專升本高等數(shù)學公式(全)常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列A+c/+q2+…+ =口11一9等差數(shù)列1+2+3+…+料=("+1加2調和級數(shù)』+]+；丄是發(fā)散的23 n級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂 根植審斂法(柯西為別法):上<1時，級數(shù)收斂設：°=輒皿貝ijJp>ml,級數(shù)發(fā)散p=1時，不確定2、 比值審斂法：|><1時，級數(shù)收斂設：貝Ijjp>in寸，級數(shù)發(fā)散"TOOU91 p=1H寸>不確定3、 定義法：?=//,+“2+?…+"jlim?存在，則收斂：否則易枚。交錯級麴“-“2+心-”4+??(或-+“2一均+…上/!>0)的審斂法 萊布尼茲定理:U?>U...如果交錯級數(shù)滿足^爲；0'那么級數(shù)收斂且其和5,其余項淵絕對值Jl-Wn絕對收斂與條件收斂:⑴％+”2+…+"”+…，其中"“為任意實數(shù)；(2)|州+|“2|+附+…+|"”|+…如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕対I攵斂級數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，貝IJ稱(1)為條件收斂級數(shù)。調和級數(shù)込+發(fā)散，而為字收斂:級數(shù)藝十收斂:/p<l時發(fā)散>1時收斂禍級數(shù):,I ” /\x\<1時，收斂， 1+X+JC+JT+…+X+…I11 1-X\|x|>1時，發(fā)散對丁?級數(shù)(3)q)+atx+a2x2+■?■+anxn+…，如果它不是僅在原點I攵斂，也不是在全/|x|<R時收斂數(shù)軸上都收斂，則必冇在尺，使I|a-|>R時發(fā)散，其中尺稱為收斂半徑。\卜|=尺時不定/pHOH寸，R=丄求收斂半徑的方法：設加|=°其中坷，是(3)的系數(shù)，則(；p=0H寸，R=+oo”T爲1 \p=+8時，R=o函數(shù)展開成幕級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)=f(x0)(x-x0)+^^°\x-x0)2+…+_(x-xj+…TOC\o"1-5"\h\z2! n\￡(n+l)/>x余項：R”=一 (x-xor\/(x)可以展開成泰勒級數(shù)航要條件是dim億=0(/?+!)! 心00心=011寸即為麥克勞林公式：.f(X)=f(0)+.廠(0)x+ +…+/1丫))対+…2! 77!某些函數(shù)展開成胳級數(shù)：八、卿, ni(m—1) ■> 加("2-1)…(“2—刃+1).. 彳■(l+x)m=\+mx+ JT+…+ +… (一1vxvl)2!/?!V3*5 r2n-lsinx=x--—+— +(一1)"7— +…(-covxv+8)3! 5! (2,?-!)!可降階高階微分方程類型一:y(,,)=fM解法(多次積分法)：令"=廠"=>半=/(x)=>多次積分求/(x)dx類型二：y"=/(x,y')解法：令“=y1=>—=f(x.p)=>—階微分方程dx類型三：y"=/(y,y‘)解法：令卩=)』=>字=字斗=卩半■n/()，,〃)=>類型二dxdydxay類型四:y+pWy=Q(x)若Q(X)等于0,則通解為y= (一階齊次線性)。若不等于0,通解)—0)[問)嚴％+彳(一階齊次非線性)。一階齊次非線性方程通解是相應齊次方程通解與它一種特解之和。