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2021年中考數學解答題壓軸題每日一題

1.如圖，拋物線y="+6x-5交x軸于A,8兩點，交y軸于C點，點8的坐標為(5,0),

直線y=x-5經過點B,C.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點P是直線BC上方拋物線上的一動點，求aBCP面積S的最大值并求出此時點P的

坐標；

(3)過點A的直線交直線BC于點M,連接AC當直線AM與直線BC的一個夾角等于/

AC3的3倍時，請直接寫出點〃的坐標.

【分析】(1)直線y=x-5經過點B,C,則點8(5,0),將點B的坐標代入拋物線表達式

并解得：a=-\,即可求解；

(2)ZXBCP面積S=a>XPHXOB=上(-?+6x-5-x+5)=反(-/+5x),即可求解；

222

(3)分/AMC=3NAC8=3a、NAMB=3NBC4=3a時兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：(1)直線y=x-5經過點B,C,則點8(5,0),

將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-7+6x-5；

(2)過點P作PH〃y軸交8c于點H,

設點P(x,-?+6x-5),則點〃(x,x-5)；

圖1

△BCP面積S=4XPHX08=2（-，+6x-5-x+5）（-，+5x）,

222

當x=a時，s的最大值為：儂，此時點P（$,」互）；

2824

則cosa=,3,tana=—；則tan2a（見備注）；

V1335

①當NAMC=3NACB=3a時，

過點M作直線NM使NM0C=a,則NAMN=2a,NANM=2a,

則AAMN為底角為2a的等腰三角形，△CNM為底角為a的等腰三角形,

設：CN=NM=10x,

則△AMN中，過點A作ARJ_MV于點R,則NR=5x,

tan2a=2^,則AN=13x,AR=\2x,

5

AC=AN+NC=23x=y[2^,解得：x=V^；

23_

同理在等腰三角形MNC中，工CM=-21L=10X?Y逋，

2cosa3

解得；CM=^H,

23_

設點仞(m,/?-5),則CW=(m)2+(m-5+5)2=("!/0)2

23

解得：m=竺，

23

故點M（皎,

23IF

②當NAMB=3N8C4=3a時，如圖3,

則NCAM=3a-a=2a,

作NCAM的角平分線AN交BC于點N,則/NAC=NNAM=a,

C^=-2-C-=—^-=A/V,

cosa6

tana=—=—,tan2a=—,AC=V^

3185

過點M作MHLAN于點H,

設MH=12x,則AH=18x,HN=5x,MN=\3x

即AN=AH+NH=23x=

_6

則MN=13X=.169"

138_

CM=CN+MC=-"返+-169強,

_6138

XM=^2LCM=—,則yM=XM-5=--)

22323

綜上，點M的坐標為：（區，-班）或（四，-37）.

23232323

備注：如圖所示等腰三角形ABC,頂角為2a,A。是/BAC的角平分線,

B

設tana=y,設DC—2x=BD,AD—3x,則

故

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