2021年遼寧省撫順市遼寧華豐化工廠中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（） A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2參考答案：D【考點】圓的標準方程． 【專題】計算題；直線與圓． 【分析】利用兩點間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程． 【解答】解：由題意知圓半徑r=， ∴圓的方程為2=2． 故選：D． 【點評】本題考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意圓的方程的求法，是基礎題． 2.已知兩條直線

：y=m和：y=（m＞0），與函數的圖像從左至右相交于點A，B，與函數的圖像從左至右相交于C,D．記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a,b,當m變化時，的最小值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知a1，a2，a3，a4是各項均為正數的等差數列，其公差d大于零，若線段l1，l2，l3，l4的長分別為a1，a2，a3，a4，則（）A．對任意的d，均存在以l1，l2，l3為三邊的三角形B．對任意的d，均不存在以為l1，l2，l3三邊的三角形C．對任意的d，均存在以l2，l3，l4為三邊的三角形D．對任意的d，均不存在以l2，l3，l4為三邊的三角形參考答案：C【考點】等差數列的通項公式；三角形中的幾何計算．【專題】轉化思想；等差數列與等比數列；解三角形；不等式的解法及應用．【分析】利用等差數列的通項公式及其性質、三角形兩邊之和大于第三邊，即可判斷出結論．【解答】解：A：對任意的d，假設均存在以l1，l2，l3為三邊的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各項均為正數的等差數列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以為l1，l2，l3三邊的三角形，故不正確；B：由A可知：當a1﹣d＞0時，存在以為l1，l2，l3三邊的三角形，因此不正確；C：對任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4為三邊的三角形，正確；D．由C可知不正確．故選：C．【點評】本題考查了等差數列的通項公式及其性質、三角形兩邊之和大于第三邊，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4.已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B考點：充分條件與必要條件當時，，當時，，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選B5.已知雙曲線的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為 （

） A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.以橢圓短軸為直徑的圓經過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率是（） A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】由題意可得：b=c，所以a=，進而求出橢圓的離心率． 【解答】解：由題意可得：以橢圓短軸為直徑的圓經過此橢圓的焦點， 所以b=c， 所以a=， 所以離心率e=． 故選B． 【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質．特別是橢圓定義的應用． 7.某工廠生產甲、乙兩種產品，生產甲產品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生產乙產品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲產品的利潤是300元，每件乙產品的利潤是400元，公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗，原料都不超過12千克，通過合理安排計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（

）A．

1800元

B．2400元

C.2800元

D．3100元參考答案：C8.已知等比數列{an}滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84參考答案：B考點： 等比數列的通項公式．

專題： 計算題；等差數列與等比數列．分析： 由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比數列的通項公式可求q，然后在代入等比數列通項公式即可求．解答： 解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故選：B點評： 本題主要考查了等比數列通項公式的應用，屬于基礎試題．9.設復數z滿足z?i=2015﹣i，i為虛數單位，則在復平面內，復數z對應的點位于（）A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限D．第四象限參考答案：C分析： 化簡復數為a+bi的形式，即可判斷復數所在象限．解答： 解：復數z滿足z?i=2015﹣i所以z===﹣1﹣2015i．復數對應點為：（﹣1，﹣2015）在第三象限．故選：C．點評： 本題考查復數的基本運算，考查計算能力．10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點D是邊BC的中點，且，則△ABC的面積為（

）A. B. C.或 D.或參考答案：D【詳解】由題可知，，則，或.因為，所以，即，當時，，所以的面積為；當時，，所以的面積為.故答案為：D.【點睛】這個題考查了三角函數兩角和差公式的逆用，以及向量的模長的應用，三角函數的面積公式的應用，題型比較綜合.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角所對的邊分別為，向量與向量相互垂直。若，則的值為

參考答案：12.在等比數列{an}中，an＞0(n∈N﹡),且,,則{an}的前6項和是 .參考答案：63在等比數列中，，所以，又，所以，，所以.13.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點P為矩形ABCD內一點，則使得?≥1的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】將矩形放在坐標系中，設P（x，y）利用向量的數量積公式，作出對應的區域，求出對應的面積即可得到結論．【解答】解：將矩形放在坐標系中，設P（x，y），則A（0，0），C（2，1），則?≥1等價為2x+y≥1，作出不等式對應的區域，為五邊形DCBE，當y=0時，x=，即E（，0），則△ADE的面積S=××，則五邊形DCBE的面積S=2﹣=，則?≥1的概率P=，故答案為．14.已知函數的圖象由的圖象向右平移個單位得到，這兩個函數的部分圖象如圖所示，則=

