多元線性回歸模型第1頁，課件共67頁，創作于2023年2月引子:

中國汽車的保有量會達到1.4億輛嗎?中國經濟的快速發展，使居民收入不斷增加，數以百萬計的中國人開始得以實現擁有汽車的夢想，中國也成為世界上成長最快的汽車市場。中國交通部副部長在中國交通可持續發展論壇上做出預測:“2020年，中國的民用汽車保有量將比2003年的數字增長６倍，達到1.4億輛左右”。是什么因素導致中國汽車數量的增長?影響中國汽車行業發展的因素并不是單一的，經濟增長、消費趨勢、市場行情、業界心態、能源價格、道路發展、內外環境，都會使中國汽車行業面臨機遇和挑戰。2第2頁，課件共67頁，創作于2023年2月分析中國汽車行業未來的趨勢,應具體分析這樣一些問題：中國汽車市場發展的狀況如何？（用銷售量觀測）影響中國汽車銷量的主要因素是什么？

（如收入、價格、費用、道路狀況、能源、政策環境等）各種因素對汽車銷量影響的性質怎樣？（正、負）各種因素影響汽車銷量的具體數量關系是什么？所得到的數量結論是否可靠？中國汽車行業今后的發展前景怎樣？應當如何制定汽車的產業政策？很明顯，只用一個解釋變量已很難分析汽車產業的發展,還需要尋求有更多個解釋變量情況的回歸分析方法。

怎樣分析多種因素的影響？3第3頁，課件共67頁，創作于2023年2月第三章多元線性回歸模型

本章主要討論:●多元線性回歸模型及古典假定●多元線性回歸模型的估計●多元線性回歸模型的檢驗●多元線性回歸模型的預測4第4頁，課件共67頁，創作于2023年2月第一節

多元線性回歸模型及古典假定本節基本內容:

一、多元線性回歸模型的意義二、多元線性回歸模型的矩陣表示三、多元線性回歸中的基本假定

5第5頁，課件共67頁，創作于2023年2月一、多元線性回歸模型的意義例如:有兩個解釋變量的電力消費模型其中:為各地區電力消費量；為各地區國內生產總值（GDP）；為各地區電力價格變動。模型中參數的意義是什么呢?

6第6頁，課件共67頁，創作于2023年2月多元線性回歸模型的一般形式一般形式：對于有個解釋變量的線性回歸模型模型中參數是偏回歸系數，樣本容量為偏回歸系數：控制其它解釋量不變的條件下，第

個解釋變量的單位變動對應變量平均值的影響。7第7頁，課件共67頁，創作于2023年2月指對各個回歸系數而言是“線性”的，對變量則可是線性的，也可是非線性的例如：生產函數取自然對數多元線性回歸8第8頁，課件共67頁，創作于2023年2月的總體條件均值表示為多個解釋變量的函數總體回歸函數也可表示為:

多元總體回歸函數9第9頁，課件共67頁，創作于2023年2月

的樣本條件均值表示為多個解釋變量的函數或其中回歸剩余（殘差）：多元樣本回歸函數10第10頁，課件共67頁，創作于2023年2月二、多元線性回歸模型的矩陣表示

個解釋變量的多元線性回歸模型的

個觀測樣本，可表示為

11第11頁，課件共67頁，創作于2023年2月

用矩陣表示12第12頁，課件共67頁，創作于2023年2月總體回歸函數或

樣本回歸函數或

其中：都是有

個元素的列向量是有

個元素的列向量

是第一列為1的階解釋變量數據矩陣(截距項可視為解釋變量取值為1)13第13頁，課件共67頁，創作于2023年2月三、多元線性回歸中的基本假定假定1：零均值假定或假定2和假定3：同方差和無自相關假定

假定4：隨機擾動項與解釋變量不相關

14第14頁，課件共67頁，創作于2023年2月假定5:無多重共線性假定(多元中)

假定各解釋變量之間不存在線性關系，或各個解釋變量觀測值之間線性無關。或解釋變量觀測值矩陣

列滿秩(

列)。

即

可逆假定6：正態性假定15第15頁，課件共67頁，創作于2023年2月第二節

多元線性回歸模型的估計本節基本內容:●普通最小二乘法（OLS）●OLS估計式的性質●OLS估計的分布性質●隨機擾動項方差的估計●回歸系數的區間估計

16第16頁，課件共67頁，創作于2023年2月

一、普通最小二乘法（OLS）最小二乘原則剩余平方和最小：

求偏導,令其為0:17第17頁，課件共67頁，創作于2023年2月

即

注意到18第18頁，課件共67頁，創作于2023年2月

用矩陣表示因為樣本回歸函數為兩邊乘有：因為，則正規方程為：19第19頁，課件共67頁，創作于2023年2月由正規方程多元回歸中二元回歸中注意：和為的離差

OLS估計式20第20頁，課件共67頁，創作于2023年2月二、OLS估計式的性質

OLS估計式

1.線性特征:

是的線性函數，因是非隨機或取固定值的矩陣

2.無偏特性:

21第21頁，課件共67頁，創作于2023年2月3.

