淺談幾何概型的分類及應用安陽縣第二高級中學分校 張興洲摘 要本文先介紹了幾何概型的定義，列舉出幾何概型的分類并對每種分類作詳細闡述，通過實際問題，詳細表明其各種分類的具體應用及優點．關鍵詞：幾何概型；幾何度量；測度．Abstractthis article introduced first thegeometrygenerally definition, enumeratesthegeometrygenerally classification andmakesthedetailed elaboration toeachkindofclassification,throughtheactualproblem,indicatesitseachkindofclassifiedindetailtheconcreteapplicationandthemerit.Keyword:Geometrygenerally;Geometrymeasure;Measure.目錄正文---------------------------------------------------------------------11幾何概型的定義---------------------------------------------------------3幾何概型的定義-------------------------------------------------------3幾何概型的兩個特點---------------------------------------------------3幾何概型的三個基本性質-----------------------------------------------42幾何概型的分類和計算---------------------------------------------------3區間模型——僅涉及一個變量x-----------------------------------------4---3---3平面模型——涉及兩個變量x,y-----------------------------------------3空間模型——涉及三個變量x,y,z----------------------------------------53幾何概型的應用---------------------------------------------------------3幾何概型在生活中的應用-----------------------------------------------3幾何概型在工業中的應用-----------------------------------------------3幾何概型在教學、解題中的應用 -----------------------------------------3參考文獻----------------------------------------------------------------34致謝-------------------------------------------------------------------361幾何概型的定義幾何概型是概率與數理統計中最基本的問題之一，因而有必要進行深入探討和歸納．幾何概型的定義設Ω是某個可度量的區域（可以是一維、二維、三維）。若一個隨機試驗可歸納為向Ω中隨機地投入一點M，點M落在Ω中任一點是等可能的，即點M落在Ω的某一子區域A內的概率與A的幾何量成正比，而與A的行政和位置無關，則稱這樣的概率模型維幾何概率概型，簡稱幾何概型．對于幾何概型試驗，若記“點M落在A內”為事件A，則事件A的概率公式為P(A)=m(A)/m(Ω),其中m表示區域的幾何度量（可以是長度、面積、體積等）．幾何概型的兩個特點1）在一次隨即試驗中，不同的試驗結果（基本事件）有無限多個；2）每一個基本事件發生的可能性相等．幾何概型的三個基本性質1）對于任何事件A,P(A)≥0;2）P(Ω)=1；3）若A1,A2An兩兩互不相容，(A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).則PA1第一個性質稱為概率的非負性，第二個性質稱為概率的規范性，第三個性質稱為概率的（由限）可加性．幾何概型的分類和計算由幾何概型計算公式 P(A)=d的測度 (分母不為0)可知，幾何概型的計算與測度即幾的測度何度量有直接的關系，而幾何度量又可分為長度度量，面積度量，體積度量，角度度量等不同情況，所以根據幾何度量的不同可把幾何概型分為測度為長度的幾何概型，測度為面積的幾何概型，測度為體積的幾何概型和測度為角度的幾何概型．而測度為長度的幾何概型和測度為角度的幾何概型都只涉及一個變量，稱為區間模型；測度為面積的幾何概型因涉及兩個變量又稱為平面模型；測度為體積的幾何概型又稱為空間模型．區間模型——僅涉及一個變量 x例1如圖1，∠AOB=600，，，在線段OB上任取一點C，試求：OA=2OB=5AOC為鈍角三角形的概率．解析先看使AOC為直角三角形的情況：(1)若∠OCA=0，則；若∠90OC=1(2)OCA=0，則．如圖，C1和C2分別是適合以上兩種情況的點，它們均在線段上，90OC=4COB由題意知，當點C在線段OC1或C2B內時，AOC為鈍角三角形．故D的測度=OB=5，d的測度=OC1C2B=l+l=2．從而，AOC為鈍角三角形的概率P=2.5點評對測度為線段長度的問題，在畫圖分析時要完整地、準確地把握構成所求事件的樣本空間所對應的線段，防止遺漏或以偏蓋全．例2設m在[o，5]上隨機地取值，求方程有x2mxm10有實根的概率．m142解：一元二次方程x2mx0有實數根△m1)42=m2m2m2=(m+1)(m-2)≥，則≤一1或≥，故所求概率4(2omm24P=2,5的長度＝3．0,5的長度5例3在ABC中，∠B=600,∠C=450，高AE=3，在∠內作射線AM交BACBC于M，求BM<l的概率．解析如圖2，射線AM在∠BAC內是等可能分布的，當AM與高AE重合時，BM=l，故滿足BM<l的射線AM在∠BAE內．于是D的測度=∠BAC=1800(60045)750，d的測度=∠BAE=600300302755點評若將本題的“在∠BAC內作射線AM交BC于M”改為“在線段BC上取點M”，則測度由“角度”變為線段的“長度”，所以對于背景相似的問題，要仔細研讀，認真辨析，注意區別．例4 已知等腰三角形 ABC，C＝900，在直角邊BC上任取一點M，求 CAM＜ 300的概率．分析如圖，在CB上取點M0,使∠CAM0=300，則區域D為線段CB的長，為線段CM0的長．解：在CB上取點M0使∠CAM0=300＝，則CM0＝333333CM3a3故PC(∠CAM0=300)=03．CBa3例5如圖，以等腰直角A三角形的直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相關，則截得的弦長不小于直角邊的概率是多少?解設等腰直角三角形的直角邊長度為1，“以其直角頂點為圓心作圓，這個圓與斜邊相關，截得的弦長不小于直角邊”為事件B．要使這個圓與斜邊相關，則此圓半徑最短為2，最長為1；2要保證事件B發生，則此圓半徑最短為圖4中的CN=(1)2(2)23，最長為1，d22233，D的測度=12，∴P(B)=1236的測度=12223．22222212平面模型——涉及兩個變量x,y例6在區間(0，1)上隨機取兩個數u﹑v求關于的一元二次方程x2vxu0有實根的概率．分析：設事件A表示方程x2vxu0有實根，因為u﹑v是從(0，1)中任意取的兩個數，所以點(u，v)與正方形D內的點一一對應，其中D一{(u，v)0<v<1，0<u<1}，事件A＝{(u，v)v－4u≥0，(u，v)∈D)，有利事件A的樣本點區域為圖1中陰影部分A，A＝{(u，v)v－4u≥0，0<v<1，0<u<1}，有P(A)=SA1.SD8例7從(0，2)中，隨地取兩個數；兩數之和小的概率．分析：設兩數分別為x，y，則樣本空間D＝{(x,y)0<x<2，0<y<2}，A表示兩數之和小于，則

