復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù),它是本課程的研究對象.在這一章,我們將討論復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的三角表示、平面點集的一般概念及其復(fù)數(shù)表示,以及復(fù)變量連續(xù)函數(shù),為進一步學(xué)習(xí)解析函數(shù)的理論與方法奠定必要的基礎(chǔ).1.1復(fù)數(shù)1.1.1復(fù)數(shù)的基本概念1.1復(fù)數(shù)1.1.2復(fù)數(shù)的四則運算1.1復(fù)數(shù)1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2.1復(fù)數(shù)與復(fù)平面實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，而復(fù)數(shù)z=x+iy與有序?qū)崝?shù)對(x,y)一一對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)與平面上的點可以建立一一對應(yīng)關(guān)系．給定平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點，x軸為橫軸，y軸為縱軸，則復(fù)數(shù)z=x+iy與平面上坐標(biāo)為(x,y)的點一一對應(yīng)．此時，稱x軸為實軸，稱y軸為虛軸，把實軸和虛軸決定的平面稱為復(fù)平面或z平面．1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2.2復(fù)數(shù)的模與輻角1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2復(fù)數(shù)的幾種表示當(dāng)z=0時,其模為零,其輻角不確定.以后凡涉及復(fù)數(shù)的輻角都是就非零復(fù)數(shù)而言的.1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2.3復(fù)數(shù)模的三角不等式1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.2.4復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示1.2復(fù)數(shù)的幾種表示1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3.1復(fù)數(shù)的乘除法1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3.2復(fù)數(shù)的乘方與開方1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.4平面點集的一般概念1.4.1平面點集1.4平面點集的一般概念1.4平面點集的一般概念1.4.2區(qū)域與曲線1.4平面點集的一般概念1.4平面點集的一般概念1.4平面點集的一般概念1.4平面點集的一般概念1.4平面點集的一般概念1.5無窮遠點、擴充復(fù)平面和復(fù)球面1.5.1擴充復(fù)平面與復(fù)球面1.5無窮遠點、擴充復(fù)平面和復(fù)球面1.5無窮遠點、擴充復(fù)平面和復(fù)球面1.5無窮遠點、擴充復(fù)平面和復(fù)球面1.5.2關(guān)于無窮遠點運算的規(guī)定1.5無窮遠點、擴充復(fù)平面和復(fù)球面1.6復(fù)變函數(shù)1.5.1擴充復(fù)平面與復(fù)球面1.6復(fù)變函數(shù)1.6復(fù)變函數(shù)1.6.2復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.6復(fù)變函數(shù)1.6復(fù)變函數(shù)1.6復(fù)變函數(shù)1.6復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)研究的主要對象是解析函數(shù),它在理論和實際問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.本章首先引入復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)法則,然后給出解析函數(shù)的基本概念和判定方法,最后介紹一些初等解析函數(shù).可以說復(fù)變函數(shù)的有些概念是由實變函數(shù)的概念推廣得到的,認識到這一點,有利于我們對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí).2.1認識解析函數(shù)2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1.2解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1.3函數(shù)解析的充分必要條件2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.1認識解析函數(shù)2.2.1調(diào)和函數(shù)的概念2.2

調(diào)和函數(shù)在物理學(xué)中,有一種特殊的二元實函數(shù),即所謂的調(diào)和函數(shù),它是一類在實際應(yīng)用中很重要的函數(shù),并與解析函數(shù)有著密切的聯(lián)系.下面先來介紹調(diào)和函數(shù)的基本定義.2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2.2共軛調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2.3解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.2

調(diào)和函數(shù)下面介紹已知解析函數(shù)的實部或者虛部,根據(jù)C-R方程求出另一半的幾種方法.1.偏積分法.2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.2

調(diào)和函數(shù)2.3初等函數(shù)同高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)過實初等函數(shù)一樣,復(fù)變量的初等函數(shù)也是由一些最簡單、最基本的初等函數(shù)經(jīng)過四則運算或者復(fù)合而成的.但推廣到復(fù)數(shù)時,復(fù)初等函數(shù)存在一些不同之處.如指數(shù)函數(shù)的周期性;對數(shù)函數(shù)的無窮多值性;正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的無界性,尤其在多值的情況下,我們運用時需特別注意.下面介紹一些初等函數(shù)并研究其解析性.2.3.1指數(shù)函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3.2對數(shù)函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3.3冪函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3.4三角函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3.5反三角函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.2.1調(diào)和函數(shù)的概念2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)2.3初等函數(shù)本教材案例導(dǎo)入復(fù)變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具,解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都是通過復(fù)積分來證明的.