最小方差特性在所有的線性無偏估計中，OLS估計具有最小方差

結論：在古典假定下，多元線性回歸的OLS估計式是最佳線性無偏估計式（BLUE）22第22頁，課件共67頁，創作于2023年2月三、OLS估計的分布性質基本思想●是隨機變量，必須確定其分布性質才可能進行區間估計和假設檢驗●是服從正態分布的隨機變量,決定了

也是服從正態分布的隨機變量●是

的線性函數，決定了也是服從正態分布的隨機變量23第23頁，課件共67頁，創作于2023年2月

的期望(由無偏性)的方差和標準誤差：可以證明的方差-協方差矩陣為

這里是矩陣中第

行第

列的元素24第24頁，課件共67頁，創作于2023年2月

四、隨機擾動項方差的估計

多元回歸中的無偏估計為：或表示為

將作標準化變換：

25第25頁，課件共67頁，創作于2023年2月因是未知的，可用代替去估計參數的標準誤差:●當為大樣本時，用估計的參數標準誤差對作標準化變換，所得Z統計量仍可視為服從正態分布●當為小樣本時，用估計的參數標準誤差對

作標準化變換，所得的t統計量服從t分布：

26第26頁，課件共67頁，創作于2023年2月五、回歸系數的區間估計由于給定，查t分布表的自由度為

的臨界值或:或表示為:27第27頁，課件共67頁，創作于2023年2月第三節

多元線性回歸模型的檢驗本節基本內容:

●多元回歸的擬合優度檢驗●回歸方程的顯著性檢驗（F檢驗）●各回歸系數的顯著性檢驗（t檢驗）28第28頁，課件共67頁，創作于2023年2月一、多元回歸的擬合優度檢驗多重可決系數：在多元回歸模型中，由各個解釋變量聯合解釋了的

的變差，在

的總變差中占的比重，用表示與簡單線性回歸中可決系數的區別只是不同，多元回歸中多重可決系數也可表示為

29第29頁，課件共67頁，創作于2023年2月

特點：多重可決系數是模型中解釋變量個數的不減函數，這給對比不同模型的多重可決系數帶來缺陷，所以需要修正。多重可決系數的矩陣表示30第30頁，課件共67頁，創作于2023年2月思想可決系數只涉及變差，沒有考慮自由度。如果用自由度去校正所計算的變差，可糾正解釋變量個數不同引起的對比困難。自由度統計量的自由度指可自由變化的樣本觀測值個數，它等于所用樣本觀測值的個數減去對觀測值的約束個數。修正的可決系數31第31頁，課件共67頁，創作于2023年2月可決系數的修正方法

總變差自由度為

解釋了的變差自由度為

剩余平方和自由度為

修正的可決系數為

32第32頁，課件共67頁，創作于2023年2月

特點

可決系數必定非負，但修正的可決系數可能為負值，這時規定

修正的可決系數與可決系數的關系：33第33頁，課件共67頁，創作于2023年2月二、回歸方程顯著性檢驗（F檢驗）基本思想在多元回歸中有多個解釋變量，需要說明所有解釋變量聯合起來對應變量影響的總顯著性,或整個方程總的聯合顯著性。對方程總顯著性檢驗需要在方差分析的基礎上進行F檢驗。34第34頁，課件共67頁，創作于2023年2月總變差自由度

模型解釋了的變差自由度

剩余變差自由度變差來源平方和自由度方差歸于回歸模型歸于剩余總變差方差分析表35第35頁，課件共67頁，創作于2023年2月

原假設備擇假設不全為0建立統計量(可以證明):

給定顯著性水平，查F分布表得臨界值并通過樣本觀測值計算值F檢驗36第36頁，課件共67頁，創作于2023年2月▼如果(小概率事件發生了)則拒絕，說明回歸模型有顯著意義，即所有解釋變量聯合起來對

有顯著影響。▼如果(大概率事件發生了)則接受，說明回歸模型沒有顯著意義，即所有解釋變量聯合起來對

沒有顯著影響。37第37頁，課件共67頁，創作于2023年2月可決系數與F檢驗由方差分析可以看出，F檢驗與可決系數有密切聯系，二者都建立在對應變量變差分解的基礎上。F統計量也可通過可決系數計算：可看出：當時，越大，值也越大當時，結論：對方程聯合顯著性檢驗的F檢驗，實際上也是對的顯著性檢驗。

