n+3+λ＋log222n-1+λ＝∴22n+3+λ·22n-1+λ＝22n+1+λ2，整理得：22n+3+22n-1即22n－1·17λ＝22n＋2·λ，∴17λ＝8λ，解得：λ＝0，則存在實數λ＝0，使得bn若選條件②，Sn＝21-2n1-2＝2n＋∴bn＝log22n+1若bn為等差數列，則bn＋1＋bn－1＝2bn∴log22n+2-2+λ＋log22n-2+λ＝2log2(2n＋1－2∴2n+2-2+λ·2n-2+λ＝2n+1-2+λ2，整理得：2n+2+2n(λ－2)＝即5(λ－2)·2n＝(λ－2)·2n＋2，∴5(λ－2)＝4(λ－2)，解得：λ＝2，則存在實數λ＝2，使得bn為等差數列鞏固訓練3解析：(1)若選擇①，因為an＋1>an，a3a10＝44，a4＋a9＝15，a3＋a10＝a4＋a9，解得a3＝4，a10＝11，設公差為d，則有a3＝a1＋2d＝4，a10＝a1＋9d＝11，解得a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1.若選擇②，設公差為d，S7＝7a4＝5a6，即7a1+3d＝5結合a2＝a1＋d＝3，解得a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1.若選擇③，當n＝1時，a1＝S1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nn+32-n-1n+2當n＝1時亦滿足上式，所以an＝n＋1.(2)證明：由(1)得bn＝1anan+1＝所以Tn＝12-13+13因為1n+2>0，(n∈N*)，所以12-所以Tn<12真題展臺——知道高考考什么？1．解析：(1)證明：設等差數列{an}的公差為d.由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1.由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，所以a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，所以a1＋d－2b1＝d－a1.整理，得a1＝b1，得證．(2)由(1)知d＝2b1＝2a1.由bk＝am＋a1，知b1·2k－1＝a1＋(m－1)·d＋a1，即b1·2k－1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k－1＝2m.因為1≤m≤500，所以2≤2k－1≤1000，解得2≤k≤10.故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個數為9.2．解析：①③?②.已知{an}是等差數列，a2＝3a1.設數列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋nn-12d＝n2a因為數列{an}的各項均為正數，所以Sn＝na所以Sn+1-Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1(常數)①②?③.已知{an}是等差數列，{Sn}是等差數列設數列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋nn-12d＝12n2d＋因為數列{Sn}是等差數列，所以數列{Sn}的通項公式是關于n的一次函數，則a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3②③?①.已知數列{Sn}是等差數列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1設數列{Sn}的公差為d，d>0，則S2-S1得a1＝d2，所以Sn＝S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關于n的一次函數，所以數列{an}是等差數列．3．解析：(1)由4Sn＋1＝3Sn－9①，得4Sn＝3Sn－1－9(n≥2)②.①－②，得4an＋1＝3an(n≥2)，即an＋1＝34an(n≥2)由題意，得4(a1＋a2)＝3a1－9，a1＝－94，解得a2＝－27經驗證，a2＝34a1，所以an＋1＝34a所以{an}是以－94為首項，34所以an＝－94×34n-1(2)由3bn＋(n－4)an＝0，得bn＝－n-43an＝(n－4)×3所以Tn＝－3×34－2×342－1×343＋…＋(n－4則34