三、線性微分方程類型一：y"+P(x)y4Q(x)y=0(二階線性齊次微分方程)解法:找出方程兩個任意線性不有關特解：”⑴宀⑴則:yM=C]y](x)+c2y2(x)類型二：y*'+P(x)y'+Q(x)y=/(x)(二階線性非齊次微分方程)解法：先找出相應齊次微分方程通解：y3(x)=^yM+c2y2(x)再找出非齊次方程任意特解兒⑴，則:yM=兒(x)+cj(x)+C2y2(x)類型三〉，"+/少+§=0(二階線性常系數(shù)齊次微分方程)解法(特性方程法):T+p幾+q=0亠入.嚴一卩±3一側2()△=p2_4@>0=>AHA2=>y=q/y+c2e^x(二)A=O=>/11=/^=A=>y=(c{+c^x)e/x(三)△<()=>&=a+ip.An=a-ip=>y=eax(qcosfix+c2sinJ3x)導數(shù)公式:(log3=(log3=1xlna(tgx)f=sec2x(ctgxY=-esc1x(secxY=secxtgx(cscx)"=-cscx?clgx(ax)f=ax\na(arcsinx/=，,x/l-x2(arccosv)1=_,〔=\/l-X2(arctgxY=—1+2(arcctgxY=-—^1+2基本積分表:Jfgxdx=-In|cosx|+CJctgxdx=hi|sinx\+CJsecxdx=In|secx+ +CJcscxdx=In|cscx-ctgx\+CI Xc=—urctg—+vh=+Cx+aInf——=[sec2xdx=tgx+CJcos*x」[=[esc2xdx=-ctgx+CJsi”xJJsecx?tgxdx=secx+C|esex?e/gM:=-cscx+C^shxdx=chx+CIchxdx=shx+Ca-x=arcsin—+Cln(x+>Jx2±a=arcsin—+Cln(x+>Jx2±a2)+C■ M■ MItl=Jsin"xdx=Jcos"xdx=0 0口/1n-2n 2 Jyjx2+a2dx=扌\(zhòng)lx2+a2+牛In(x+yjx2+a2)+C 2 fy)x2-erdx=—\lx2-a2-—Inx+y/x2-a2+CJ 2 2 2|^a~-x2dx=扌\(zhòng)/a2-x2+牛arcsin—+C三角函數(shù)有理式積分:某些初等函數(shù): 兩個迂要極限:某些初等函數(shù): 兩個迂要極限:2?2?和差角公式: ?和差化積公式:lini-——-=1lim(1+丄T=0=2.718281828459045...lini-——-=1lim(1+丄T=0=2.718281828459045...2雙曲余弦:d+八2雙曲正切:〃X=—=chxex+e'arshx=ln(x+J”+1)archx=±ln(x+ylx2一1)arthx=—In2sin(a±0)=sinacos0土cosasin0cos(tz±/7)=cosacos/7+sincrsin卩fg(a±0)=sin(a±0)=sinacos0土cosasin0cos(tz±/7)=cosacos/7+sincrsin卩fg(a±0)=tga土tg卩世g±0)=込込1ctg0土cfgaa+Ba_卩sin<z+sinP=2sin cos 2 2sintz-sin0=2cos^—^sin—―—2 2cca+pa-pCOS6Z+COS0=2cos—cos—^―nc.a+卩.a_卩cosa-cos0=2sin—sin?倍角公式:sin2a=2sintzcos(zcos2a=2cos2a-1=l-2sin2?倍角公式:sin2a=2sintzcos(zcos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos'a—sin'sin3a=3sina-4sin3a驅2a=空◎2ctgatg2a=2甞l—fgycos3a=4cos*a-3cosal-3/g\z?半角公式:.a,|l-cosasin—=±.| 2\2atl-cosa1-cosasine?

