專題一函數性質與圖象

—X2)[/(X1)—"2)]<00e/(x)在[a,a上是減

函數.

考點知識自測

(3)①由定義知：奇、偶函數的定義域必關于

______對稱.

②偶函數的圖象關于對稱；奇函

[閉卷填空】數的圖象關于對稱，這也是判斷奇、

偶函數的方法.

③若奇函數兀0的定義域包含0,則./(0)=

1.有關概念;左)為彳禺函數，則j{x)==

(1)單調性：給定區(qū)間。上的函數/(X),若對于

州)?

任意X|,xeD,當為<與時，都有,

2④奇函數在對稱區(qū)間(一6,一a)與(。，6)上的增

則稱/)為區(qū)間D上的增函數；都有，

減性;偶函數在對稱區(qū)間(一6,一。)與(a,h)

則稱外)為區(qū)間D上的減函數.

上的增減性?

(2)奇偶性：如果對于函數次幻定義域內的任意

(4)如果>=/(")和〃=g(x)的單調性相同，那么y

一個x,者陌，那么函數外)就叫奇函=/(g(x))是；血果了=次〃)和〃=g(x)扇

數；都有，函數/(x)就叫偶函數.

單調性相反，那么y=/(g(x))是.

(3)周期性：若7為非零常數，對于定義域內的

(5?=/U)與歹=大-x)的圖象關于對

任意x,都有成立，則<x)叫做周

稱;y=斤)與y=-/(一尤)的圖象關于________對稱；

期函數，7叫做這個函數的一個周期.周期函數的y=/(x)Wy—―/(x)的圖象關于對稱.

定義域必須是.

⑹①若7(a+x)=/(6—x),對xGR恒成立，則

(4)函數的零點與方程的根

y=/(x)的圖象關于____________成軸對稱圖形.

函數的零點：對于函數,我們把使&函數y=?r+x)與函數y=/(b—x)的圖象關于

的實數x叫做函數段)的零點.

直線對稱.

函數的零點與方程根的關系：函數尸(x)=/(x)

③若定義在R上的函數寅x)的圖象關于直線x

-g(x)的零點就是方程的根，即函數y

=a與x=6(6>a)都對稱，則兀v)為周期函數，

=次幻的圖象與函數y=g(x)的圖象交點的橫坐標.

是它的?個周期(未必是最小心周期，

零點存在性定理：如果函數y=/(x)在區(qū)間口，

下同).

/>]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有

④若定義在R上的函數/x)的圖象關于點(。，

，那么，函數y=/(x)在區(qū)間(a,6)內c)和(6,c)(6>a)成中心對稱，則/(x)為周期函藪，

仃零點，即存:在CG3，/))，使得/(c)—0,這個c

是它的一個周期.

也就是方程y(x)=()的根.注意以下兩點：①滿足條

⑤若定義在R上的函數加)的圖象關于點(a,

件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有

c)成中心對稱，又關于直線x=6(b>a)成軸對稱，則

零點.

兀0是周期函數，是它的一個周期.

2.常用重要結論

提示：要注意x)與兀v+a)=/(x—

(1)關于函數定義域為R的結論a)的區(qū)別，其中/+x)=火。一支)應明函數y=/(x)的

若外)=6以2+辰+。型函數的定義域為R,則

圖象關于直線對稱，而"+")=心一

有ox'+bx+c》。恒成立臺.

a)(aW0)說明函數y=加)為周期函數，且

若/(》)=似紈2+瓜+。)型函數的定義域為R，為它的一個周期.

則有(7)若./(x+a)為奇函數=>於)的圖象關于點

ax2+bx+c>0恒成立今.

成中心對稱；若危+a)為偶函數0/(x)的

若上-型函數的定義域為R,則有圖象關于直線對稱.

ax-vbx-rc

3.函數的應用

ax?++cW0恒成立㈡.

解函數應用題的基本過程為：

(2)函數單調性的等價關系

設X\,X2G[<7,b],X|WX2，那么(X]—X2)[/(X1)

一/(必)]>0臺在[a,b]上是增函數；s

的實際問題.