38第38頁，課件共67頁，創作于2023年2月三、各回歸系數的顯著性檢驗

（t檢驗）

目的：

在多元回歸中，分別檢驗當其他解釋變量保持不變時，各個解釋變量對應變量是否有顯著影響。

方法：

原假設備擇假設統計量為：

39第39頁，課件共67頁，創作于2023年2月t檢驗的方法

給定顯著性水平

，查自由度為時t分布表的臨界值為

如果就不拒絕而拒絕即認為所對應的解釋變量對應變量

的影響不顯著。

40第40頁，課件共67頁，創作于2023年2月

如果就拒絕而不拒絕即認為所對應的解釋變量對應變量

的影響是顯著的。在多元回歸中，可分別對每個回歸系數逐個地進行t檢驗。

注意:在一元回歸中F檢驗與t檢驗等價,且但在多元回歸中F檢驗與t檢驗作用不同。41第41頁，課件共67頁，創作于2023年2月第四節

多元線性回歸模型的預測

本節基本內容:

●應變量平均值預測●應變量個別值預測42第42頁，課件共67頁，創作于2023年2月一、應變量平均值預測

1.平均值的點預測

將解釋變量預測值代入估計的方程：多元回歸時：

或

注意:預測期的是第一個元素為1的行向量,不是矩陣,也不是列向量

43第43頁，課件共67頁，創作于2023年2月

基本思想：

由于存在抽樣波動，預測的平均值不一定等于真實平均值，還需要對作區間估計。為對

作區間預測，必須確定平均值預測值的抽樣分布。必須找出與和都有關的統計量。2.平均值的區間預測

44第44頁，課件共67頁，創作于2023年2月

具體作法(回顧一元回歸)當未知時，只得用代替，這時一元中已知45第45頁，課件共67頁，創作于2023年2月多元回歸時,與和都有關的是偏差從正態分布,可證明用代替,可構造t統計量

46第46頁，課件共67頁，創作于2023年2月

則給定顯著性水平，查t分布表，得自由度的臨界值，則或47第47頁，課件共67頁，創作于2023年2月二、應變量個別值預測

基本思想：

●既是對平均值的點預測，也是對個別值的點預測。●由于存在隨機擾動的影響,的平均值并不等于的個別值●為了對的個別值作區間預測，需要尋找與預測值和個別值有關的統計量，并要明確其概率分布48第48頁，課件共67頁，創作于2023年2月已知剩余項是與預測值和個別值都有關的變量，并且已知服從正態分布，且可證明當用代替時，對標準化的變量為：

具體作法49第49頁，課件共67頁，創作于2023年2月給定顯著性水平，查t分布表得自由度為的臨界值則因此，多元回歸時的個別值的置信度的預測區間的上下限為：50第50頁，課件共67頁，創作于2023年2月第五節案例分析案例：中國稅收增長的分析提出問題改革開放以來，隨著經濟體制改革的深化和經濟的快速增長，中國的財政收支狀況發生很大變化，為了研究影響中國稅收收入增長的主要原因，分析中央和地方稅收收入的增長規律，預測中國稅收未來的增長趨勢，需要建立計量經濟模型。51第51頁，課件共67頁，創作于2023年2月理論分析影響中國稅收收入增長的主要因素可能有：（1）從宏觀經濟看，經濟整體增長是稅收增長的基本源泉。（2）社會經濟的發展和社會保障等都對公共財政提出要求，公共財政的需求對當年的稅收收入可能會有一定的影響。（3）物價水平。中國的稅制結構以流轉稅為主，以現行價格計算的GDP和經營者的收入水平都與物價水平有關。（4）稅收政策因素。52第52頁，課件共67頁，創作于2023年2月

以各項稅收收入Y作為被解釋變量以GDP表示經濟整體增長水平以財政支出表示公共財政的需求以商品零售價格指數表示物價水平稅收政策因素較難用數量表示,暫時不予考慮建立模型53第53頁，課件共67頁，創作于2023年2月模型設定為:其中：

—

各項稅收收入（億元）

—

國內生產總值（億元）

—

財政支出（億元）

—

商品零售價格指數（%）54第54頁，課件共67頁，創作于2023年2月數據來源：《中國統計年鑒》其中:

——各項稅收收入（億元）

——國內生產總值（億元）

——財政支出（億元）

——商品零售價格指數（%）數據收集55第55頁，課件共67頁，創作于2023年2月假定模型中隨機項滿足基本假定，可用OLS法估計其參數。具體操作：用EViews軟件，估計結果為：參數估計56第56頁，課件共67頁，創作于2023年2月模型估計的結果可表示為

(940.6128)(0.0056)(0.0332)(8.7363)t=(-2.7459)(3.9566)(21.1247)(2.7449)

擬合優度：可決系數較高，修正的可決系數也較高，表明模型擬合較好。模型檢驗：57第57頁，課件共67頁，創作于2023年2月顯著性檢驗F檢驗：

針對，取查自由度為和的臨界值。由于，應拒絕，

說明回歸方程顯著，即“國內生產總值”、“財政支出”、“商品零售物價指數”等變量聯合起來確實對“稅收收入”有顯著影響。

58第58頁，課件共67頁，創作于2023年2月t檢驗：給定，查t分布表，在自由度為時臨界值為，因為的參數對應的t統計量均大于