二維傅里葉變換二維傅里葉變換的定義二維傅里葉變換：F二維傅里葉逆變換：f原理解釋：二維傅里葉變換的具體積分區間取決于函數f(x,y)的定義域。x，y的積分順序可交換，因此對f(x,y)做二維傅里葉變換，相當于對兩個方向分別做一維傅里葉變換，此外，傅里葉變換的一大特點就是它是線性變換，即信號線性組合的傅里葉變換等于它們各自傅里葉變換的線性組合。離散傅里葉變換：由于實際信號通常位離散信號，且處理的信號也不可能是無限長的。因此對離散二維信號的處理使用的是離散二維傅里葉變換。離散二維傅里葉變換：F 離散傅里葉逆變換為

f傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。一維的傅里葉變換表示的含義是，原信號變換為不同頻率的正弦波信號的線性組合。而推廣到二維，則表示將原信號變換為復平面上不同方向和頻率的正弦波信號的線性組合。變換結果中，越靠近原點，頻率越低，越遠離原點，頻率越高在圖像處理中，對圖像的二維離散傅里葉變換將圖像從圖像空間變換到頻域空間，從而可利用傅里葉頻譜特性進行圖像處理。坐標軸意義是頻率，越靠近原點，頻率越低，對應于圖像中像素值變化速度比較慢的部分；越遠離原點，頻率越高，對應于圖像中像素值變化速度快的那部分。對圖像作二維離散傅里葉變換，得到的結果一般來說靠近原點周圍比較亮，遠離原點比較暗，也就是這張圖像里低頻部分的分量多，高頻部分的分量少，原因是圖像大部分都是顏色相近，灰度相近的區域。

二．二維傅里葉變換的性質 線性定理F空間縮放F 3.位移定理空間位移:原函數在空域中的平移,相應的頻譜函數振幅分布不變.頻率位移:原函數在空間域的相移,導致頻譜的位移。Parseval定理-∞信號的能量由F(u,v)2曲線下面積給出，或者說等于各頻率分量的能量之和。F(u,v)2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率卷積定理F三．對圖像進行二維離散傅里葉變換由此可看出，二維離散傅里葉變換是一維離散傅里葉變換在二維上的推廣，上面的圖形可看做一維方波信號在二維上的推廣。而變換得到的結果也可看出是一維傅里葉變換在二維上的推廣。附MATLAB代碼：i=imread('cameraman.tif'); %讀入原圖像文件figure(1); %設定窗口imshow(i); %顯示原圖像colorbar; %顯示圖像的顏色條title('原圖像') %圖像命名j=fft2(i); %二維離散傅立葉變換k=fftshift(j); %直流分量移到頻譜中心l=log(abs(k)); %數字圖像的對數變換figure(2); %設定窗口imshow(l,[]); %顯示原圖像colorbar; %顯示圖像的顏色條title('經過二維快速傅立葉變換后的圖像')%圖像命名n=ifft2(j)/255; %逆二維快速傅里葉變換figure(3); %設定窗口imshow(n); %顯示原圖像colorbar; %顯示圖像的顏色條title('經過二維快速傅立葉逆變換后的圖像')%圖像命名m=fftshift(j); %直流分量移到頻譜中心RR=real(m); %取傅立葉變換的實部II=imag(m); %取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR.^2+II.^2); %計算頻譜幅值A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225;%歸一化figure(4); %設定窗口