經典例題解析

類型一函數的概念與性質

麴?(1)(2013?山東)已知函數兀0為奇函

數，且當40時，兀。=?+p則<-1)=()

自評自改:A.-2B.0C.1D.2

解：../x)為奇函數，.?.八-1)=一<1)=一2.故

1-(1成為)〈/2)A^)>AX2)

(2y(x)=-/-x)y(x)=/(-x)選A.

(3)/(x+7)=Ax)無界的

【評析與探究】根據奇函數的定義，小題小做，

(4)/(x)=0兀v)=g(x).次。)46)<0

小題巧做，一步成功.

若q=0,貝防=0,c20,

2.(1)1a>0,(2)(2014-課標1)設函數<x),%)的定義域都

若啟0,則

/WO為R,且人乃是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論

若a=0,則6=0,c>0,正確的是()

[a>0,A./(x)g(x)是偶函數B.l/(x)以x)是奇函數

若oKO,則八C./(x)|g(x)|是奇函數D.JAx)g(x)|是奇函數

IJ<O解：,危)%寄函數，g(x)為偶函藪，故y(x)g(x)

若Q=0,則6=0,cWO,為奇函數，Kx)|g(x)為偶函數，外)％)|為奇函友，

若aWO,貝必VOa)蛉)1為偶函數?故選C.

q/(Xi)-/區(qū))R/3)-/但)

-<o

【評析與探究】雖然令%由例一

X\~X2X]~X2x)=/(x)|g(x)|,

(3)①原點②y軸原點③0/-X)x)=7(—x)|g(—x)|=—/(x)|g(x)|=一〃(x)也可以證明C

④相同相反(4)增函數減函數(5?軸中結論的正確性，但顯然用關于奇偶性的常用結論

原點解題更快捷，務請熟記.

..a-\-b—b-a-,

=

x軸⑹①x=~2?x~-③2b—2。(3)(2014?課標II)已知偶函數段)在［0,+oo)

@2b-2a⑤4b—4ax=a2a⑺30)x單調遞減，<2)=0.若加-1)>0,則x的取值范圍是

解：；段)是偶函數，.\Xx-l)>0號火打一1|)>0

=*2),又:/(x)在［0,+8)單調遞減，.??歸一平2,

解幺得一Yx<3.故填(T,3).

高考全景對接

【評析與探究】本題主要考查函數的奇偶性、

函數貫穿高中數學的全過程，它是學習高等數單調性及絕對值不等式的解法.有關抽象函數的不

學的基礎，是高考數學中極為重要的內容.縱觀近等式問題，一般利用函數的性質，轉化成具體不等

幾年的高考試題，函數在選擇、填空、解答三種題式(組)求解.就本例而言，利用了偶函數性質：/(X)

型中每年都有考查，且容易題、中檔題、難題都有=/(一幻=心|).

呈現，容易題往往考查函數的概念、基本性質、圖

象(由圖選式，由式選圖及圖象變換)等內容，難題(4)定義在R上的函數於)滿足於+6)=危).當

-3^x<-l時，段)=一。+2)2.當一lWx<3時，/(x)

往往屬綜合性很強且含參的問題.主要考點：

=x,則<1)+<2)+7(3)+…+負2015)=()

1.函數的表示方法及性質(即解析式、定義域、

值域、奇偶性、單調性、周期性等)；A.335B.336C.1678D.2015

解：由已知得函數;(x)以6為周期，據分段函

2.圖象變換及幾種特殊函數(二次函數、指數

函數、對數函數、抽象函數、分段函數等)；數在其兩段上的解析式得/1)=1，7(2)=2,./(3)=黃3

-6)=/(-3)=-1,/(4)=/(4-6)=/(-2)=0；(5)

3.函數與方程、數列、不等式等的綜合運用；,

=X5-6)=X-1)=-1.X6)=X0)=0,因此用)+

4.信息解讀，建立函數模型解決現實生活中

/(2)+…+/(6)=1,而2015=336義6—1.故由周期函解：?.,當xe(0,§時，/(x)=/〃(f-x+l),令

數的性質得負1)+黃2)+大3)+…+<2015)=336區(qū)1)

+/2)HM6)］—*6)=336X1—0=336.故選B.<x)=0,則f_x+l=l,解得x=l,又I.函數危)

是定義域為R的奇函數，二在區(qū)間［一|，|］±,,X-

【評析與探究】解此類題的方法，?般是先求

出一個周期內的函數值的和，再利用周期性求出結1)=一寅1)=o,川)=。:7(|)=7(—|+3)=y(-|)=

果.

