24.4.2切線長定理1.直線和圓有哪三種位置關系？2.如何判斷圓的切線？3.圓的切線都有哪些性質？復習回顧：認知準備問題1、經過平面上一個已知點，作已知圓的切線會有怎樣的情形？·O·O·OP·P·P·A問題2、經過圓外一點P，如何作已知⊙O的切線？

O。ABP認知準備思考：假設切線PA已作出，A為切點，則∠OAP=90°,連接OP，可知點A在怎樣的圓上?用尺規作圖：過⊙O外一點做⊙O的切線O·PABO過圓外任意一點可以作已知圓的兩條切線。在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.定理形成切線與切線長的區別與聯系：（1）切線是一條與圓相切的直線；（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。。PBAO

若從⊙O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結OA、OB、OP，你能發現什么結論？并證明你所發現的結論。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發現的結論PA、PB分別切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。切線長定理APO。B幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法APO。BM

若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.OP垂直平分AB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分ABAPO。B

若延長PO交⊙O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.CA=CB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC切線長定理的基本圖形的研究PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于⊙O于點D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）寫出圖中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）寫出圖中所有的相似三角形△AOC∽△BOC∽△AOP∽△BOP∽△ACP∽BCP（5）寫出圖中所有的等腰三角形△ABP△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半徑OA（2）寫出圖中與∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC。PBAO（3）連結圓心和圓外一點（2）連結兩切點（1）分別連結圓心和切點在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形。課堂反思如圖，已知⊙O的半徑為3cm.點P和圓心O的距離為6cm，經過點P有⊙O的兩條切線PA、

PB,則切線長為_____cm，這兩條切線的夾角為______，∠

AOB=______。APO。B60°120

°試一試例1:如圖，已知AB、AC是⊙O的切線，B、C為切點，連結BC交AO于D.⑴若AD=6，AO=8，求切線AB的長；⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直徑。C·OABD例題講解小紅為了測量一個鍋蓋的直徑，她用了下面的方法:將鍋蓋平放在水平桌上,用一個銳角為300的三角板和一個刻度尺,按如圖所示的方法得到相關的數據,測得PA=10cm,即求出鍋蓋的直徑．說明她這樣做的理由.

┐想一想想一想如圖：用兩根帶有刻度的木條做一個夾角為60°的工具尺，你能用它量出一個圓的半徑嗎？若量出角的頂點到切點的距離為10cm，試求這個圓半徑的近似值。例2:

已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12CM，∠P=50°.

求:(1)△PEF的周長;(2)∠EOF的度數.EAQPFBO例題講解如圖，從⊙O外一點P作⊙O的兩條切線，分別切⊙O于A、B，在AB上任取一點C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E（1）若PA=2，則△PDE的周長為____；若PA=a，則△PDE的周長為_____。（2）連結OD、OE，若∠P=40°，則∠DOE=_____;若∠P=k度,∠DOE=__________度

。E·OCBDPA42a70°試一試1.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。APO。BECD∵PA、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據。必須掌握并能靈活應用。課堂小結弦切角定理課外延伸：.ABCO.ABOC.ABCO頂點在圓上，并且一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。已知：如圖，AB切⊙O于點A,AC與⊙O相交，即：∠CAB是弦切角。觀察辨析ADCBBACB

AC（切點）（切點）m（切點）ABCBADC（切點）ABm概念應用OABDCE圖一1、這是一個定滑輪裝置示意圖，指出圖中有哪幾個弦切角。（口答）AB圖二O2、AB與⊙O切于A，請同學們畫出三個以A為頂點的弦切角，使它們所夾的弧分別為180o、270o、90o。CA丙CBA乙BCA甲BOOO180o270o90o所夾弧的度數弦切角的度數90o135o45o猜想：

弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。動手實驗，猜想命題

通過測量得到弦切角度數。CA丙CBA乙BCA甲BOOO圓心在弦切角的一邊上圓心在弦切角的內部圓心在弦切角的外部DD

mmm------------------------------∠CPD=∠CADP∠CPD+90°=∠CAD+90°

∠CPA=∠CAB例題設計變式訓練圖3C例1

如圖3，AC與△ABD的外接圓⊙O相切于A.

(1)若弦切角∠BAC=30o

，則

AB=

度,∠AOB=

度,∠ABD=

度