本章首先引入復(fù)積分的基本概念及其計算方法,然后介紹柯西-古薩定理及其推廣———復(fù)合閉路定理.在此基礎(chǔ)上,得到柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式.其中,柯西-古薩定理和柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)的基本定理和公式,以后的學(xué)習(xí)均直接或間接與它們有關(guān).本章內(nèi)容與實變量二元函數(shù)有緊密聯(lián)系,希望讀者能結(jié)合本章的學(xué)習(xí)適當(dāng)復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識.3.1復(fù)積分的概念3.1.1復(fù)積分的定義與計算3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1.2復(fù)積分的基本性質(zhì)3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.1復(fù)積分的概念3.2柯西積分定理曲線積分定義之后,我們會聯(lián)想到高等數(shù)學(xué)中有曲線積分與積分路徑無關(guān)的結(jié)論,也就是函數(shù)沿閉曲線積分為零之說.于是存在一個重要的問題:對于復(fù)變函數(shù),它沿閉曲線的積分是否可以為零?由于復(fù)變函數(shù)積分可以轉(zhuǎn)化為實函數(shù)的曲線積分,自然可以歸結(jié)為曲線積分與路徑無關(guān)的問題.法國數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)于1825年對上述問題做了肯定的回答,給出了如下的柯西積分定理,它是復(fù)變函數(shù)論的理論基礎(chǔ).3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.2柯西積分定理3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.3柯西積分公式3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)本教材案例導(dǎo)入在上一章中,我們從積分的角度對解析函數(shù)進行了討論,本章我們從級數(shù)的角度來研究解析函數(shù).復(fù)級數(shù)是研究解析函數(shù)的另一重要工具,將解析函數(shù)表示成級數(shù)在理論和實際應(yīng)用上都具有重要意義.本章我們先介紹復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的概念和判別方法,冪級數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì),然后對解析函數(shù)的兩種級數(shù)表示———泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)進行研究,介紹展開式的存在性定理,并給出展開方法.4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1.1復(fù)數(shù)序列的極限4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)易知以下定理成立.4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1.2復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2.1冪級數(shù)的概念4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2.2冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域4.2冪級數(shù)由定理4-3可知,，冪級數(shù)(式4-4)在以原點為圓心的某圓域內(nèi)絕對收斂，圓域外發(fā)散，此圓域稱為冪級數(shù)的收斂(圓)域。收斂域的半徑R稱為收斂半徑。對于只在原點處收斂的情形,約定R=0，對于在復(fù)平面處處收斂的情形，約定R=+∞。在收斂域的邊界(圓周)上，冪級數(shù)(式4-4)可能收斂，可能發(fā)散。同實冪級數(shù)類似，比值法和根值法是確定收斂半徑的兩種常用方法.4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2.3冪級數(shù)的收斂性質(zhì)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.2冪級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3.1泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3.2函數(shù)展開成泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的一些例子4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4.1雙邊冪級數(shù)的概念4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4.2洛朗級數(shù)的概念在上一小節(jié)中,我們發(fā)現(xiàn)帶負冪項部分的雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)內(nèi)收斂于一個解析函數(shù).那么反過來,一個解析函數(shù)是否能夠在一個圓環(huán)內(nèi)展開為冪級數(shù)呢,如何確定系數(shù),展開式是否唯一.4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4.3函數(shù)展開為洛朗級數(shù)同泰勒級數(shù)一樣,由于唯一性,洛朗級數(shù)除了通過直接計算展開系數(shù)Cn的方式展開之外,還可以利用已知的展開式,通過代換運算、逐項求導(dǎo)和逐項積分等方法展開,即間接展開法.下面,我們通過幾個例子進行說明.4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)4.4洛朗級數(shù)本教材案例導(dǎo)入留數(shù)是積分理論和級數(shù)理論結(jié)合的產(chǎn)物,是復(fù)變函數(shù)的重要內(nèi)容.