-/g),W)=0,?；/(—1)=A1)=*。)=婚=

(變式1)(1)若對任意實數x,都有犬-x)=/(x),

乂一§=0.又函數/(X)是周期為3的周期函數，則

且於)在(-8,0］上是增函數，則()

A.《一()唄T)勺⑵3

函數.段)在區(qū)間［0,6］上的零點為0,1,5,2,3,

B.八—1)勺(一§<火2)9

4,y5,6,共9個.故選D.

C..2灼(-1)?一1)

屈》(2014?江蘇)已知y(x)是定義在R上且

D.<2)</(一翡(-D

周期為3的函數，當xW［0,3)時，兀v)=X2-2X+^,

3

解：?.?/(-x)=/(x),.../(2)=/(-2),而一2<一2若函數y=/(x)—a在區(qū)間［-3,4］上有10個零點(互

<一1,左)在(一孫0］上是增函數.故火2)勺(一1)勺(一

1).

結合圖象亦可解此題.故選D.

(2)(2014?安徽)設函數,/(x)(xeR)滿足兀v+兀)=

7(x)+sinx當O&V兀時,.危)=0,則婷)()解：函數y=/(x)-a在區(qū)間［-3,4］上有互不相

同的10個零點，即函數y=/(x),xG［—3,4］與y

A.gB.坐C.0D.-g=a的圖象有10個不同交點.在坐標系中作出函數

<x)在一個周期［0,3)上的圖象如圖，可知當0<。

解：姆力=彳嶗+而吊^^川十而半+時滿足題意.故填(0,().

兀

si.n17=/5^+,s,.n5n+,si.nUTT+,si.n17K=0n^+l-1+,

~ATjT—-22【評析與探究】解答本題要求具備依據函數的

3=3.故選A.對稱性、周期性等知識正確作圖的能力以及理解函

數的零點、方程的根的幾何意義的能力，這類題是

高考的熱點.

(3)(2014?湖南)若<x)=/〃(e3x+l)+ax是偶函

數，貝3.底三)定義在實數集R上的奇函數Xx)的最

解法一：函數八工)=/〃如為偶函數，

e3"+1)+小正周期為20,在區(qū)間(0,10)內方程段)=0有且

故。-即3x3jc

x)=1/(x),/n(e+1)—ax=/n(e+l)+ax,僅有一個解x=3,則方程啟+3)=0在［-100,400］

5，e~3x+l.3

故In~~3Vli=2ax=-3x=2ax,??q=一彳

e十12上不同的解的個數為()

解法二:/3)=烹，+。=/(刈為偶函數，二/A.20B.25C.26D.27

解:先看［0,20)內,,./x)為R上的奇函數,

33

(x)為奇函數，.??/(0)=0=］+。=0-。=一5.故填?)0)=0.

???{3)=0,.?.義—3)=0,..m―3+20)=火17)

=0.

XVX-10)-X-10+20)=X10),且一一10)=

-X10)，即一A10)=/(10),.；/(10)=0,<20)=/(0)

(4)已知兀r)是定義在R上且以3為周期的奇函

=0.

數，當xe(o,號時,y(x)=/〃(x2—x+i),則函數/(x)

...在［0,20)內有犬0)=火3)寸10)=義17)=0,

X

在區(qū)間［0,6］上的零點個數是()共四個根.令4+3=7,!fliJ/e［-22,103］=［-22,

A.3B.5C.7D.9

-20)U［-20,0)U［0,20)U-U［80,100)U［100,

103］,在［-22,-20)內有0個根,在［100,103］內

有2個根，每個整周期內有4個根.