A＝{(x,y)

x+y＜,(x,y)

D}(圖

2)，P(A)=

SA

=.SD例8在一張打上方格的紙上投一枚直徑為2的硬幣，方格邊長要多少才能使硬幣與線不相交概率小于.分析如圖7，取一個方格，設邊長為 x，（x＞2），當硬幣與線不相交是，圓心到線段不超過1，即圓心只能在圖中陰影部分內才與邊界不相交，設有利事件 A，則P(A)=陰影部分＝(x2)2＜.方格部分x2∵0＜x≤2時，硬幣必與線相交．∴只需x＞2時，上式成立，即x2＜2.10∴當邊長x＜時，才能使硬幣與線不相交概率小于．例9設點(p,q)在p≤3,q≤3中按均勻分布出現，試求方程x22pxq210的兩根都是實數的概率．解析根據一元二次方程有實數根的充要條件找出p，q的約束條件，進而確定區域的測度，如圖3，基本事件總數的區域D的測度為正方形面積，即D的測度=62．由=36方程x22pxq210的兩根都是實數，得(2p)24(q21)0，所以p2q2≥1.所以當點(p，q)落在如圖所示的陰影部分時，方程的兩根均為實數，由圖可知，區域d的測度=＝36所以原方程兩根都是實數的概率P=36．正方形SS36點評本題綜合了代數、幾何及概率等方面的相關知識，理解和分析時要注意數與形的結合和相互轉化．例10在集合{(x,y)0≤x≤5，0≤Y≤4}內任取一個元素，能使xy190成立4312的概率是多少?解：如圖1，集合{(x,y)0≤z≤5，0≤y≤4}為矩形內點的(包括邊界)suo所有點的集合，集合{(x,y)xy190}表示矩形內直線l:xy190上方(包括直線)43124312所有點的集合．134故所有概率為S陰影＝2＝3S矩形4510例11分別在區間「1，6」和「2，4」內任取一實數，依次記為m和n，求m﹥n的概率．分析題中涉及兩個變量，議題意得到這兩個變量的一組約束條件，可以考慮建立平面直角坐標系，轉化為與面積有關的幾何概型問題．解：由已知得1≤m≤6,2≤n≤4,m＞n.設點P所在區域坐標為（m，n）（m＞n），則點14）2P=S梯形EFDC（23。P所在區域為圖3中陰影部分，因此所求概率2S矩形ABCD255答：m＞n的概率為3．5評注：當實際問題涉及兩個變量時，可利用平面坐標系來討論例12在區間(0，1)中隨機地取兩個數，則兩數之和大于且小于1．5的概多少?分析本題是在區間(0，1)中隨機地取兩個數為，且兩數是相互獨立的，是典型的二維空間問題．解:設在區間(O，1)中隨機地取兩個數為x,y，即0<x<1,0<y<1,其對應區域如圖1所示，正方形的面積為D=1；令“兩數之和大于且小于”為事件A,即<x+y<，設陰影部分的面積為d=1-1?13,P(A)=d3.224D4空間模型——涉及三個變量x,y,z例13正方形，在正方體內隨機取點，求使四棱錐ABCDA1B1C1D1的棱長為1MABCD的體積小于1的概率．6分析需求四棱錐MABCD的高h的變化范圍．解：設點M到平面ABCD的距離h，則四棱錐MABCD的體積為1?。若＜1,由底面1,h＜1,所以帶你M到平面ABCDVMABCD3S矩形ABCDhVMABCD6SABCD2的距離小于1時，VMABCD＜1.26∴滿足點M到平面ABCD的距離小于1的點組成以ABCD為底且高為1的長方體，其2 2體積為1．2又正方體ABCD A1B1C1D1的體積為1.1∴所求概率P=2 1.1 2答：使四棱錐M ABCD的體積小于1的概率為1．6 2評注：為了求出所有符合條件的點，需要找到一個符合條件的界點，這里體現了點、線、面、體的相互轉化．本題的測度為幾何體的體積，解題的關鍵是對四棱錐 M—ABCD的高h的變化范圍的探求 ．解決幾何概型問題關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．