本章先通過洛朗級數(shù)將孤立奇點進行分類,并討論不同類型孤立奇點的判斷,然后引進留數(shù)概念,給出計算孤立奇點留數(shù)的方法,最后對留數(shù)在定積分中的應(yīng)用以及幅角定理進行介紹.5.1孤立奇點5.1.1孤立奇點及其分類5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1.2孤立奇點類型的判斷5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1.3函數(shù)的零點與極點的關(guān)系5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.1孤立奇點5.2留數(shù)5.2.1留數(shù)的概念5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2.2留數(shù)的計算將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)并不容易,因此有必要根據(jù)孤立奇點的類型,尋求計算留數(shù)的更簡便的方法.5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2.3留數(shù)定理5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.2留數(shù)5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3.1留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用在實際應(yīng)用當(dāng)中,通常需要計算一些特殊類型的積分,這些積分的原函數(shù)可能并不能用初等函數(shù)表示,或者即使能求出原函數(shù),計算也比較復(fù)雜.留數(shù)定理為這些積分的計算提供了簡便的方法.我們就幾個特殊類型舉例說明.5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3.2輻角原理和儒歇(Rouché)定理5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用5.3留數(shù)的應(yīng)用本教材案例導(dǎo)入前幾章主要是用分析的方法,也就是用微分、積分和級數(shù)等來討論解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用.內(nèi)容主要涉及柯西理論.在這一章中,我們將從幾何的角度來對解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用進行討論.第一章曾講,一個復(fù)變函數(shù)w=f(z)(z∈E),從幾何觀點看來,可以解釋為從平面z到平面w的一個變換,本章將討論解析函數(shù)所構(gòu)成的變換(簡稱解析變換)的某些重要特性.這種變換在導(dǎo)數(shù)不為零的點處具有一種保角的特性,它在數(shù)學(xué)本身以及在解決流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科的實際問題中,都是一種使問題化繁為簡的重要方法.6.1解析變換的特性6.1.1解析變換的保域性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1.2解析變換的保角———導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1.3單葉解析變換的共形性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.1解析變換的特性6.2分式線性變換6.2.1分式線性變換及其分解6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2.2分式線性變換的性質(zhì)6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2.3分式線性變換的保交比較6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2.4分式線性變換的保圓周(圓)性6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2.5分式線性變換的保對稱點性6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2.6分式線性變換的應(yīng)用6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.2分式線性變換6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3.1冪函數(shù)與根式函數(shù)初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射對今后研究較復(fù)雜的共形映射大有作用.6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3.2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3.3由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射6.3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射本教材案例導(dǎo)入本章將要介紹的傅立葉(Fourier)變換,是一種對連續(xù)時間函數(shù)的積分變換,即通過某種積分運算,把一個函數(shù)化為另一個函數(shù),該變換同時還具有對稱形式的逆變換.傅立葉變換既能簡化計算,如求解微分方程,化卷積為乘積等,又具有非常特殊的物理意義,在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.如對信號進行分析和處理時,最基本、最重要的工具是頻譜分析,從數(shù)學(xué)上看,就是傅立葉級數(shù)和傅立葉變換.其基本思想是:把一個復(fù)雜的連續(xù)信號,分解成許多簡單的正弦信號(簡諧波)的疊加.這些正弦信號的頻率是已知的,相應(yīng)的振幅和相位則由原始的復(fù)雜連續(xù)信號確定.這些振幅和相位,稱之為信號的頻譜.7.1認識傅立葉變換7.1.1周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1.2非周期函數(shù)的傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.1認識傅立葉變換7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2.1單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2.2單位沖激函數(shù)的傅立葉變換7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.2.3周期函數(shù)的傅立葉變換7.2單位沖激函數(shù)7.2單位沖激函數(shù)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3.1基本性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3.2卷積與卷積定理7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)7.3傅立葉變換的性質(zhì)本教材案例導(dǎo)入上章介紹的傅立葉變換在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,特別是在信號分析和處理方面,它發(fā)揮了極為重要的作用,是最基本的分析處理工具.但古典傅氏變換對函數(shù)的要求(狄利克雷條件和絕對可積)較為苛刻,特別是絕對可積這個條件讓很多簡單的函數(shù)都無法滿足.δ函數(shù)的引入,雖拓寬