故-f)=0在4G［—22,103］內有2+0+4X6=

26個根，，與x一—對應，故原方程有26個根.故

選C.

解：在同一坐標系中分別畫出函數y^Ax),y

=ga)的圖象如圖所示，方程y(x)=g(x)看兩個不相

類型二函數的零點及函數與方程

等的實根，等價于兩個函數的圖象有兩個不同的交

點，結合圖象可知，當直線y=6的斜率大于坐標

《例3》已知y(x)=x'-6x?+9x-"c,a<b<c,原點與點(2,1)連線的斜率且小于直線y=x-l的

且X。)=大力=y(c)=o.現給出如下結論：斜率時符合題意，故3〈人<1.故選B.

GMo)/(i)>o；(gy(OMi)<o；

<§Moy(3)>o；刨0求3)<。

其中正確結論的序號是()類型三函數模型與實際應用

(2013?重慶)某村莊擬修建一個無蓋的

圓柱形蓄水池(不計厚度)，設該蓄水池的底面半徑

為「米，高為〃米，體積為憶立方米.假設建造成

本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方

米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的

總建造成本為12000K元(兀為圓周率).

解法一：設g(x)=x3—6x?+9x,令g(x)=0,可(1)將〉表示成『的函數■(，?)，并求該函數的定

得x=0或x=3,令g'(幻=3/-12x+9=0,可得義域；

x=l或x=3,由此可得函數g(x)的圖象如圖所示，(2)討論函數■&)的單調性，并確定廠和h為何

?.?函數/(x)=g(x)-a歷有三個零點：a,b,c,.?.函值時該蓄水池的體積最大.

數處0=8(》)一。加的圖象為函數g(x)的圖象向下平解：(1)：蓄水池側面的總成本為1002兀附=

移abc個津位，且0<abc<4,作出函藪/(x)的圖象如200兀歷元，底面的總成本為160兀/元，

圖所示，由圖象可得；(0)<0,川)>0,火3)<0,...蓄水池的總成本為(200w/?+160兀/)元.

寅0次1)<0,<0求3)>0,即結論②③正確.又據題意200兀，為+160兀/=120007T,

解法二：?.,y(x)=x3—Gx2+Qx—'.f(x)|jr

所以/j=—(300—4r2),從而r(r)=Tir2/?=^(300r

=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),令/(X)=0,得x=l

或x=3.依題意有，函數7(x)=x'—6x?+9x—a6c的-4J).

圖象與x軸有三個不同的交點，故<1)/(3)<0,即(1Vr>0,又由〃>0可得

—6+9—abc)(33—6X32+9X3—abc)<0,故函數■&)的定義域為(0,5小).

0<abc<4,.\A0)=—"c<0,<1)=4-4歷>0,犬3)(2)VK(r)=^(300r-4r3),故P(r)=7(300-

=—abc<0,故②③是對的，故選C.

⑵2).

【評析與探究】欲判斷零點需畫函數的圖象，令『(廠)=0,解得n=5,『2=-5(舍去).

欲畫函數的圖象需判定單調性和極值點，于是求導當，G(0,5)時,V(r)>0,故■&)在(0,5)±

順理成章.為增函數；

當rG(5,5小)時,V(r)<0,故■&)在(5,55)

底圣)(2014?山東)已知函數40=k一2|十上為減函數.

1，g(x)=Ax若方程/(x)=g(x)有兩個不相等的實根，由此可知，■&)在廠=5處取得最大值，此時才

則實數人的取值范圍是()=8.

A.(0,B.&1)即當〃=5,0=8時，該蓄水池的體積最大.

C.(1,2)D.(2,+a5)【評析與探究】解此類應用問題，應以讀題f

建模一求解一作答這四個步驟為主線，而求解則要

重視導數這一重要工具的運用，同時還要注意實際

問題中函數的定義域.