.參考答案：函數的圖象在軸右側的第一個對稱軸為，所以。關于對稱的直線為，由圖象可知，通過向右平移之后，橫坐標為的點平移到，所以。15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

，表面積為

．參考答案：

16.已知雙曲線垂直，則a=

參考答案：答案：5617.若二項式展開式中項的系數是7，則=

▲

．參考答案：二項展開式的通項為，令得，，所以，所以的系數為，所以。所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2018年8月8日是我國第十個全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來．某市為了解全民健身情況，隨機從某小區居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試求這40人年齡的平均數、中位數的估計值；（2）（ⅰ）若從樣本中年齡在[50，70）的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率；（ⅱ）已知該小區年齡在[10，80]內的總人數為2000，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計該小區年齡不超過80歲的成年人人數．參考答案：（1）平均數．前三組的頻率之和為0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位數落在第3組，設中位數為x，則（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位數為35．（2）（ⅰ）樣本中，年齡在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年齡在[50，60）的有4人，設為a，b，c，d，年齡在[60，70）的有2人，設為x，y．則從中任選2人共有如下15個基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年齡不低于60歲的共有如下9個基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A，故所求概率．（ⅱ）樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估計，該小區年齡不超過80歲的成年人人數約為2000×0.88＝1760．19.如圖5，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.（1）求的方程；（2）是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結論.

參考答案：20.已知函數，（，）．（1）當時，求函數的極小值點；（2）當時，若對一切恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：（1）當時，，則．當時，，所以在上單調遞增，故無極值點；當時，由，得，當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增．所以的極小值點為．（2）當時，可化為，即，令，則．當時，對于一切，有，，所以恒成立．下面考慮時的情況．當時，對于一切，有，，所以恒成立，所以在上是增函數，所以，符合題意；當時，，，由零點存在性定理可知，一定存在，使得，且當時，，所以在上單調遞減，從而有：時，，不符合題意．綜上可知，的取值范圍是．21.已知a為實數，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f′（x）為f（x）的導函數．（Ⅰ）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均單調遞增，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】導數的綜合應用．【分析】（I）結合已知中函數的解析式及f′（﹣1）=0，構造方程求出a值，進而分析出函數的單調性后，求出函數的極值和端點對應的函數值，比照后可得答案．（II）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均單調遞增，則f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0對（﹣∞，﹣2]恒成立且f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0對[2，+∞）恒成立，解不等式組可得答案．【解答】解：（I）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=2x（x﹣a）+（x2﹣4）又∵f′（﹣1）=﹣2×（﹣1﹣a）+（1﹣4）=0，∴a=∴f（x）=（x2﹣4）（x﹣），∴f′（x）=2x（x﹣）+（x2﹣4）=3x2﹣x﹣4令f′（x）=0，解得x=﹣1，x=，當x∈[﹣2，﹣1]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數當x∈[﹣1，4/3]時，f′（x）≥0恒成立，f（x）為增函數，當x∈[4/3，2]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數又∵f（﹣2）=0，f（﹣1）=，f（）=﹣，f（2）=0可以得到最大值為，最小值為﹣（II）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣4，依題意：f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0對（﹣∞，﹣2]恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≥又∵y=在（﹣∞，﹣2]上為增函數，故x=﹣2時，取最大值﹣2，所以a≥﹣2f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0對[2，+∞）恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≤又∵y=在[2，+∞）上為增函數，故x=2時，取最小值2，所以a≤2故a的取值范圍為[﹣2，2]．【點評】本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度較大．22.如圖，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，點C在平面A1B1C1內的射影點為的A1B1中點O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求證：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，從而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能證明AB⊥平面CC1O．（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【解答】證明：（1）∵點C在平面內的射影點為A1B1的中點O，∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，∵O為A1B1的中點，∴C1O⊥A1B1，∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面