2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形2．數列中，對于任意，恒有，若，則等于()A． B． C． D．3．在中，角所對應的邊分別為，且滿足，則的形狀為（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形4．在中，角，，的對邊分別為，，，且.則（）A． B．或 C． D．5．正方體中,直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知在角終邊上，若，則（）A． B．-2 C．2 D．7．已知組數據，，…，的平均數為2,方差為5,則數據2+1，2+1，…，2+1的平均數與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=218．已知直三棱柱的所有頂點都在球0的表面上,,,則=()A．1 B．2 C． D．49．圓關于原點對稱的圓的方程為()A． B．C． D．10．已知圓O1：x2+y2=1與圓O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，則圓O1與圓O2的位置關系為（）A．外切 B．內切 C．相交 D．相離二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在三棱錐中，已知，，則三棱錐內切球的表面積為______.12．當時，不等式成立，則實數k的取值范圍是______________.13．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.14．已知正實數x，y滿足，則的最小值為________.15．在等差數列中，若，且它的前n項和有最大值，則當取得最小正值時，n的值為_______.16．已知等比數列的前項和為，，則的值是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，滿足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.18．某校高二年級共有800名學生參加2019年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽，為了解學生成績，現隨機抽取40名學生的成績（單位：分），并列成如下表所示的頻數分布表：分組頻數⑴試估計該年級成績不低于90分的學生人數；⑵成績在的5名學生中有3名男生，2名女生，現從中選出2名學生參加訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．19．如圖，在四邊形中，已知，，，，設．（1）求（用表示）；（2）求的最小值.（結果精確到米）20．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數，滿分100分)進行統計，請根據頻率分布表中所提供的數據，解答下列問題：組號分組頻數頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．21．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：因為,根據向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.2、D【解析】因為,所以

,

.選D.3、A【解析】

由正弦定理進行邊化角，再由二倍角公式可得，則或，所以或，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由正弦定理得，則，因此在中，或，即或.故選：A【點睛】本題考查利用正弦定理進行邊角互化，判斷三角形形狀，屬于基礎題.4、A【解析】

利用余弦定理和正弦定理化簡已知條件，求得的值，即而求得的大小.【詳解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的內角，所以為正數，所以，為三角形的內角，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理邊角互化，考查三角形的內角和定理，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎題.5、C【解析】

作出相關圖形，通過平行將異面直線所成角轉化為共面直線所成角.【詳解】作出相關圖形，由于，所以直線與所成角即為直線與所成角，由于為等邊三角形，于是所成角余弦值為，故答案選C.【點睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值，難度不大.6、C【解析】

由正弦函數的定義求解．【詳解】，顯然，∴．故選C．【點睛】本題考查正弦函數的定義，屬于基礎題．解題時注意的符號．7、C【解析】

根據題意，利用數據的平均數和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據題意，數據，，，的平均數為2，方差為5，則數據，，，的平均數，其方差；故選．【點睛】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據的平均數、方差的計算公式，屬于基礎題．8、B【解析】

由題得在底面的投影為的外心，故為的中點，再利用數量積計算得解.【詳解】依題意，在底面的投影為的外心，因為，故為的中點，，故選B．【點睛】本題主要考查平面向量的運算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、D【解析】

根據已知圓的方程可得其圓心，進而可求得其關于原點對稱點，利用圓的標準方程即可求解.【詳解】由圓，則圓心為，半徑，圓心為關于原點對稱點為，所以圓關于原點對稱的圓的方程為.故選：D【點睛】本題考查了根據圓心與半徑求圓的標準方程，屬于基礎題.10、A【解析】