第4)如圖，把邊長為a的正六邊形紙板剪

去相同的六個角，做成?個底面為正六邊形的無蓋

六棱柱盒子，設高為h,所做成的盒子體積為■(不

計接縫).______

(1)寫出體積「與O高〃的函數關系式；

(2)當彳為多少時，體積匕最大，最大值是多少？

解：⑴六棱柱的底邊長為。一手當一3<x<0時，設刈=—(f+Sx)與M=-a(x

-1)相切，得一(x?+3x)=—<7(x—1)=>x2+(3—a)x+

a=0,令of—4q=0=>q=9(舍去)或q=

從0＜〃＜當，，底面積為

6X?XQ—￥^〃)，1.同理當x>l時，a=(舍)或a=9.因此有下表：

體積/=乎(。一￥力),ha的范圍力與力交點數

a<00

—2小(〃3-仍加+射，4=02

0<a<l4

(2)/=2小(3川一2小。力+和2),令『=()得a—\3

l<a<92

力=乎。或6=坐。(舍去)，

4=93

a>94

二當上小時，「有最大值此時導小

.?.0<￡7<1或a>9.

類型四函數圖象及應用

國l(1)已知函數y=/(x)的周期為2,當

xd[—1,1]時兀0=*2,那么函數y=/(x)的圖象與解法二：顯然方程中x￥l,

2I今

函數y=|/gx|的圖象的交點共有()

A.10個B.9個C.8個D.1個

解：畫出y=/(x)和y=|/gx|的圖象，注意x=10,令

4

則a—/+]+5.

4

因為7+76(—8,—4]U[4,+oo),

4

所以H~7+5e(-8,1]U[9,+00).

/(x)的周期為2,易知共10個交點.故選A.

4

作出y=z+；+5的大致圖象如圖，

【評析與探究】數形結合是種簡捷、明快的

解題方法，因此掌握各種初等函數的圖象及圖象變結合圖象可得0＜o＜l或。＞9.故填(0,1)59,

換技巧是至關重要的.+(?).

(2)(2014?天津)已知函數/(x)=p+3x|,x&R【評析與探究】作出草圖后數形結合，注意：

若方程外)一小一11=0恰有4個互鼻的實數根，則①熟練掌握由了=兀0的圖象作y=|/(x)|圖象的作圖

規(guī)則；②弄清楚夕=小一1|中，隨著。的變化，函

實數。的取值范圍為.

解法一：顯然。＞0,畫出刈=/)=卜2+3》|與數圖象是如何變化的；③。＞9的情形不要遺漏.

?=。,一1|的圖象，方程有4個互異的實數根等價

(變式5)(1)(2013?山東)函數y=xco&r+sinx

于兩函數圖象有4個不同交點.

的圖象大致為()

—2(x2—6zx—2)

(X2+2)

因為函數兀0在區(qū)間［-1,1］上是增函數，所以

/(x))0在區(qū)間［-1,1］上恒成立.構造函數g(無)=

x'~ax—2,

,滿足題意的充要條件是：

g(1)WO,1—a-2^0,

*0—1WaW1.

[g(-1)WO[1+。-2W0

故所求的集合4為[-1,1].

2x—ci1

(2)由題意得：黃運=：得到：X2—(7X—2=0.

解：利用排除法，首先函數y=xcosx+sinx為因為/=J+8>0.所以方程恒有兩個不等的根

奇函數，故排除&又》=兀時，夕=一兀<0,故排除

為內，X2.由根與系數的關系有：

A-,當x=5時，y=l>0,故排除C.故選D.

\x\+x2-a,,---------5------

|X|—X2|—yj(陽+》2)—4X［X2

lX］X2=-2

=^/a2+8.

x-1——x^~0

(2)已知函數‘x''則關于x的

因為a&A,即izG［—1,1］,所以|XL闖=

。x=0,、〃2+8W3.要使不等式m2+tm-\-1對對任意

方程［/WF+帙x)+c=O有5個不同實數解的充要a^A及/€［—1,1］恒成立，當且僅當m2+Zm+123

條件是()對任意的1］恒成立，構造函數磯/)=毋+

A.b<—2且c>0B.b>—2且c<0/加―^二切+加2—2,問題轉化為O(/)》0對任意的

C.*一2月.c=0D.62-2且。=0/可一1,1］恒成立.