（1）當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段比計算：（2）當考察對象為點，點的活動范圍在平面區域內時，用面積計算：（3）當考察對象為點，點的活動范圍在空間區域時，用體積計算：（4）當考察對象為線時，一般用角度比計算．對于幾何概型問題的求解 ,關鍵是理解題意,定好測度,把握所求事件對應的區域 ,注意與代數、幾何等相關知識的聯系，掌握常見數學思想方法在解題中的靈活運用 ．幾何概型的應用幾何概型在生活中的應用例14兩人約好在某地相會，兩人隨機地在7點到8點時間內到相會點，假設先到的人最多等對方15分鐘，求兩人能相會的概率．解析：設兩人到達相會點的耐問分剮7點為x分鐘和7點y分鐘，則點(x，y)與正方形D內點一一對應，其中D={(x，y){x0<x≤60,0<y≤60}，有利事件A={(x，y)S陰602－（6027x-y15,(x，y)∈D}(圖3)，P(A)=＝15）S正602＝16這是典型的約會問題，人們在生活中經常遇到，但不知道怎么解決，而用幾何概型來解舊簡單多了，因為是涉及兩個變量的幾何模型，所以為面積幾何概型，用面積幾何概型可以很簡單的解決．例15小明家定了一份報紙，送報人可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到小明家，小明爸爸離開家去工作的時間在早上7：00至8：00之間，求小明的爸爸在離開家前能得到報紙的概率．分析本題涉及兩個變量，可利用平面直角坐標系研究。當小明的爸爸離家去工作的時刻晚于送報人把報紙送到小明家的時刻時，小明爸爸能得到報紙．解：為了方便作圖，記 6：30為0時，設送報人把報紙送到小明家的時刻為 x，小明的爸爸離開家的時刻為 y，則0≤x≤60，30≤y≤90(單位：分鐘)．只要y≥x,小明的爸爸離家前舊能得到報紙。在平面直角坐標系中作上述區域（如圖）．由圖可知區域D=S矩形ABCD602,區域d五邊形212.∴所求概率P=d117．21()2D2287．答：小明的爸爸離開家之前能得到報紙的概率為8評注：平面直角坐標系是解決涉及兩個變量的問題的重要工具，把實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵，如本題是把“小明的爸爸能看到報紙”轉化為兩個時刻的關系 yx.例16某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過7分鐘的概率．分析每個乘客可在相鄰兩班車之間的任何一個時刻到達車站，因此每個乘客到達車站的時間t可以看成是均勻落在長為10分鐘的時間區域0,10上的一個隨機點，等待時間不超過7分鐘則是指點落在區間3,10上．解：設上一輛車于時刻 T1到達，而下輛車于時刻 T2到達，線段T1T2的長度為10.設T是線段T1T2上的點，且TT2的長度等于7，如圖1所示．記等車時間不超過 7分鐘為事件A，事件A發生即點t落在線段TT2上，由D=T1T2＝10，d＝TT2＝，得d7．7P(A)=10D幾何概型在工業中的應用例17在一個底面為正方形的容器內撒入1000粒豆子，數得落在正方形內切圓內的豆子數為785粒，試估計圓周率的近似值．解析 首先利用頻率估計豆子落入圓內的概率，再根據幾何概型求出這個概率 ,根據這兩個概率相等來估計圓周率 的近 似值．記“豆子落入正方形 內切圓”為事件 A，則P(A)=圓的面積＝R2(其中R為圓的半徑，為圓周率)，豆子落人內(2R)2正方形的面積4切圓的頻率m785,由于1000數目較大，所以有P(A)m，即所以n10004785410003.140．故估計圓周率 的近似值是3．140．點評 一般地，向正方形內撒豆子的數目越大，頻率越接近概率，由此估計的 值就越精確 ．例18用橡皮泥做成一個直徑為6cm的小球，假設橡皮泥中混入了一個很小的沙粒，試求這個沙粒距離球心不小于lcm的概率．解:設“沙粒距離球心不小于lcm”為事件A，球心為O，沙粒位置為M，則事件A發生，即

OM≥lcm．設

R=3，r=