先求出兩個圓的圓心和半徑，再根據它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.【詳解】圓的圓心為，半徑等于1，圓的圓心為，半徑等于4，它們的圓心距等于，等于半徑之和，兩個圓相外切.故選A.【點睛】判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先計算出三棱錐的體積，利用等體積法求出三棱錐的內切球的半徑，再求出內切球的表面積。【詳解】取CD中點為E，并連接AE、BE在中，由等腰三角形的性質可得,同理則在中點A到邊BE的距離即為點A到平面BCD的距離h,在中，【點睛】本題綜合考查了三棱錐的體積、三棱錐內切圓的求法、球的表面積，屬于中檔題.12、k∈（﹣∞，1]【解析】

此題先把常數k分離出來，再構造成再利用導數求函數的最小值，使其最小值大于等于k即可．【詳解】由題意知：∵當0≤x≤1時（1）當x＝0時，不等式恒成立k∈R（2）當0＜x≤1時，不等式可化為要使不等式恒成立，則k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵當0＜x≤1時，g'（x）＜0∴g（x）為單調遞減函數∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函數f（x）為單調遞減函數所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1綜上所述，由（1）（2）得k≤1故答案為：k∈（﹣∞，1]．【點睛】本題主要考查利用導數求函數的最值，屬于中檔題型．13、1.【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【點睛】本題是考查線性規劃問題，本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．14、4【解析】

將變形為，展開，利用基本不等式求最值.【詳解】解：，當時等號成立，又，得，此時等號成立，故答案為：4.【點睛】本題考查基本不等式求最值，特別是掌握“1”的妙用，是基礎題.15、.【解析】試題分析：因為等差數列前項和有最大值，所以公差為負，所以由得，所以，＝，所以當時，取到最小正值．考點：1、等差數列性質；2、等差數列的前項和公式．【方法點睛】求等差數列前項和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正負轉折項，最后利用單調性確定最值；(2)利用性質求出其正負轉折項，便可求得前項和的最值；（3）利用等差數列的前項和(為常數)為二次函數，根據二次函數的性質求最值．16、1【解析】

根據等比數列前項和公式，由可得，通過化簡可得，代入的值即可得結果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點睛】本題主要考查等比數列的前項和公式，本題解題的關鍵是看出數列的公比的值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）將展開得到答案.（2），平方計算得到答案.【詳解】解：（1）因為所以，，所以，，又夾角在上，∴；（2）因為，所以，，所以，邊的長度為.【點睛】本題考查了向量的夾角，向量的加減計算，意在考查學生的計算能力.18、(1)300人；(2)【解析】

（1）由頻數分布表可得40人中成績不低于90分的學生人數為15人，由此可計算出該年級成績不低于90分的學生人數；（2）根據題意寫出所有的基本事件，確定基本事件的個數，即可計算出恰好選中一名男生一名女生的概率．【詳解】⑴40名學生中成績不低于90分的學生人數為15人；所以估計該年級成績不低于90分的學生人數為⑵分別記男生為1,2,3號，女生為4,5號，從中選出2名學生，有如下基本事件（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）因此，共有10個基本事件，上述10個基本事件發生的可能性相同，且只有6個基本事件是選中一名男生一名女生（記為事件），即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）∴【點睛】本題考查頻率分布表以及古典概型的概率計算，，考查學生的運算能力，屬于基礎題．19、（1）；（2）米【解析】

（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表達式；（2）在中，由正弦定理，求得，進而可得到，利用三角函數的性質，即可求解．【詳解】（1）由題意，在中，，由正弦定理，可得，即，在中，，由正弦定理，可得，即，（2）在中，由正弦定理，可得，即所以因為，所以所以當時，取得最小值最小值約為米.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學生數，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數，查出2人至少1人來自第四組的事件個數，然后利用古典概型的概率計算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應分別抽取3人、2人、1人設第3組的3位同學為A1、A2、A3，第4組的2位同學為B1、B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽2位同學有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學至少有1位同學入選的概率為＝點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.21、(1)見證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過菱形的相關性質證明出AE⊥AD，然后通過PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過線面垂直的相關性質即可得出結果；(2)可以將三角形APM當