(P(1)20,/772+/7?—2^0,

解：由［Ax)f+〃a)+c=o,得、於)=%和.加0則=>,病—，〃—2對今后2或

=，2(，iW，2)，要使y(x)=，］和y(x)=，2對應的不共有5_(p(—1)NO

個，畫出於)的圖象如圖，由圖可知，當，1=0目」2>2mW-2.

時才能滿足條件，故6=/也=0，一/>=4+，2>2=>X故存在滿足條件的實數〃3其取值范圍為

{m\m^2或，〃W—2}.

—2.故選C.

【評析與探究】①本例綜合了二次函數的圖象、

根與系數的關系、不等式恒成立問題的處理方法、

變更主元的技巧，體現了函數方法與函數知識的綜

合運用.②解決這類綜合性問題，思路要清晰，一

般需要進行多次的轉化與化歸.③處理不等式恒成

立問題，應注意以下三者的區(qū)別：

⑺。次X)恒成立臺。引仁)1rax；

(ii)a次x)有解0aXx)min；

類型五綜合運用("i)a=Ax)有解臺。6段)的值域.

說明：⑴中的充要條件要求./)111ax必須存在，

已知函數{x)=§^(xGR)在區(qū)間［一但顯然有/(x)的值域為S，。)的情形，此時。如)恒

成立今為了簡單起見，本書中多處提到的存在

1,1］上是增函數.成立問題的轉化均以最值存在為前提，值域為伯，

(1)求實數。的值所組成的集合4c)及類似情形照此轉化即可.

(2)設關于X的方程兀V)=§的兩實數根為X"X"

C變㈤已知定義在R上的函數F(x)滿足尸a

試問：是否存在實數相，使得不等式m2+tm++y)=F(x)+F(y),當x>0時，F(x)<0,且對任意的

1川為一》2|對任意“G4及1］恒成立?若存%e［0,1］,不等式尸(2日一工2)<尸伙一4)成立，

在，求出機的取值范圍；若不存在，請說明理由.(1)求證：函數尸(x)在R上為減函數；

解：(W(x)=(2)求實數％的取值范圍.

(2x—“)'(x、+2)—(2x-a)(x、+2)'解：(1)證明：設X1〈X2，則孫―Xl>0，；，(X2一

(X2+2)2X1)<O.

...F(X2)=F(X2-X,)+F(xl)<F(xl).

函數Qx)在R上為減函數.

(2)V函數F(x)在R上為減函數，橫坐標不變，縱坐標y=Af(x)

...2依一;?>左一4在xG[O,1]時成立，變?yōu)樵瓉淼?倍(4>0)

|y=f(x)H

依題有<x)=d—2丘+后一4<0在xG[O,1]時成縱坐標不變，橫坐標y=f(ax)

(a>0)

立,變?yōu)樵瓉淼?倍

/(0)<0,4.求函數值域(最值)的常用方法

解得一3<M4.(1)基本函數法；(2)配方法;

/(1)<0.

(3)換元法：(4)不等式法；

(5)函數的單調性法；(6)數形結合法;

?規(guī)律方法點撥(7)函數的有界性法；(8)導數法.

5.函數解析式的求法

(1)待定系數法；(2)換元法；

(3)解方程組法；(4)配湊法.

I規(guī)律方法】6.構造輔助函數解決方程、不等式等問題

將方程根的分布或根的個數問題轉化為相應函

1.證明函數單調性的方法數的零點的分布或零點的個數問題.

(1)定義法；

(2)求導法；

【易錯警示】

(3)復合函數法.

2.求解有關函數的奇偶性、單調性、對稱性、

周期性問題的方法1.求解與函數有關的問題，易忽略定義域優(yōu)

(1)具體函數抽象化(即當問題給出具體函數時,先的原則.函數的定義域是函數定義的三要素之一,

往往先判斷其性質，再運用性質解題)；而考生在解有關函數的題目時，往往把注意力集中

(2)抽象函數具體化、圖形化；在解析式等問題上，易因忽視定義域而出錯.

(3)運用常用結論.2.判斷函數奇偶性時，