fg—=± = = '2 \1+cosasine? 1+cosa?正弦定理:u_b

sinAsiiiB =2RsinCa,/1+cosacos—=±' 2V2a,|l+cosa1+cosa sinaetg—=±； = = 2 \1-cosasinal-cosa?余弦定理：c2=a2+b2-2ahcosC7Taretgx=—-arcctgx?反三角函數(shù)性質：arcsin.v=—-arccosx2中值定理與導數(shù)應用:拉格朗日中值定理：/(/?)-/(a)=f《)(b-a)柯西中值定理、當F(x)=x時，柯西中值定理就超立格朗日中值定理＜：空間解析幾何和向■代數(shù)空間2點的距離：空間2點的距離：d=|A/.M2|=yj(x2-xl)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2Prj；(%+a2)=Prjax+Prja2(i-b=^i\-bcos0=axhx+a、.b、.+?./?.,是一個數(shù)量，—亠l亠——亠宀 "r*+a、"+a.b.兩向量之間的夾角cos8=t1Ai j k -c=axb=axaya.,|c|=|?|-|/?|sin0.例：線速度：v=wxr.bxb、bz向量的混合積[ahc]=(axb)-c=bxC向量的混合積[ahc]=(axb)-c=bxCx代表平行六面體的體積byb：=〃xZ?|?|可cosa,a為銳角時,平面的方程：1、 點法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中n={A,B,C},M0(x0,^0,z0)2、 一般方程：Ax+By+Cz+D=O3、 截距世方程^+^-+-=1abc平面外任意一點到該暢的距離：〃」込「也+込岀y]A2+B2+C2x=x()+mt空間直線的方程= = =其中“伽”〃}滲數(shù)方程』)，=兒+加mnpZ=ZQ+pt二次曲面：1、 橢球面:二r+—+d=lab"c?2、 拋物面:二+2i=z,(/“同號)2p2q3、 雙曲面：單葉雙曲面4+4-^=iXL雙葉雙曲面4-4+^=i(馬鞍面)trlrl多元函數(shù)微分法及應用全微分：⑴更如更dy 血=翌如殂心+理衣dxdyr dxdy'oz全微分的近似計算:=fx(x,y)Ax+/v(x,y)Ay多元復合函數(shù)的求導法dzdzdud乙dvz=/[“(/)*("] = ? — ? dtdudtdvdtz=/[“(/)*("]dz.dzdudzdv—=—?—+—?—dxdudxdvdx當u=r(x,y),v=v(x,y)時,dv^dv^dx+^dydxdyau=——ax+—dydx dyr隱函數(shù)的求導公式：隱函數(shù)F(x,y)=0,d勿空=_工心隱函數(shù)F(x,y)=0,d勿空=_工心=2dxF「dx1dxdydx隱函數(shù)F(x,”z)=0,dz_Fx 空=_冬dx F: dyF:微分法在幾何上應用:x=(p(t)空間曲線尸刃)在點M(x°,兒,z°)處的切線方程￥1=與也=二三=如) 0仇)0仏)血仏)在點M處的法平面方程:必0)(兀-Xo)+ )(y->'<))+e'(G)(Z-Zo)=0Fg,z)=0,則切向量亍={G(x,”z)=0Fg,z)=0,則切向量亍={G(x,”z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點M(x0,>'o，%)，貝9：1、 過此點的法向量"={行(心九也0)￡(心治％),巴(心治20)}2、 過此點的切平面方程Fr(xo,yo,zo)(x-xo)+F/xo,yo,zo)(y-yo)+f；(xo,yo,zo)(z-zo)=O尤一不)_ _z-Zu若空間曲線方程為,FyF；G、GJ?3、過此點的法線方程，￡((珀)」0,5)Fy(-^Q?Vq,z0)F.(a0,兒,Z(j)方向導數(shù)與梯度：函數(shù)z=/(X,y)在一點p(x,y)沿任一方向/的方向導數(shù)為E=—cos(p+—sin(pdlox 6其中0為X軸到方向/的轉角。函數(shù)z=f(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gracV'(^y)=—^+―7oxdy它與方向導數(shù)的關系是—=grad/(x,y)e9其中e=cos<pi+sin^-J,為/方向上的dl單位向量。???卑是gradf(x,y)在/上的投影。ol多元函數(shù)極值及其求法：歎（心兒）=力（Xo，y°）=O,令：人（SXJ=A,幾％yJ=B,fyy（xQ9y0）=CABAB2-ACAA貝ij』B2-AC>0lM,<0,(x()Oo)為極大值>o,(mj為極小值無極值g2-AC=（M,柱面坐標和球面坐標:曲線積分:

第一類曲線積分(對弧長的曲線積分):特殊情況!X=t卜=0